10.1 复数及其几何意义-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册同步学习方案（人教B版2019）

第十章 复数 10.1 复数及其儿何意义 10.1.1复数的概念 学业标准 素养目标 1.了解数集的扩充过程和引进复数的必要性. 1.通过复数概念的学习，提升数学抽象 2.理解复数及其相关概念，明确复数的分类.（重点） 核心素养 3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题.2.通过复数相等及应用的学习，培养逻 (难点) 辑推理等核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 3.复数的表示 复数通常用小写字母之表示，即之= 导学1复数的概念及代数表示 (a,b∈R),其中a称为之的 问题1方程x2+1=0在实数范围内有 ,b称为之的 解吗？ 导学2复数的分类与复数相等 问题1复数之=a十bi(a,b∈R),当b=0时， 问题2若有一个新数i满足=一1，试想方 之是什么数？ 程x2十1=0有解吗？ 问题2复数x=a十bi(a,b∈R),当a=0且 ◎结论形成 b≠0时，之是什么数？ 1.虚数单位：为了使得方程x=一1有解，规 定i的平方等于 ,即=-1，称i 为虚数单位， 问题33十2>3十i正确吗？ 2.复数：当a,b都是实数时，称 为 复数. 20 第十章复数。 ○结论形成 (3)如果两个复数的实部的差和虚部的 1.复数的分类 差都等于0，那么这两个复数相等. (1)复数a十bi(a,b∈R) 实数(b=0) (4)3+4i>2+3i. ) 纯虚数(a=0) 虚数(b≠0) 2.对于复数a十bi(a,b∈R),下列结论正确 非纯虚数(a≠0) (2)集合表示 的是 复数集(C) A.a=0→a十bi为纯虚数 虚数集 B.b=0→a十bi为实数 纯虚数集实数集(R) C.a+(b-1)i=3+2i→a=3,b=-3 D.一1的平方等于1 2.复数相等的充要条件 3.已知a∈R,若a一1十(a一2)i(i为虚数单 如果a,b,c,d都是实数，那么a十i=c十di 位)是实数，则a 台 ;a+bi=0台 A.1 B.-1 基础自测 C.2 D.-2 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 4.已知(x+y一3)+(y-4)i=0,其中x, (1)若a,b为实数，则x=a十bi为虚数. y∈R,i是虚数单位，则x= ( ) (2)若a为实数，则x=a一定不是虚数. A.1 B.-1 ( C.7 D.-7 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 规律方法 题型一 复数的概念 利用复数的代数形式对复数分类时，关键是 例1设复数之=lg(m2-2m-2)+(m2+ 根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式[等 3m+2)i. 式或不等式（组）]，同时求解参数时，应注意参数 (1)当实数m为何值时，是实数？ 本身的取值范围，如分母不能为0. (2)当实数m为何值时，x是纯虚数？ [触类旁通 [自主解答 1.(2024·山东菏泽高一期中)复数之=a2 6a-7+(a2-4a-21)i,其中a∈R. (1)若复数x为实数，求a的值： 21 。数学·必修第四册（配RJB版） (2)若复数之为虚数，求a的取值范围； 规律方法 (3)若复数x为纯虚数，求a的值. 复数相等问题的解题技巧 (I)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实 部相等，虚部与虚部相等列方程组求解， (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数 问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复 数问题实数化思想的体现 [触类旁通] 2.(1)若(x+y)十yi=(x十1)i,求实数x,y 的值； (2)已知a2+(m+2i)a+2+i=0(m∈R) 成立，求实数a的值， 题型二复数相等的判别及应用 例2已知关于x的方程x2+x十3m (2x+1)i=0有实数根，求实数m的值及 该实根。 [自主解答] 22 第十章复数。 题型三两个复数比较大小 一题多变 [规范解答] (1)当之为 失分警示引 若此处忽略 a2-1≠0， a2-1≠0，扣4分 例3若不等式m2-(m2-2m)i<9+m一； 实数时， a2-5a-6=0, 成立，则实数m的值为 a≠士1， [母题变式] a=-1或a=6. (变条件)若题目中的不等式变为m一(m2 .当a=6时，之为实数.…(4分) 2m)i<1,则实数m的值为 (2)当之为虚数时， [素养聚焦]通过对复数比较大小的要求的 a2-5a-6≠0，a≠-1，且a≠6， a2-1≠0， a≠士1. 理解和应用，提升逻辑推理和数学抽象核心 素养 .当a∈(-∞，-1)U(-1,1)U(1,6)U 规律方法 (6,十∞)时，之为虚数.…(8分) 若两个复数全是实数，则可以比较大小：若两 a2-7a+6=0. (3)当之为纯虚数时， a2-1 个复数能够比较大小，说明这两个复数都是实数. a2-5a-6≠0， [触类旁通] a2-7a+6=0, 3.(多选题)已知复数1=tan0-3tan0+ ∴.a2-1≠0， itan0,x2=4+(5tan0+6)i,0≤0<2x,且 a2-5a-6≠0， 0计受学经，若一=0，则0的值为 a=1或a=6, .a≠士1， a≠-1且a≠6. A晋 .不存在实数a,使得之为纯虚数. c …………(3分 课堂小结 「缜密思维提能区 规范答题 知识落实 技法强化 复数的分类及应用 (1)解决复数问题应用 [典例们(13分)已知复数=a-7a+6+ (1)数系的扩充 a2-1 方程思想方法。 (2)复数的概念 (2)利用复数相等解决 (a2-5a-6)i(a∈R),试求实数a分别取 (3)复数的分类 问题时要把复数化为 什么值时，心分别为： (4)复数相等的充要 x=a+bi(a,b∈R)的 (1)实数：(2)虚数：(3)纯虚数. 条件。 形式 [审题指导]根据复数的概念，分别列方 程（组）或不等式（组）求解. 请完成[课后案]学业评价（四） 23 。数学·必修 第四册（配RJB版） 10.1.2 复数的几何意义 学业标准 素养目标 1.通过学习复数的几何意义，培养直观想象 1.理解复平面，实轴、虚轴等概念. 核心素养 2.掌握复数的几何意义，并能适当应用.（重点、难点） 2.借助于复数的模和共轭复数的计算，培养 3.掌握复数模的定义及求模公式.（重点） 数学运算核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 问题2复数集与平面直角坐标系中以原点 为起点的向量集合能一一对应吗？ 导学1复平面 问题1实数与数轴上的点有什么对应关系？ ◎结论形成 复数的几何意义 问题2有序实数对与直角坐标平面内的点 复数x=a十bi 对应 向量Oz=(a,b) 有怎样的对应关系？ 二一对应 点Z(a,b). 导学3共轭复数与复数的模 问题3复数之=a十bi(a,b∈R)与有序实数 问题1向量OZ=(a,b)的模如何计算？ 对(a,b)有怎样的对应关系？ 问题2设复数之=a十bi在复平面内对应的 点为，则点名1关于实轴的对称点。所 ⊙结论形成 对应的复数是什么？ 复平面：建立了直角坐标系来表示复数的 平面称为复平面.在复平面内，x轴称为 ,y轴称为 ◎结论形成 导学2复数的几何意义 1.共轭复数 问题1平面直角坐标系中的点Z与向量OZ 如果两个复数的实部 ,而虚部互 有怎样的对应关系？ 为 ,则称这两个复数互为共轭复 数.复数之的共轭复数用之表示，即当之= a十bi时，有之 ,任一实数的共 轭复数 24 第十章复数。 2.复数的模 (4)在复平面内，虚轴上的点对应的复数都 (1)定义 是纯虚数 ( 向量OZ=(a,b)的长度称为复数z=a十i的 :2.在复平面内，复数之=1一i对应的点的坐 (或绝对值)，记作x,且之 标为 ( a+bil=√Ja2+6. A.(1,i) B.(1,-i) (2)共轭复数的模 C.(1,1) D.(1,-1) 两个共轭复数的模相等，即z=z. 3.已知复数之=3十2i,则= :x= 基础自测 4.如图所示，在复平面内，点A对应的复数 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 为x,则x= (1)复数的模一定是正实数， (2)若引名1|=2，则之=之2 ) (3)两个复数互为共轭复数，则它们的模 0 相等. ( 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 复数与点的对应 规健方法 求解此类问题，应根据点的位置，确定复数的 例1求实数m分别取何值时，在复平面内， 实部和虚部满足的条件，然后列方程（组）或不等 复数之=(m2一m-2)+(m2-3m+2)i对 式（组）求解 应的点Z满足下列条件： [触类旁通] (1)在x轴上方： 1.(2024·山东聊城高一期中)复平面内表示 (2)在实轴负半轴上. 复数之=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i [自主解答] 的点位于第四象限时，实数m的取值范围 是 ( ) A.（-2,7) B.(-2,3)U(5,7) C.(3,5) D.(5,7) 题型二 复数与向量的对应 例2四边形ABCD是复平面内的平行四边 形，A,B,C三点对应的复数分别是1+3i, 2一i,一3十i,则点D对应的复数为() A.-4+5i B.-2-3i C.6+i D.2+3i 25 。数学·必修第四册（配RJB版） 规律方法 题型三复数模的取值和范围问题 (1)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般 一题多变 以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复 例3复数x1=3十4i,x2=0,x3=c+(2c-6)i 数、复平面内的点、向量之间的转化 在复平面内对应的点分别为A,B,C,若 (2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的 ∠BAC是钝角，求实数c的取值范围. 点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申 [自主解答] x一刘|表示点Z到点Z1之间的距离.如|x一= 1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1. [触类旁通] 2.在复平面内，A,B,C三点对应的复数分别 为1,2+i,-1+2i. (1)求向量AB,AC,BC对应的复数： (2)判定△ABC的形状. [母题变式] 1.(变条件)若∠BAC为锐角，求实数c的取 值范围。 2.(变结论)在本例中，求之的最小值. 26 第十章复 数 [素养聚焦]通过对复数的几何意义以及模 的应用，培养数学抽象与数学运算核心素养， 渗透数形结合思想的应用. 规律方法 ① ② 求解关于复数模最值问题的两种方法 (2)不等式2<|之|<3可化为不等式组 (1)转化为函数式求最值：将￥=x十yi(x,y∈R) x>2, 直接代入所要求的式子中去，把所要求的模用x, 不等式x>2的解集是圆x|=2 lz<3, y的函数表示出来，转化为函数最值问题。 外部所有的点组成的集合，不等式|之|<3 (2)数形结合求最值：因为复数和图形有着密切的 的解集是圆|x=3内部所有的点组成的 关系，可以利用这种关系把所给条件转化为图形 直观地求出最大值和最小值， 集合，这两个集合的交集就是上述不等式 组的解集， [触类旁通] 因此，满足条件2<z<3 小易错答示卜 已知复数=-及=一吉+ 的点Z的集合是以原点为 此处易忽略不包 括固环的边界. (1)求名1|及之2的值： 圆心、分别以2和3为半 (2)设z∈C,满足|2|≤||≤≈1|的点Z 径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的 的集合是什么图形？ 边界，如图②。 [纠错心得]解决复数模的几何意义问题，需 把握两个关键点：一是|表示点Z到原点 的距离，可依据|之|满足的条件判断点Z的 集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把 模的问题转化为几何问题来解决，要注意掌 握复数模的几何意义常与轨迹、最值等问题 相结合命题 课堂小结 知识落实 技法强化 [缜密思维提能区 易错辨析 (1)本节课应用了待 复数几何意义的应用 (1)复数与复平面内的点、向定系数法、数形结合 [典例]设z∈C,满足下列条件的点Z的集 量之间的对应关系 的思想方法 合是什么图形？ (2)复数的模及几何意义 (2)注意虚数不能比 (1)川z|=2:(2)2<|x<3. (3)共轭复数. 较大小，但虚数的模 [解析](1)因为|x=2,即OZ=2, 可以比较大小. 所以满足|之|=2的，点Z的集合是以原点 为圆心，2为半径的圆，如图①. 提 请完成L课后案」学业评价（五） 27第十章 复 数 复数及其几何意义 10.1 m=0或2, 即 10.1.1 复数的概念 m=2且n≠0,解得m=2 (-3<n<3. 课前案·自主学习 [答案]2 [教材梳理] 导学1 [母题变式] |m^-2m-0. 问题1 ]没有. [提示] 解析 依题意可得 m<1. 问题2 [提示] 有解(x一士i),但不在实数范围内. 即{一1<1; m-0,或n-2·解得n-0. 结论形成 1.-1 2.a+bi 答案0 i 实部 虚部 [触类旁通] 3.a+bi 3.BC .-0.=. 导学2 b-0时,c-a为实数。 问题1 由复数相等的条件,可得 tan{0-3tan0-4. [提示] 问题2[提示] 当a-0,b:0时,z-bi,这样的数我们称为 tan0-5tan0+6. 解得tan0--1. 纯虚数。 又0<0<2π. 问题3 [提示] 不正确,如果两个复数不全是实数,那么它 .-3-或7. 们就不能比较大小。 结论形成 10.1.2 复数的几何意义 2.a=c,且b-d a-0,且b-0 课前案·自主学习 [基础自测] 1.(1)×(2)(3)(4)× [教材梳理] 2.B 当a-0且b-0时,a十i为纯虚数,故A错误;当b-0 导学1 问题1 [提示] 时,a+bi为实数,故B正确;a+(b-1)i-3十2i→a-3 一一对应, 问题2 [提示] 一一对应. b-3,故C错误;(一1)-1,故D错误 问题3 [提示] 一一对应. 3.C 因为a-1十(a-2)i是实数. 所以a-2-0,所以a-2.故选C. 结论形成 4.B x,yR,..由(x+y-3)+(y-4)i=0,得 实轴 虚轴 {43-0解得{二1 导学2 问题1 [提示] 一一对应。 1y-4-0. 1一4 问题2 [提示] 能一一对应. 课堂案·互动探究 导学3 [例1] [解析] (1)当m满足m}十3m十2-0,且n- 问题1[提示]10=a+. 2m-20. 问题2 [提示]a一bi. 即m-一2或n=-1时,:是实数。 结论形成 (2)当满足m+3m+2去0具n-2m-2-1 1.相等 相反数 a一bi 仍是它本身 即n一3时,。是纯虚数。 2.(1)模 [触类旁通] [基础自测] 1.解析 (1)由复数:为实数,得a-4a一21-0,解得a-7 1.(1)×(2)×(3)(4)× 或一-3. 2.D 复数。-1-i的实部为1,虚部为-1. (2)由复数:为虚数,得a{一4a一21文0,解得a≠7且a子 故其对应的坐标为(1,一1). -3. 3.解析 -6a-7-0.解得a--1. .=3+2.-3-2i,ll=3+2-13 答案 (3)由复数。为纯虚数,得 1-4a-21-0, 3-2i 13 4.解析 由图可知OA对应的复数。一2一i. [例2] [解析] 设方程的实根为1, 则7*+1+3m-(2+1)i-0; 故1cl-2+(-1)-5. {## 答案5 由复数相等,得{2十1=0. 十3m=0,解得{ #_# 课堂案·互动探究 [例1][解析](1)点乙在x轴上方,.m一3m十2>0, 所以实数m一,方程的实根为一 解得m 1或m2,所以实数m的取值范围是(一co.1) (2.十). [触类旁通] (2)若复数三对应的点在实轴负半轴上,则 c十-0解 n-n-2<0, -3m+2-0. 解得n-1. 2.解析 (1)由复数相等的充要条件,得 y-r十1, [触类旁通] 一 1.B 由已知复平面内表示复数z-(m^{}一8m+15)十(m^{- 得{ 5m一14)i的点位于第四象限, n-5n-14<0.& (2)因为a·méR,所以电a+am+2士(2a+n)i-0. am叶-0解得 (5.7),故选B. 可得{2a+m-0. a-2. 或 /--②. [例2] [解析] A(1,3),B(2,-1),C(-3.1),设Dx,y). m=-2② 1m-2v②. 因为AB-(1,-4),DC-(-3-r,1-y). 所以a-士/2. 四边形ABCD是复平面内的平行四边形, (m^-2-0. m2_o. 所以 -4-1-y. [例3] [解析] 依题意可得 n 所以点D对应的复数为一4十5i. m9. [答案]A [触类旁通] [基础自测] 2.解析(1)由复数的几何意义知, 1.(1)(2)V (3)×(4)× -(1,0),OB(2,1),OC-(-1,2). 2.A 依题意,得x+1-2且1-y-0,所以x=y-1,所以 AB-0B-0-(1.1)AC-0-0A-(-2.2), xy=1. B-0-0B-(-3.1). 3.A.一= -3+(a+1)i-[-33b+(6+2)i]- '.AB,AC,BC对应的复数分别为1+i.-2+2i.-3+i. (#$+330)+(a-b-1)i-4、3.,由复数相等的充要条 (2) AB-②.AC-2②.BC=10. .|AB+AC|-BC{, ..△ABC是以BC为斜边的直角三角形. 件知 [例3] [解析] 由题意知,AB一(一3,一4), a--1-0. AC-(c-3,2c-10),因为 BAC为钝角, 4.C 因为(5+bi)+(b-3i)-(2+ai)=0. 所以AB·AC<0,即-3(c-3)-4(2c-10) 0 所以(5+b-2)+(b-3-a)i-0. .a,bER. .3二 -15-0#解得 --3. --6. 其中当c-9时,AC-(6.8)=-2AB. .a+bi--6-3i. 所以实数的取值范因为(40.9)(9.+00). B,A,C三点共线,故c≠9. 'la+bil-|-6-3il = (-6)+(-3) [母题变式] -3. 1.解析 由题意知,AB-(-3.-4), 课堂案·互动探究 AC-(c-3,2c-10),因为BAC为锐角, [例1][解析] (1)(-2+③i-[(3-2)+3+2)] 所以AB·AC0. =[-2-③-②)]+[③-(③+2)]i --③-2i. (2)[(a+b)+(a-b)i]-[(a-b)-(a+b)i] 所以实数c的取值范围为一x, =[(a+b)-(a-b)]+[(a-b)十(a+b)]i -2+2ai. 2.解析 因为z-c十(2c-6)i. [触类旁通] 1.(1)A. 所以= +(2-6)=5-24c+36 $ 因为。-3i-4-i,所以-4+2i,则:的虚部为2. (2)A #5(-)+3# 由(a+3i)+(-1+bi)=(a-1)+(3+b)i=0 得{3}#0## a-1-0. 所以当c-1时,1~。的最小值为65. [触类旁通] [例2][解析](1)因为AO--O. 3.解析 (1)||= (3)^{}+(-1){}=2,||= 所以A0表示的复数为一3-2i. #(-#)#}#({#)#一1. (2)因为C-OA-OC. 所以CA表示的复数为(3十2i)-(-2+4i)-5-2i. (2)由(1)知1<sl<2, (3)因为OB-OA+OC,所以OB表示的复数为(3十2i)十 因为不等式|=|二1的点的集合 (-2+4i)-1+6i. 是圈心在原点,半径为1的园及 [触类旁通] 其外部所有点组成的集合,不等 2.D ·OC=OA+OB.:0C对应的复数为1+2i-2+i= 式。2的点的集合是圆心在 一1十3i..,点C对应的复数为一1十3i. 原点,半径为2的圆及其内部所 [例3][解析] 解法一 设z=a十bi,=c十di(a,b,c. 有点组成的集合,所以满足条件 “&1|=1z:=1--1, dCR). 1<2的点乙的集合是以原 点O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并包括 .+6-c*+-1, 圈环的边界,如图所示。 (a-c)十(-d)-1. 10.2 复数的运算 由①②得2ac士2h-1: 10.2.1 复数的加法与减法 .lz十z|=(a十c)十(6十d)” 课前案·自主学习 =+c+6++2ac+2bd-③. [教材梳理] 解法二 导学1 设O为坐标原点, 问题1 [提示]两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚 2.,.z。十z。对应的点分别为A,B,C. “-|-l-。l-1. 部与虚部分别相加(减),即(a十bi)士(c十di)一(a士c)十 .△OAB是边长为1的正三角形, (士d)i. 问题2 [提示] 满足. 又以OA,OB为邻边作乎行四边形OACB; '.四边形OACB是一个内角为60{},边长为1的菱形, 结论形成 且十z。|是菱形的较长的对角线OC的长, (1)(a十c)十(b十d)i(a-c)十(b-d)i .l+.l-OC (2)。十十(。十) -10A2+1AC{-2OA|1AClcos(180"-60°) 导学2 问题1[提示]oz=(a,b).0Z=(c.d).oZ+oZ= -③ (a+cbd).oZ-Z=(a-c.b-d). [触类旁通] 问题2[提示] 向量OZ+OZ。对应的复数是(a十c)十(b十 3.CD 满足。一i|一5的复数。对应的点在以(0,1)为园 d)i,也就是z十z。,向量Oz一OZ。对应的复数是(a-c) 心,为半径的圆上,A错误;设。-a十bi(a,bR),则 十(b-d)i,也就是z一。. &=va十。