8.1.3 向量数量积的坐标运算-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第八章向量的数量积与三角恒等变换。 [正解]因为a十3b与7a-5b垂直， 工纠错心得】 所以(a十3b)·(7a-5b)=0, 实数中的有些运算在向量中是不成立的，求解 即7a2+16a·b-15b2=0. 问题时应注意区分.如a·b≠|ab:(a·b)2≠ 同理由a一4b与7a一2b垂直可得 7a2-30a·b+8|b|2=0, ab,等 /7|a2+16a·b-15|b12=0,① 则71a2-30ab+8b2=0.@ 课堂小结 ①-②，得46a·b=23b12, 知识落实 技法强化 所以a·b=2bP, (1)向量数量积的运(1)本节课应用了数形结合、 算律。 转化与化归的思想方法. 代入①，得a2=|b2.所以a=b. 设a,b夹角为0， (2)利用向量数量积证(2)注意不要忽视向量数 明垂直，求夹角、模 量积不满足结合律 则cos0=aib- a·b 1 1a2-2' 温馨 请完成[课后案】学业评价（十五） 所以0=60°. 8.1.3 向量数量积的坐标运算 学业标准 学科素养 1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量 1.通过推导数量积、模长、夹角的坐标表示，培养 积的坐标运算.（重点） 逻辑推理等核心素养。 2.能利用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关 2.通过数量积的坐标运算，提升数学运算等核心 长度、角度、垂直等问题.（重点、难点） 素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 ◎结论形成 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2). 导学1向量数量积的坐标表示 数量积 a·b= 设i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y 向量垂直 轴的正半轴同向的单位向量 的充要条件 问题1取i,j为坐标平面内的一组基底，设 导学2向量的模长及夹角公式 a=(x1y1),b=(x2,y2),试将a,b用i,j 表示，并计算a·b. 问题1若a=(x,y),试将向量的模a|用 坐标表示 问题2若a⊥b,则a,b坐标间有何关系？ 67 。数学·必修第三册（配RUB版） 问题2若A(x1,y1),B(x2,y2),如何计算 基础自测 向量AB的模？ 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)向量的模等于向量坐标的平方和 (2)若a=(x1y1),b=(x2y2),则a⊥b曰 x1x2十y1y2=0. () (3)若两个非零向量的夹角0满足cos0<0, 则两向量的夹角日一定是钝角。 (4)若a=(x1,y1),b=(x2,x2),则a·b= x1y2十x2y1 () ○结论形成 2.已知向量B=(分，，C=(停，)，则 条件 结论 ∠ABC ( 向量 A.30 B.45 a=(x.y) lal= 的模 C.60° D.120° 两点 以A(x1y）, 3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB 1AB1= 间的B(x2,y2)为端 同方向的单位向量为 ( 距离点的向量A店 A(层-) B(传-) 两向 a=(x1y1), c(-) D(》 量的 cos (a,b)= b=(x2y2） 4.设向量a=(1,一1)，b=(m+1,2m-4), 夹角 若a⊥b,则m= 关餽能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 向量数量积的坐标运算 (3)如图所示，在矩形ABCD 例11)已知a=(-4,3),b=(1,2),则 中，AB=√2，BC=2,点E为 a2-(a-b)·b= ( BC的中点，点F在边CD A.8 B.3+5 上，若AB·A京=2，则 C.28 D.32 AE·BF的值是 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边 规健方法 关于向量数量积的运算 形ABCD是平行四边形，AB=(1,-2), (1)在计算数量积的过程中，注意数量积运算 AD=(2,1),则AD·AC等于 律的应用，强调先化简再代入坐标运算」 68 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 (2)注意平面向量基本定理的应用，利用已知 (2)（2024·湖北黄冈高一期中)已知 坐标的向量表示未知向量后计算 A(3,-2),B(-1,-5),C(1,2),则 (3)在特殊图形中，如等腰三角形、矩形、正方 cOs∠BAC= ( ) 形等可以通过建立直角坐标系，表示出向量的坐 标后计算. 25 B.-25 25 [触类旁通] 1.(1)(2024·安徽铜陵高一期中)已知向量 c n是 a=(-2,2),b=(1,3),则(a-b)·(a十b)= [素养聚焦]在计算向量的夹角和模长的过程 中，提升数学运算核心素养 A.4 B.2 C.-2 D.-4 规律方法 (2)在边长为6的正方形ABCD中，点E 解决向量夹角问题的方法及注意事项 为DC的中点，点F在边BC上且BF= (1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出 F元，则A正·A正 这两个向量的数量积a·b及|ab,再由cos(a,b) A.18 B.24 C.30 D.42 a·b 工十出直接求出cos(a,b, 题型二向量的夹角（垂直）、模长问题 ab√元+了·√+月 (2)注意事项：利用三角函数值cos(a,b〉求 多维探究 角度1向量的模的问题 (a,b)的值时，应注意角〈a,b)的取值范围是 例2-=1(1)已知向量a=(2,1),b=(-1,1), a·b 0≤a.b≤180.利用cosa.b=日b判断(a, 则2a-b= ( b)的值时，要注意cos(a,b)<0时，有两种情况： A.5 B.4 C.26 D.6 是(a,b)是钝角，二是〈a,b)为180°：cos(a,b)>0时 (2)已知向量a=(1,m),b=（一1,0)，且 也有两种情况：一是a,b)是锐角，二是(a,b》为0°. a-b=a·b+6,则a= [触类旁通] A.5 B.23 C.22 D.2√6 2.(1)已知向量a=(1,2),b=(2,一3).若向 规律方法 量c满足(c十a)∥b,c⊥(a十b),则c等于 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用a=a,将向量 的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. A(日，) B(-3-) (2)坐标表示下的运算：若a=(x,y),则|a =√x+y. c.() n.(-- 角度2向量的夹角与垂直问题 (2)已知2a-b=(-1,3),c=(1,3),且 例2-2(1)(2024·全国甲卷)已知向量a= a·c=3,|b=4,则b与c的夹角为 (x+1,x),b=(x,2),则 ( A.“x=一3”是“a⊥b”的必要条件 题型三 数量积、坐标表示的综合应用 B.“x=一3”是“a∥b”的必要条件 例3如图所示，在正方形AB C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 CD中，E,F分别是AB,BC D.“x=一1十√3”是“a∥b”的充分条件 的中点，求证：AF⊥DE 69 。数学·必修第三册（配RJB版）》 [自主解答] [错解]由a与b的夹角为钝角， 得a·b<0, 即-2以-1<0，解得X心-2 [错因分析]a·b<0台a与b的夹角为 钝角或平角.因此上述解法中需要对结论 进行检验，把a与b的夹角为平角的情况 舍去. [正解]a·b<0→(-2,1)·（λ，-1）<0 →>-2 规律方法 又设b=ta(t<0),则（入，-1）=(-2t,t), 向量法解决平面几何问题的两种方法 所以t=一1，入=2，即入=2时，a和b反 用向量法解决平面几何问题，一般来说有两 向，且共线， 种方法： 所以x∈(-号2U(2,十∞).故选A, (1)基底法：选取适当的基底（尽量用已知模 或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基 [答案] A 底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质 [纠错心得了 计算. 设a,b均是非零向量 (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量 (1)(a,b)为锐角是a·b>0的充分不必要 的坐标化，将儿何问题中的长度、垂直、平行等问 条件 题转化为代数运算. (2)a·b>0[0，）a·b<0(a,b)∈ 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适 合用坐标法 [触类旁通] 课堂小结 3.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC, 知识落实 技法强化 ∠ADC=90°，AD=2,BC=1,P是腰DC 上的动点，则PA十3PB|的最小值为 (1)向量数量积的坐标表示. (2)设向量a=(x1y),b=(x22),(1)本节课应 [缜密思维提能区] 易错辨析 则a⊥b→x1x2十y1y:=0. 用了化归与转 化、数形结合 利用(a,b〉为钝角推得a·b<0致错 (3)c0s0= x1x2十y12 (0为 √十+ 的思想方法。 [典例]设平面向量a=(一2,1)，b=(,一1) 非零向量a(x1y1),b(x2,x2)的(2)两向量夹 (入∈R),若a与b的夹角为钝角，则入的取 夹角) 角的余弦公式 值范围是 (4)向量数量积在平面几何中的易记错。 A.（-2,2U(2,+∞)B.(2,+∞) 应用 c.(-2+∞) D.(-,-2》 温馨 提示 请完成[课后案」学业评价（十六） 70即|a+2a·b+b=lc2+2c·d+|d2, (2)由AC=Ai+AD=(1,-2)+(2,1D=(3,-1) 由于a·b=c·d, 得AD.AC=(2,1)·(3.-1)=5. .a2+b12=|c+|d12.① (3)以A为坐标原点，AB,AD分别为x轴、y轴建立平面 同理有a2+|d2=c2+b.② 直角坐标系，则A(0,0),B(2,0). 由①②可得|a|=c|,且b=|d, 即四边形ABCD的两组对边分别相等 设F(1,2),(0<1≤2)， .四边形ABCD是平行四边形. 由AB.A市=√2得②1=√2， 另一方面，由a·b=b·c,有b·(a-c)=0, 1=1,即F(1,2), 而由平行四边形ABCD可得a=一c, B亦=(1-√2,2)，A正=(2,1). 代入上式得b·(2a)=0, 即AE.B亦=②-2+2=√②. 即a·b=0,.a⊥b也即AB⊥BC 综上所述，四边形ABCD是矩形. [答案](1)C(2)5(3)2 8.1.3向量数量积的坐标运算 [触类旁通] 课前案·自主学习 1.(1)Ca=(-2,2),b=(1,3), [教材梳理] ∴.a-b=(-3,-1),a+b=(-1,5), 导学1 .(a-b)·(a+b)=-3×(-1)+(-1)×5=-2. 问题1[提示]：a=,十y1j,b=i+yj (2)C建立平面直角坐标系如图所示，易知A(0,0), .a·b=(i+yj)·(xi+yj) E(3,6),F(6,2), =x1x2+(12+x2y)i·j+y1y2j =rir:+yy. D 问题2[提示]a⊥b=a·b=0=1x十当y=0. ⊙结论形成 rix+yy a.b=xix+yy:=0 导学2 问题1[提示]：a=xi+以，r,y∈R, 0A) ∴.a=(xi+y)=(xi)2+2xyi·j+(y) 所以AE=(3,6),A庐=(6,2)， =xi+2xyi·j+y2. 所以AE.AF=3×6+6×2=30. 又=1j=1i…j=0, [例2-1门[解析](1)因为a=(2,1),b=(一1,1)，所以 .a2=x2+y,.aP=x2+y2, 2a-b=(5,1). .|a=√x+y. 问题2[提示]A店-O店-OA=(xy)-(xy) 所以|2a-b=√5+1=√26，故选C. (2)因为向量a=(1,n),b=(一1,0)，所以a一b=(2,m), =(不一y一4） a·b=-1, .AB=√，-x,)+(-y) O结论形成 又|a-b=a·b+6,所以√22+m=5,解得m=21, 所以a=/+m=√22，故选C. √+y √/(2-)+(-y) x1T十yy2 √+y√+ [答案](1)C(2)C [基础自测] [例2一2][解析](1)对于A,当a⊥b时，则a·b=0, 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 所以x·(x十1)十2x=0,解得x=0或一3，即必要性不成 2.A由题意得cos∠ABC= Bi·BC 立，故A错误： BAIBCI 对于C,当x=0时，a=(1,0),b=(0,2),故a·b=0,所以 aLb,即充分性成立，故C正确： 1×1 2 对于B,当a∥b时，则2(x十1)=x,解得x=1土3，即必 又0≤∠ABC≤180°，所以∠ABC=30, 要性不成立，故B错误： 3.AAB=(4-1,-1-3)=(3,-4) 对于D.当x=-1十3时，不满足2(x十1)=x,所以a∥b 所以AB=√3+(-4)了=5，因此与向量AB同方向的 不成立，即充分性不成立，故D错误. (2)A(3,-2),B(-1,-5),C(1,2),则AB=(-4,-3). 单位向量为 -（停》 AC=(-2,4) 4.解析因为a⊥b,所以a·b=m十1一(2m-4)=0,所以 cos∠BAC= AB.A亡 =8-12-_25 m=5. |AB1·|AC15X25 25 答案5 [答案](1)C(2)B 课堂案·互动探究 [触类旁通] [例1门[解析](1)a-(a-b)·b 2.解析(1)设c=(x,y),则c十a=(x+1,y十2) =a2-a·b+b 又(c+a)∥b,.2(y+2)+3(x+1)=0.① =25-(-4+6)十5=28.故选C. 又c⊥(a十b), 23 @ .(xy)·(3,-1)=3x-y=0.② 联立①②解得x= 7 7 (2)(2a-b)·c=2a·c-b·c =(-13)·(1,W3)=2 a·c=3,b·c=4. 0 ose=8后=2 (2)因为点C为AB的中点，AB=2, 故(b,c)=60°. 答案(1)D(2)60 所以a=E,∠CAB=冬 [例3][证明]证法-设AD=a,AB=b, 所以|AC+M店=(AC+M店)-AC+M亦+2AC. 则|a=b,a·b=0, M店=|AC:+|M?+2AC·IM店cos不 又成=Di+A花=-a+名： b 1MB1+21MB1+2=(1MB1+1)+1, 正-+萨-b+号 因为点M为线段AB上的一点，所以0≤|MB|≤2， 所以.D成-6+号)(-a+名) 所以2≤(1MB+1)°+1≤10， 所以AC+MB的取值范国是[2，√/O]故选D [答案](1)D(2)D [典题2][解析](1)如图所示，以O为坐标原点，BE所 =-a+2a1=0 在直线为x轴，BE的垂直平分线所在直线为y轴，建立平 故A市⊥D正，即AF⊥DE 面直角坐标系，设点P(cos0,sin0)(0≤02π)， 证法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边 长为2，则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),A庐=(2,1)， Di-(1.-2. 由题意知，E(2,0),O(0,0),则PE-(2-cos0.-sin0). OE=(2,0), 因为A市.D正=(2,1)·(1，-2)=2-2=0， 所以PE.OE-4-2cos0,当cos0=1,即0=0时，PE, 所以A市⊥DE,即AF⊥DE [触类旁通] O正取最小值2 3.解析建立平面直角坐标系如图所 (2)过点O作OD∥AB交半圆弧于点D,连接AO,OP,如 示.设P(0,y),C(0,b),则B(1,b), 图所示， A(2,0),则PA+3P求=(2，-y)+ C0.1, 3(1,b-y)=(5,3b-4y). .|PA+3Pi12=25+(36-4y) (0≤y≤b), 当y-是6时，可+3成1最小 o D) IPA+3 PBld=5. 而△ABC是正三角形，则∠BOD= 3 答案5 令OP,AB夹角为0， 教考衔接3平面向量的最值、范围问题 [典题1门[解析](1)如图所示，以B点为坐标原点，建立 当点P在孤BD上时，0<<子，当点P在孤C上时， 平面直角坐标系， 设AB=a,BP=x(0≤r≤a),因为AD=2,BC=3, 0K行，于是-<ms1 所以P(0,x),C(3,0),D(2,a), 星然A0=3,0P=1,∠0AB=g,A市=A0+O产 所以PC=(3,-x),PD=(2a-x),2PD=(4,2a-2x). 所以AB.AP=AB.(Aò+OP)=AB.AO+AB.OP 所以PC+2PD=(7,2a-3r), 所以PC+2PD1=√49+(2a-3a)≥7， 1Ai1 AOlcos-日+AOPcos0 所以当2a-3=0,即x=号a时，P元+2Pi的最小值 -2×5×9+2X1×ems0=3+2os0e[2.51. 为7，故选D. 答案](1)D(2)B 24