8.2.1 两角和与差的余弦-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第八章向量的数量积与三角恒等变换。 §8.2 三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余弦 学业标准 学科素养 1.通过推导两角和与差的余弦公式，培养逻辑推 1.了解两角差与和的余弦公式的推导过程.（难点） 理等核心素养。 2.熟记两角差与和的余弦公式，并能简单应用.（重点）2.通过两角和与差的余弦公式的应用，提升数学 运算等核心素养。 必备知识 课前案。自主学习 素养初成 步教材梳理 ⊙结论形成 两角差的余弦公式 导学1两角差的余弦公式 cos (a-B)= 公式 简记符号C。司 问题1如何用角α，3的正弦、余弦值来表示 适用条件 公式中的角α，B都是任意角 cos(a一)呢？有人认为cos(a一3)=cosa 公式右端的两部分为同名三角函数的 cOs3,你认为正确吗，试举出两例加以 公式结构 积，连接符号与左边角的连接符号 说明. 相反 导学2两角和的余弦公式 问题1把公式cos(a-B)=cos acos B十 sin asin3中的3用一B代替，结果如何？ 问题2计算下列式子的值，并根据这些式 子的共同特征，写出一个猜想 ①c0s45°cos45°+sin45°sin45°= 问题2在cos(a十B)的公式中，a,B的条件 ②cos60°cos30°+sin60°sin30°= 是什么？ ③cos30°cos120°+sin30°sin120°= ④cos150°cos210°+sin150°sin210°= 猜想：cos acos B-十sin asin B-= 73 O数学·必修第三册（配RJB版） ©结论形成 (4)cos175cos55°+sin175°sin55°=- 两角和与差的余弦公式 2 ( 名称 公式 简记符号 条件 2.c0s345°的值等于 ( 两角和 cos(a十3)= 的余弦 C。 a,3∈R A.2-6 B6-2 4 4 基础自测 C,2+6 D.-②+6 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 3.sin7°cos37°-sin83°cos53的值是( (1)c0s(70°+40°)=c0s70°-cos40°. ( A (2)对于任意角a,B,总有cos(a一B)= cos a-cos B. ( ag D.- 2 (3)存在角a,B,使cos(a十3)=cosa+cos3. 4计算：2sin60°+ 1 2cos60°= 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 两角和与差的余弦公式的简单应用 规律方法 例1求下列各式的值： 公式C+是三角恒等式，既可正用，也可逆用， (1)c0s15°-c0s75°； 一定要注意公式的结构特征，灵活变换角或名称，同 (2)sin70°cos25°-sin20°sin25°； 时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值 (8os15-9sn15时 时，关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角（如， 30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问 [自主解答] 题，然后利用公式化简求值. [触类旁通] 1.求值：(1)cos(-15);(2)c0s15°c0s105°+ sin15°·sin105°. 74 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 题型二给值求值 : 题型三 给值求角 一题多变 例2(1)已知a是锐角，sina= 则 8已知cosa=7cos(a+)=是且 cos(于+a)等于 ( a,9e(o,)求B的值. A号 将 [自主解答] c号 n (2)若cos(a十B)= sin(g-）=e… (o,),则cos(a+)的值为 ( 号 c n [母题变式] [素养聚焦]根据已知的三角函数值求未知的三 1.(变条件)若例3条件中的“cos(a十)=一 角函数值，要观察条件与结论之间的关系，将二者 沟通即为解题过程，体现了逻辑推理和数学运算核 投改为"n（a+=5,求P的值。 心素养 规律方法 给值求值问题的两个主要技巧 (1)已知角的某一三角函数值，求该角的另 三角函数值时，应注意角的终边所在的象限，从而 确定三角函数值的正负。 (2)注意变角，“变角”的技巧在三角函数求值 以及证明中经常用到，因为合理“变角”后可充分 利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常 见的角的变换方式：a=(a十)一B=3-(9-a)= 2[a+m+a-m]=2[a+)-g-a],2a 2.(变结论)在例3的条件下，若Y∈(0，)： (a+B)+(a-3)=(a+B)-(p-a),4a=2·2a siny=号，求cos(g-》的值。 Q=2·受a+28=(a+8)+B等. [触类旁通] 2.(2024·浙江衢州高一期末)已知a,3∈ (o,引且os(a十m=n=5则 cos B= ( A.、⑤ 5 五爱 c n 75 。数学·必修第三册（配RJB版） 规律方法 [错因分析]本题是在三角形中，没有注 已知三角函数值求角的解题步骤 意角C的范围而致错， (1)求所求角的某种三角函数值.（为防止增 解最好选取在上述范围内单调的三角函数). 因为cosB<0,所以B是钝角，因此C是 (2)结合三角函数值及角的范围求角。 钝角是不可能的. [触类旁通] [正解] 5msB=-号<0，又Be0 3.(2024·贵州铜仁高一期中)已知sina= 得smg=,且a和3均为纯角，则e+P 六B是钝角sinB= 3 的值为 又sinC= 号B是能角， A 3 C是锐角∴cosC= C环或 ..cos A=-cos (B+C)=645 15 [缜密思维提能区] 易错辨析 [纠错心得] 三角形中角的范围不准致错 解题过程中，要仔细分析题意，认真对待每个 [典例]已知在△ABC中，sinC= 5 条件，同时要挖掘出隐含条件，如本题要结合三角 cos B=-- 求cosA 函数的性质合理确定角的范围， 评堂小结 [错解] :sinC-号且Ce0,x. 知识落实 技法强化 cosC=士3， (1)求三角函数值时注意角 (1)两角和与差的余 的构造 cos B=- ，B∈0，)B= 弦公式的推导， 3 (2)求三角函数值时注意其 (2)给角求值，给值 .cosA=cos[π-(B+C)] 符号的确定，求角时易忽视 求值，给值求角。 角的范围 =-(cos Bcos C-sin Bsin C) =-[(-±》-×1-1 品 请完成[课后案】学业评价（十七） 76[典题3] [解析] (1)由 十b =4,有 a +b十 $|al·|b cos =4.即42a·b(1+cos )8 (1十cos), 前一个等号成立条件为|al-lbl,整理得cos0<. 故cos (a-③)cos a-cos . ##}③# 问题2 [提示]①1 cos(a-B) (2)由题意知2lc-al-lc-b|, 结论形成 可得2lc-b+b-al-lc-b, cos acos B+sin asin $ 又由b--2a,可得2|(c-b)-3a|=lc -b |, 导学2 问题1[提示] 则4[(c-b)-6a·(c-b)+9a^{ ]=(c-b), cos (a+)=cos acos ③-sin asin 3. 即(e-b)-8a·(c-b)+12=0. 问题2 [提示]a,为任意角。 即a。(c-b)-(c-b)+12. 结论形成 8 8.(6-b)(-)+122 cos acos ③-sin asin{ 所以cos(a.(c-b)一 [基础自测] ac-b 8|c-b 1.(1)X(2)X(3) (4) # 2.C cos(300{十45*) 8c-b -cos 300{cos 45*-sin 300{sin 45} 当且仅当(c一b)}一12时,等号成立,所以向量(c一b)与a #####2#故选< 夫角的最大值是吾. 3. A 原式-cos 83{cos37*-sin83'cos(90-37) [答案](1)C(2)B [典题4][解析] 由题意设CE-mCD,m(0,1), -cos 83’cos 37*-sin 83*sin 37*-cos(37*+83*} -cos 120*-- . 因为BC-3BD,所以CD- #B-(A-AB), 4.解析 原式-sin 30”sin 60”+cos 30{cos 60” #以AEAC+cF-AC+(Ac-AB)- -cos(60*-30) (1+^)-A. 答案 。 又A-AB+AC,则{ 课堂案·互动探究 [例1][解析] (1)cos15*-cos75* 所以戏}+_(a+)第-2^1+2 -cos(60*-45*)-cos(45*+30*) #[()#-]0+1# (2)sin 70cos 25*-sin 20sin 25” 又m(0.1),由二次画数的性质得 -cos 20cos 25*-sin 20*sin 25* #-[(+3) -]+1(1,). 所以x②}t^{}的取值范围为(1,17). (3)cos 15-#sin 15- [答案](1.1) -cos 60*cos 15*-sin 60'sin 15} 88.2 三角恒等变换 -cos75-cos(45*+30) #### 8.2.1 两角和与差的余弦 课前案·自主学习 -2 [教材梳理] 导学1 [触类旁通] 问题1[提示] 不正确。 1.解析 (1)解法一 原式=cos(30*-45^*} 例如:当a-吾,-吾时, -cos 30*cos 45*+sin 30”sin 45” ##+4#0#} 解法二 原式-cos15*-cos(45*-30}) -cos 45{cos 30'+sin 45*sin 30” 故cos(a-③)字cosa-cos③; #####寸-△## 再如:当一时, (2)原式-cos(15-105*)-cos(-90)-cos90-0. =cos(a十③)cos a+sin (a+B)sin #×44- .B(0).; #所以o(+t#4△-# 当cos(a十)-1时:cos scos (a+)-a] (2) :a,E(o.吾).v.a十g(0,x). -cos(a+③)· cos a+sin(a+③)sina ##-(-). -44-(a. cos(a)--sin(n--.sn(a+8)= 且a+BE(o)BE(o). #1-c0ao# cos(a-)-1-sin(B--12 2.解析 由例3知一。 .cos(a)=cos(a+B)-(3-)] 又ve(o) siny-.#. cos -2. =cos (a+)cos(a-)+sin(a+$)sin(-) .cos(-)-cos(-→) -o osxrtsngin [答案](1)B(2)C 2-2_→ [触类旁通] 2.C 因为a,(0,),所以a+BE(0.n); [触类旁通] 3.D,a和B均为钝角, $ cos a--1-sin-24 cos a-1-nin-245. 5 cos 8=-1-sin{-3T0 于是有cos③-cos(a+3)-a] 10 -cos(a+g)cos a+sin(a+③)sina ..cos(a+③)-cos acos ③-sin asin- #-#×(-#0)## #3#24525,故选C. [例3] [解析]“:a,{(o.)且 cos a-. 由和均为钝角,得π<a十B<2-. a+③-7 8.2.2 两角和与差的正弦、正切 课前案·自主学习 a+ge(0.n).. sina= 1-cos43. [教材梳理] 导学1 问题1[提示] 可以,因为sin75^{}-cos15{}=cos(45*-30). 问题2[提示]可以,sin(a+③)-co[吾一(a+a)] 又③-(a+g-a. 'cos-cos[(a+③-a] -cos (-a)-8]-sin acos g+cos asinB. -cos(a+B)cos a+sin(a+③)sina ##-)#+##-## 问题3 [提示]能,用一3代3即可. 结论形成 #又(o).Ag-. sin acos 十cos asin ③ sin acos {-cos asin 导学2 [母题变式] 问题1[提示] tana-sing :a,(o.哥).a+E(0.x). 1.解析 cosa' 问题2[提示]能 tan(a十)-sin(a十) “:'cos a- sin(a+)-53. cos(a十③) 14 sin acos ③+cos asin ③tan a+tan3 .11 cos acos 3-sin asin1-tan atan{ 问题3 [提示] 能.将tan(a一③)=tan[a十(一③)]展开 1 当cos(a+)-- 即可, 问题4[提示]不是,a,曰,a士≠hax十k乙. cos 8-cos[(a十g)-a]