11.1.1 不等式及其解集 教案2024-2025学年人教版数学七年级下册
- 理解不等式的基本概念，能区分不等式与等式的差异，正确使用“<” “>” “≠”符号表示实际情境中的不等关系。
- 掌握不等式解与解集的定义，能通过代入验证解，并能在数轴上准确表示解集。
- 应用不等式建模解决实际问题，如速度限制、资源分配、消费优惠等场景。
已有知识基础：
学生已掌握等式及其解的概念，能够用方程表示相等关系。
熟悉数轴的基本用法，能表示具体数值的范围。
认知难点：
- 抽象能力不足：难以从“超过” “不足”等生活语言中抽象出不等式的数学表达式。
- 概念混淆：容易将“不等式的解”与“解集”混淆，误认为解是单一数值。
- 符号误用：对“≤” “≥”符号的含义理解不深刻，可能错误使用严格不等号。
兴趣点与切入点：
生活案例驱动：通过交通规则（如限速）、消费场景（如满减优惠）激发兴趣。
动手操作：通过小组合作验证解的正确性，增强直观体验。
重点：
- 不等式的定义及符号表示。
- 解集的含义及数轴表示方法。
难点：
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- 实际问题中不等关系的数学化表达（如“至少” “不超过”的转化）。
- 解集的无限性理解与数轴绘制的准确性。
活动1：问题驱动——汽车行驶问题（教材图11.1-1）
问题：一辆汽车要在8:00前驶过距起点210 km的A地，匀速行驶下，车速应满足什么条件？
学生讨论：
从时间角度：行驶210 km的时间小于2小时 → 
。
从路程角度：2小时行驶的路程超过210 km → 
。
总结：通过对比方程，引出不等式的必要性。
活动2：生活实例拓展
案例1：某公园规定身高1.2米以下儿童免票，设身高为
米，如何表示免票条件？
答案：
（强调“≤”的用法）。
案例2：手机套餐流量剩余不足500 MB，设剩余流量为
MB，如何表示？
答案：
。
知识点1：不等式的定义与符号表示
定义剖析：
核心：用符号“<” “>” “≤” “≥” “≠”连接两个代数式，表示不相等的关系。
分类举例：
- 严格不等式：，
。 - 非严格不等式：
，
。 - 不等号“≠”：
（注意“≠”不表示大小关系）。
易错点强调：
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“至少” “不低于”对应“≥”；“至多” “不超过”对应“≤”。
巩固练习：
用不等式表示：某商品原价100元，打折后价格低于原价的80% → 
。
知识点2：不等式的解与解集
概念对比：
解：单个满足不等式的数值（如
是的解）。
解集：所有解的集合（如的解集是
）。
探究活动：
任务：验证
是否为的解。
→ 
，不成立。
→ 
，不成立。
→ 
，成立。
结论：解集是所有大于105的数，体现无限性。
数轴表示方法：
步骤：
- 标出临界点105，画空心圆圈表示不包含该点。
- 向右画箭头表示所有大于105的数（图11.1-1）。
知识点3：从实际问题到不等式的建模
建模步骤：
- 设未知数：明确问题中的变量（如车速
km/h）。 - 提取关键词：将“超过” “至少”等转化为不等号。
- 列不等式：建立代数表达式（如）。
案例解析：
问题：某书店满200元减50元，小明的购物金额为
元，若要享受优惠，应满足什么条件？
分析：“满200元”即
。
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