学业评价(十六) 向量数量积的坐标运算+阶段测评(三) 向量数量积的应用-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册课后案·学业评价（人教B版2019）

12.解析因为a=1,b=√5，a与b的夹角为150°， 故A1=3Ei.Ei=31D1. 所以ab=a1bcms150=-2, 即A方1=31D庐1， 所以1AD1=Ai1+Di=3D方1+1Di1=4Di1, 所以|2a+b2=(2a+b)=4a2+b+4a·b 4|a2+1b12+4a·b=1, 又21A商=61D.就2-号，故花+衣 得12a+b1=1,又a·(2a+b)=2a+a…b-2: 1 1A市2 含市，故B正确：对于C:设正六边形ABCDEF的边长 所以msa:2a+b)-8-立 为a,则亦.成=co经=-2 又(a,2a+b)∈[0,180]，所以(a,2a+b)=60° 答案60 cB.cb-IcB Icblcos 13.解析(1)图为四边形ABCD是矩形 所以A正.AB=C·CD,故C正确， 所以AD·DC=0, 对于D:易知∠ABD=受，则A市在A店上的授影向量为 C市-2Pi,得D币-号D心， A官，故D正确，故选BCD. -号市-号成 AB AC 15.解析： 分别表示与AB,AC同向的单住 所以A市.B驴-(AD+D)·(BC+C市) IABI IACI 向量 =(市+号心)·（市-号元） AB AC 以 为邻边的平行四边形为菱形 =市-}市.成-号心 IABI IACI 心表示向量 AC =36-号×81=18， 的有向线段在∠A平分线上 Aa花 (2)由题意，A市=A市+D=AD+号D式 AB AC =AD+}A花， :(成d .BC=0 知∠A的平分线垂直于BC,∴△ABC为等腰三角形. AC·BC 驴=C+C币=C+号C市=AD-兰A, AC·BC cos C2 2 所以A市.前=(A市+号A)·(A市-子A) ∠C=是，从而可知∠A=受 =亦-号A成：A市-号成 所以△ABC为等腰直角三角形. 学业评价（十六）向量数量积的坐标运算 -36-A店.市-18 1.D因为b⊥(b-4a),所以b·(b一4a)=0, =18-号亦.应 所以b-4a·b=0即4+x2一4x=0,故x=2,故选D. 2.C由已知有c=(3+t,4),cos(a,c)=cos〈b,c》,故 又市.励=6，所以18-号.市=6 9- c·5 所以A店.AD=36. 解得t=5.故选C. 又AB.AD=|AB·AD1cos0 A说e-期8：中产2. =9×6×c050=54c0s0. 解得x=1,y=1, 所以54c0s0=36,即c0s0=号 3 即c=(11),所以c=√/个+1下=2. 4.ABC对于A,若a与b垂直，则a·b=-1-2m=0,解得 所以与市夹角的余孩准为号 m=一之，故A正确： 14.BCD连接AE,AC,AD,BF,BD,CE,且CE与AD交于 对于B,若a∥b,则m一（一2）×（一1）=0，解得m=2,此时 点H,如图所示， a·b=一1一2m=一5，故B正确： 对于C,若m=2,则a一b=(2,一4)， a一b=√/4+16=2√5，故C正确： 对于D,若m=-2,则a·b=-1-2m=3, 注意此时a=|b=√1+4=5， a与6的夫角的余孩位为。：。-音≠号批D维头 对于A:AC-A正=AC+Ei=E武，显然由图可得E式与 5.解析由a1b:得m十3m+3=0,解得m=-是 BF为相反向量，故A错误： 答案 对于B:由图易得AEI=AC,直线AD平分角∠EAC 一 且△ACE为正三角形，根据平行四边形法则有A心+A正 :6.解析因为a=(1,1),b=(0,一2). =2A直，A直与AD共线且同方向， 所以知-b=(k,k十2)，a+b=(1.-1), 所以ka一b=√R十(k+2)尸， 易知△EDH,△AEH均为含F角的直角三角形， 1a+b=√1+(-1)=√2， 55 @ 所以(ka一b)·(a十b)=(k,k+2)·(1,一1)=k一k一2= 由题意可得A(0,0),C(6,0),B(1√3)， -2,又a-b与a十b的夹角为120°， 所以cos120°=a-b)·(a十b) M(,N4.0. ka-blla+b -2 1 所以=（号，）=8，- k+(k+2)·2 2· 整理得k+2k-2=0, 则（)+（受）=. 解得k=一1士5 答案-1士3 1BN1=√32+(-3)2=25， 7.解析由题意得a=2,b=√5， 所以cos∠MPN=cos(Pi,P)=cos(AM.BN) 因为a-b|=5,所以a十1b-2a·b=5, A成.B时 所以4+5f2-41=5,所以5f2-41-1=0, 33 AM·BN √13×2w3 26 所以1=1或=一号 答案339 答案1或-号 26 13.解析(1)Oi=(2,2).Oi-(x,-1),O心-(-2,1). 8.解析(1)因为a=(1,2),b=(一1,1)， .AB=(x-2,-3).AC=(-4,-1), 所以2a-b=2×(1,2)-(-1,1)=(3,3) 2m0--D司 1×(-1)+2×1 10 当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时，A方LAC. 10 (-2)X(-40+(-3)×(-1D=0得x-是 (3)因为(a-kb)⊥b,所以(a-灿)·b=0, (2)B与AC不在同一条直线上时，三点A,B,C可构成三 所以1X(-D+2X1-2张=0，解释k=2 角形，即AC,AB不共线， 9.C由a·b=-10, (x-2)×(-1)≠(-3)×(-4).得x≠-10. 即xE(一o∞，一10)U(一10，+∞)时，三，点A,B,C可构 得(c-b)·a=c·a-b:a=c…a+10=15 2 成三角形. he.a=-3. 14,D以AB中点为原点建立如图所 示的直角坐标系， 设a与c的夹角为0， 则A(-1,0),B(1,0),C(1,2).D (-1,2), 一2 期w0=:fa5X后 1 2 设P(x,y),则Pi=(-1-,一y), ∵0°≤0≤180°，∴.0=120 Pi=(1-x,-y): 0B南路考灯得侣。么2：商式和 则PA.Pi=-(1-x2)+y=0, 即x2+y2=1,则x2-1=-y2, 可得3a=(6,0),即a=(2,0), 其中-1<x<1,0<y≤1， 可得a-b=(2a-b)-a=(0,1),b=(a十b)-a=(2,-1), 则C市-(x-1y-2),D币=(x+1,y-2),0<y≤1： (a-b)·b=-1=-5 所以cos(a-b.b》=Ta-b·1X后 则C市.D苏=x2-1+(y-2)2=-y2+(y-2)2= 51 -4y+4∈[0,4)，故选D. 11.解析(1)：2a+b=(3,1), 15.解析(1)，点C是直线OP上的一点， .12a+b=√3+1=√10. ∴向量O心C与OP共线， .与2a十b同向的单位向量的坐标表示为 设O心=1OP(r∈R).因为OC=(21,t). -(四) CA=0A-0元=(1-24,7-)， CB=0i-O元=(5-2,1-1). (2)b-3a=(-2,1), ∴C才.Ci=(1-21)(5-21)+(7-0(1-0 .lb-3a=5,la=1, =512-201+12=5(t-2)°-8， (b-3a)·a=(-2,1)·(1,0)=-2, 当1=2时，CA·CB取得最小值，此时心=(4,2) .'.cos (b-3a.a)= (2)当O元-(4.2)时.Ci=(-3,5),C第=(1，-1)， 5 C=√34，Ci1=2,Ci.Ci=-8 答案(3，) (2)26 5 ∴cos∠ACB= Ci.C市_4亚 12,解析以点A为坐标原点，AC的方向为T轴的正方向建 ICAlICBI 17 立如图所示的平面直角坐标系， 阶段测评（三）向量数量积的应用 1.Cb=(0,2),∴.b=2, ∴cos(a,b》=ab-1文2-2' a·b1 又a,b∈[0，小a,b=号，故选C 56 2.B由a∥b,可得-m一2=0，故m=一2， 9.BD由题意，2×2一（一3）×（一1）≠0，A错误： 即b=(1,-2), a十b=(一1,1)，(a十b)·c=一1十1=0，所以B正确，C错 则a·b=-1×1+2×(-2)=-5. 误：5a十3b=5(2,-1)十3(-3,2)=(1,1)=c.D正确.故 3.C因为a=1,b=2,向量a与b的夹角为60°， 选BD. 所以a·b=abc0s60°=1， 10.ABD对于A,a·b=2,A正确. 所以l4a-b|=√(4a-b)7=√16a-8a·b+b7= 对于B,因为a十b=(3,一6)=一3c,所以(a十b)∥c,B正 √16-8+4=25. 4.D由a+b=a-b,则a”+2a·b+b=a2-2a·b+ 境对于C.Iloo.--9,C辑误， b,整理可得a·b=0, 对D.osad0-日治-D运确 所以4一2动在b方的上的投影向童为[0：]。 :11.解析由c=a+(1-t)b得b·c=a·b+(1-1)b=0, 即1 allblcos60°+(1-t)lb1=0, ()b=-2b. 化简得号1+1-)=0，所以1=2. 5.DA市=aA店+AC,且AP⊥BC,:Ad.BC=(AAB+ 答案2 AC).(AC-AB)=AC-AAB+(-1)AB.AC=0. 12.解析令〈a,b》=0∈[0，π]，则一1≤c0s0≤1， 又向量AB与AC的夹角为120°，且AB1=2,AC=3, 而1a-b|=a+b-2a·b=√9+25-30cos0= Ai·花-i.A心c0s120=2X3x(-号）=-3 √34-30cos0∈[2,8]， 所以a一b的取值范围是[2,8] ∴3-AX2+a-1)X(-3)=0,解得=号.故选D. 答案[2,8] 6.B由已知得(AB+A亡)·B武=(AB+A元)· 13.解析图为a=(4,-3),所以a=√4+(-3)7=5， (AC-AB)=AC-AB=0. 又b=1,且a·b=5,设a与b的夹角为0， 则a·b=abc0s0=1×5cos0=5,解得cos0=1, ∴.|AC1=|AB1,则△ABC一定是等腰三角形. 又0∈[0，π]，所以0=0，即a与b的夹角为0， 7.A因为AB·AC=2AB,AD 所以a与b共线同向，又|b=1,所以b为a方向上的单 所以AB·AC-AB,AD=AB.D元=AB.AD. 位向量， :AB/CD,CD=2,∠BAD=T, 中6=日=吉4，-3)=（告-号）》 所以2A=A·icos于，可得A市1=2E, 答案0（告-是） .Ac.AD=(A市+D元)·AD=A市+A市.D元 14.解析设n=b十(1-)c, 则|a-b-(1-A)c|=a-n, 8+22X2Xc0s年=12， 所以|a-|n|≤|a-n.n2=沾+(I-ac 8.D因为2AO=AB+AC, =x1b12+(1-2)2|c2+2x(1-a)b·c=9x+16(1-a) =25A2-32入十16(0≤A≤1)， 所以2Aò=A0+O亦+Aò+O元. 即O市=-O心，所以B,O,C三点共线且O是BC的中点， 由二次函数性质，可得”≤n≤16，即号≤<4 图为O是△ABC的外心，所以BC是圆的直径， 故△ABC是以A为直角顶点的直角三角形， 所以aa≥a-a≥2-号-号-2=号 过点A向BC作垂线，垂足为N,连接AN,如图所示 所以a-汕-0-c的最小值为号 答案号 15.解析(1)A(1,4),B(一2.3).C(2,一1). AB=(-3,-1).AC=(1,-5). 国为B在武上的授影向量为B=骨成， AB+AC=(-2,-6), AB.AC=-3×1+(-1)×(-5)=2. 所以OA在BC上的投影向量为 AB+AC=√-2)+(-6)7=2√/10. O示=耐-成-武-成=成， (2):(AB-tO元)⊥O元. .(AB-O元).O元=0. O耐1=号成， 即AB.O元心-tO心=0， 则cos∠AOC= ON 名成 又AB=(-3,-1D.00=(2,-1), OA 名1成 4 AB.0心=-3×2+(-1)×(-1)=-5， 0心=22+(-1)2=5， 因为0C∠A0C<受， -5-51=0,.1=-1. 16.解析(1)：M为DC的中点， 所以sin∠A0C=V-cs∠A0C= 4 “i-2成 e 又DC=AB, 7.解析 sin asin(a-号）+cos acos(e-号） ∴-市+D成-市+}店-名a+b, :H为AD的中点，BF=专BC, os[。-(a-晋)门=os吾- ∴Ai-ò，丽-武 答案 0.5 又BC-AD. 8.解析 周为r[受]smr=，所以os=-. ∴H市=HA+AB+B =-号市+成+号动 所以2o(e-)+2osr= =A成-名市=a-名b, 2(co+）+2os (2)由已知得a·b=3×4×c0s120°=-6， in )+ Ai:H=(a+b)(a-名b 433=43-3 =2a+(1-2)ag 5 5 5 9.A由已知得cosacos-sin asin=号，① =-1 cos acos sin asin 3 ①+②，得cos acos月=0. 学业评价（十七）两角和与差的余弦 1o.c周为o(-若）-得 1.Bc0s225°c0s45°-sin225°sin45°=cos(225°+45)= c0s270°=0. 所以eosr+os(-晋) 2.D因为在△ABC中，osA=号asB=一高 时血A=号血B=是 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B = 0sr+ 3 =停msr+n) 3.B因为sin asin=方，cos(a-D =5cos(x-石）=-1.故选C =osc计sn6sng=cs叶号-号 解释6os6osg-号 11.解析由题意，得sina=sin月=3，cosa= 因此，cos(a+8g)=coscos--sin asin B=号-方 21 3,cos月2② -v1-sin a=2.co 3 5 cos (a-B)=cos acos 8+sin asin 8 4.B因为a,3都是锐角，则a十3∈(0，π)， 则sin(a+m=V√-cos(a+- 3 51 3 cosa=V个-sima=3而J 答案号 10 所以cosB=cos[(a+3)一a]=cos(a+3)cosa十sin(a十) 12.解析“9为锐角，in。=25. ma=25x3而+5x-72 50osg=10 10 10 5 1010 ,sin9=310 cos a5 5解折由随意可得血。一osa-停。 101 .'.cos (a+B)=cos acos B-sin asin B cos(答-a）=os若cosa+sin吾sina 10 5 10 2 又0a+Ka+=要 答案 3+V6 6 答案 6.解析cos105+sin195° =c05105°+sin(105°+90) 13.解析 =c0s105°+c0s105°=2c0s(135°-30) =2(cos 135cos 30+sin 135sin 30) 所以0<a<吾 =(号×9+号×） 2 又。c(-受音)ma一-器←g 答案 2-⑥ 2 所以-受<a-K-吾 58学业评价（十六） 向量数量积的坐标运算 10.已知向量a,b满足a+b=(4,-1),2a一b=(2, [必备知识·基础巩固] : 1),则cos(a一b,b)= ( 1.(2024·全国1卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若 A号 B-号 C.5 D.-√5 b⊥(b-4a),则x= A.-2 B.-1 C.1 D.2 11.已知向量a=(1,0),b=(1,1),则 2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知a=(3,4),b=(1,0), (1)与2a十b同向的单位向量的坐标表示为 c=a十b,若(a,c〉=(b,c〉，则t= () A.-6 B.-5C.5 D.6 (2)向量b一3a与向量a夹角的余弦值为 3.(2024·江西赣州高一期中)已知向量a=(1,2), b=(一1,3)，向量c满足a·c=3,b·c=2,则 12.在△ABC中，已知AB=2,AC=6,∠BAC= lcl= ( 60°，BC边上的中线为AM,N为AC的三等分 点，且满足AN=2NC,连接BV,BN与AM相 A.√2 B.3 c n 交于点P,则∠MPN的余弦值为 4.（多选题)(2024·云南红河高一期中)已知向量 13.已知向量OA=(2,2),OB=(x,-1),O心= a=(1,-2),b=(-1,m),则 (-2,1). (1)若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，求 A,若a与b垂直，则m=-号 x的值； B.若a∥b,则a·b的值为一5 (2)x为何值时，三点A,B,C可以构成一个三 C.若m=2,则a一b=2√5 角形？ D.若m=一2，则a与b的夹角为60 5.(2022·全国甲卷)已知向量a=(m,3),b一 (1,m十1).若a⊥b,则m= 6.已知a=(1,1),b=(0,-2),若a-b与a+b的 夹角为120°，则k的值为 7.已知a=(2,0),b=(1,2),实数t满足a-b= [学科素养·探索创新] √5，则t= 14.(2023·广东深圳·高一期中)已知正方形 8.已知向量a=(1,2),b=(-1,1). ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不 (1)求2a-b的坐标： 含边界)的动点，且满足P才·P第=0，则C产· (2)设a,b的夹角为0，求cos0的值： DP的取值范围是 ( (3)若(a一kb)⊥b,求k的值. A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4) 15.已知OP=(2,1).OA=(1.7),0B=(5,1),设C 是直线OP上的一点（其中O为坐标原点）. (1)求CA·CB取得最小值时OC的坐标： (2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB. [关键能力·综合提升] 9.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),c|=√5，若 (c-b)·a=号则a与c的夹角为 ( A.30° B.60° C.120° D.150° : 29 。数学·必修第三册（配RJB版）》 阶段测评（三） 向量数量积的应用 (时间90分钟，满分100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 10.已知向量a=(1,0),b=(2,-6).c=(-1,2), 1.已知a=1,b=(0,2),且a·b=1,则向量a与b 则 的夹角为 A.a·b=2 A. B C. D. B.(a+b)∥c 2.(2024·安徽合肥高一期中)已知向量a=(一1， C,a在c上的投影的数量为 2),b=(1,m),且a∥b,则a·b= ( A.0 B.-5C.4 D.3 D.a与c夹角的余弦值为-5 5 3.(2024·江西南昌高一期未)已知向量a,b满足 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分， |a=1,b|=2,向量a与b的夹角为60°，则 11.已知两个单位向量a,b 4a-b= ( 的夹角为60°，c=ta十 A.12 B.4 C.23D.2 (1-)b,若b⊥c,则1= 4.(2024·河南洛阳高一月考)已知两个非零向量 a,b满足a十b=a-b,则a一2b在b方向上 12.(2024·广西梧州高一月考)若a=3,b=5, 的投影向量为 则|a一b的取值范围是 A. B.2b c.-2b D.-2b 13.(2024·浙江台州高一期中)平面向量a,b中，已 知a=(4,-3),|b|=1,且a·b=5,则a与b 5.已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB1=2, 的夹角为 ,向量b的坐标为 AC=3.若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实 14.已知向量a.b,c满足a=2,|b=3,c=4, 数入的值为 ( 0≤A≤1，若b·c=0,则|a-b-(1一入)c的最 A号 小值为 B.13 C.6 n号 四、解答题：本题共2小题，共28分.解答应写出文 6.在△ABC中，(AB+AC)·BC=0,则△ABC一 字说明、证明过程或演算步骤. 定是 ( 15.(13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点 A.等边三角形 B.等腰三角形 A(1,4),B(-2,3),C(2,-1) C.等腰直角三角形 D.直角三角形 (1)求AB·AC及1AB+AC: 7.在梯形ABCD中，AB∥ (2)设实数t满足(AB-tOC)⊥O心，求t的值. CD,CD=2,∠BAD= 4 若A店·AC=2AB,AD, 则AD·AC= ( A.12 B.16 C.20 D.4/10 8.已知O是△ABC的外心，且满足2A)=AB十 16.(15分)如图，平行四边形 ABCD中，AB=a,AD=b. A花，若B在B心上的投影向量为吕B心，则 H,M是AD,DC的中点， sin∠AOC= BF-BC. A是 B c四 n项 (1)以a,b为基底表示向量AM与HF: 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每 (2)若|a=3,|b1=4,a与b的夹角为120°，求 小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的： AM.HF】 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量a=(2,-1),b=(-3,2),c=(1,1),则 ( A.a∥b B.(a+b)⊥c C.a+b=c D.c=5a+3b 30