8.1.2 向量数量积的运算律-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

○数学·必修第三册（配RJB版） 规律方法 课堂小结 求向量的夹角应用数量积的变形公式cos0= 知识落实 技法强化 ab,一搬要求两个整体a·b,al1bl,不方便 a·b (1)向量的夹角、向量 (1)向量的数量积的计算 数量积的定义 求出时，可寻求两者之间的关系，转化条件解方程组， 应用了数形结合的思想 (2)向量数量积的 方法. 利用向量的几何意义简捷直观地得出. 性质. (2)注意不要混淆投影与 (3)向量的投影及向量 [触类旁通] 投影的数量。 数量积的几何意义 3.已知在△ABC中，AB=AC=4,AB· AC=8,则△ABC的形状是 请完成[课后案】学业评价（十四） 8.1.2 向量数量积的运算律 学业标准 学科素养 1.通过学习数量积的运算律，培养数学抽象等 1.掌握平面向量数量积的运算律，以及运算律的适用范 核心素养。 围、与实数乘法运算律的区别.（重点） 2.通过数量积的性质、运算律的应用，提升数 2.会应用运算律进行相关的计算或证明.（重点、难点） 学运算、逻辑推理核心素养. 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 ◎结论形成 1.向量数量积的运算律 导学 向量数量积的运算律 已知向量a,b,c与实数λ，则 问题1如图所示，a= 交换律 1b=6,0=120°，求a·b,b 结合律 (a)·b 0=120° ·a,(2a)·b,a·(2b) 分配律 (a+b)·c= 的值. 2.向量数量积的常见运算结论 (1)(a士b)2=a2±2a·b+b2. 问题2若a,b,c均为非零向量，那么a·b (2)(a+b)·(a-b)=a2-b2. b·c→a=c正确吗？ 基础自测 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 问题3对于向量非零向量a,b,c,(a·b)c (1)λ(a·b)=a·b. (b·c)a成立吗？ (2)AB·AC+AB·CD=AB·(AC+ CD)=AB·AD 64 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 (3)若(a)·b=0,则a⊥b. ():3.已知单位向量a,b的夹角为60°，则在下列 (4)a|2-|b|2=(a+b)·(a-b).( ) 向量中，与b垂直的是 2.已知两个单位向量e1,e2的夹角为0，则下 列结论不正确的是 ( A.a+2b B.2a+b A.e1在e2方向上的投影为cos0 C.a-2b D.2a-b B.e=e2 4.已知向量a,b满足|a|=2,lbl=1,a·b= C.(e1+e2)⊥(e1-e2) D.e1·e2=1 1,则向量a与(a一b)的夹角为 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 向量数量积及向量的模 [触类旁通] 例1(1)设a,b为单位向量，且|a十b|=1, 1.(1)(2024·北京高一 则|a一b1= 期中)已知向量a,b,c (2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|=1, 在正方形网格中的位 置如图所示.若网格纸 12a+b=√10，则|bl= 上小正方形的边长为 (3)已知向量a与b的夹角0=120°，且 1,则(a十b)·c= |a=4,|b|=2,求：①(a+b)2;②a2-b2; A.2 B.-2 C.1 D.-1 ③(a-2b)·(a+b). (2)(2024·辽宁大连高一期中)已知向量 [自主解答] a,b满足|a=1,|b|=2,(a,b)= 则 |3a+b= () A.7 B.√7 C.19 D.√19 题型二 向量的夹角与垂直问题 多维探究 角度1 求两个向量的夹角 例2-1已知向量a,b满足|a=2,|b=√2， 规律方法 a·b=一2，设a与(a十b)的夹角为0，则 cos 0= ( (1)已知模、夹角的向量数量积运算 1 一是注意数量积运算律的应用；二是注意利 A. 用向量的加减法合并向量，上述的两个方面都可 以起到简化运算的作用， .号 (2)求向量的模的常见思路及方法 ! 角度2 与向量垂直有关的问题 ①求模问题一般转化为求模平方，与向量数 例2-2(2024·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满 量积联系，并灵活应用a2=|a2,勿忘记开方； 足|a=1,a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则 ②a·a=a=a2或a|=√a,此性质可用 b= () 来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的 8② D.1 相互转化 c. 65 O数学·必修第三册（配RJB版） 规律方法 [触类旁通] (1)求向量夹角在应用数量积的变形公式 : 3.四边形ABCD中，AB=a,BC-b,C元=c, 如0一日治时，一激要求两个套株。·6 DA=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,试问 四边形ABCD是什么图形？ abl,不方便求出的，可寻求两者关系，转化条 件解方程组. (2)非零向量a⊥b台a·b=0是非常重要的 性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关 垂直问题十分有效，应熟练掌握， [触类旁通] 2.若夹角为的非零向量a,b满足|a=1 且a⊥(a一b),则|b1= ( ) A.1 B.3 C.2 D.3 题型三向量数量积在平面几何中的应用 例3如图，若D是△ABC 内一点，且AB2一AC2= [缜密思维提能区] 易错辨析 DB2-DC2.求证： 向量数量积的运算律学握不准致错 AD⊥BC [典例]已知a,b都是非零向量，且(a十3b) [自主解答] 与(7a-5b)垂直，(a-4b)与(7a-2b)垂 直.求a与b的夹角. [错解]由题意，得 (a+3b)·(7a-5b)=0, (a-4b)·(7a-2b)=0, 17a2+16a·b-15b=0,① 即 7a2-30a·b+8b2=0.② ①-②，得46a·b=23b2,即2a·b=b2. 因为b0,所以a=b, 把它代入②，得a=b,则|a=bl,设a与b 的夹角为0，则 [素养聚焦]数量积在平面几何的应用过程中， cos 0=T a·b b 1a1b1b12=2, 体现了逻辑推理、数学运算核心素养 因为0°≤0≤180°，所以0=60°」 规律方法 [错因分析]在求出2a·b=b2之前是正 利用向量数量积解决几何问题的步骤 利用向量数量积及运算律解决几何问题一般分 确的，此式子说明a·b与B是两个相等 为三步：一是选取合适的基底（尽量用已知模或夹角 的数，两边同时约去b,即两边同除以b是 的向量作为基底)，将涉及的向量用基底表示；二是进 错误的，因为向量没有除法，结果正确只是 行向量运算；三是还原为几何结论 巧合 66 第八章向量的数量积与三角恒等变换○ [正解]因为a十3b与7a-5b垂直， 汇纠错心得了 所以(a+3b)·(7a-5b)=0, 实数中的有些运算在向量中是不成立的，求解 即7a2+16a·b-15|b|2=0. 问题时应注意区分.如a·bl≠|albl;(a·b)2≠ 同理由a一4b与7a一2b垂直可得 71a2-30a·b+8b12=0, a2b,等 17a2+16a·b-15lb12=0,① 则71a-30ab+81b1-0.② 课堂小结 ①-②，得46a·b=23|b12, 知识落实 技法强化 所以a·b=2b, (1)向量数量积的运(1)本节课应用了数形结合、 算律 转化与化归的思想方法. 代入①，得|a2=|bl2.所以a=|b. 设a,b夹角为0， (2)利用向量数量积证(2)注意不要忽视向量数 明垂直，求夹角、模 量积不满足结合律。 则cos0=aib a·b 2a2 1 1a2- 2 温馨 请完成[课后案】学业评价（十五） 所以0=60°. 8.1.3 向量数量积的坐标运算 学业标准 学科素养 1.掌握向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量 1.通过推导数量积、模长、夹角的坐标表示，培养 积的坐标运算.（重点） 逻辑推理等核心素养 2.能利用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关2.通过数量积的坐标运算，提升数学运算等核心 长度、角度、垂直等问题.（重点、难点） 素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 ⊙结论形成 设向量a=(x1,y1),b=(x2y2). 导学1向量数量积的坐标表示 数量积 a·b= 设i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y 向量垂直 轴的正半轴同向的单位向量。 的充要条件 问题1取i,j为坐标平面内的一组基底，设 导学2向量的模长及夹角公式 a=(x1y1),b=(x2y2),试将a,b用i,j 表示，并计算a·b. 问题1若a=(x,y),试将向量的模|a|用 坐标表示。 问题2若a⊥b,则a,b坐标间有何关系？ 678.1.2向量数量积的运算律 ②a2-b=|a2-|b12=16-4=12. 课前案·自主学习 ③(a-2b)·(a+b)=a2+a·b-2a·b-2b [教材梳理] =a2-a·b-2b2=|al2-a·b-2b2 导学 =16+4-8=12. 问题1[提示]a·b=b·a=18, [答案](1)3(2)2(3)路 (2a)·b=36,a·(2b)=36, [触类旁通] 即(2a)·b=a·(2b). 问题2[提示]不正确. 1.(1)B依题意，a=E,b1=2,c=2,a,b)=平， 因为a·b=b·c(b≠0)表示向量c,a在向量b上授影的 数量相等，并不能说明a=c,如图所示，虽然a·b=b·c, bLc,a,e=要 但a≠c. 因光a…c=1 e=2×2×(-9）)=-2, b·c=0, 所以(a+b)·c=a·c+b·c=-2. (2)B因为a=1,b1=2,(a,b)=2 3 6 问题3[提示]不成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共 所以a·b=lbco,b=1X2x(-7）=-1. 线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a 所以|3a+b12=9a2+b2+6a·b=9+4-6=7, 不一定共线，所以(a·b)c=a(b·c)未必成立. 所以3a+b=√7. ⊙结论形成 1.a·b=b·aa·(b)a(a·b)a·c+b·c [例2-1][解析]因为|a=2,b川=2，a·b=-2, [基础自测] 所以|a+bl=√/(a+b)7=√a+2a·b+b= 1.(1)×(2)√(3)×(4)/ W2+2×(-2)+(W2)=V2, 2.De1·e=e,|·le Icos0=cos0.故选D. a·(a十b)=a2十a·b=22-2=2,所以cos0= D由题意，得a·b=a·bcos60=号，对于A,a十 2b)·b=a·b+26=号+2=号≠0，故A不特合题意： ... 0的a普c [答案]C 对于B,(2a十b)·b=2a·b+b=1十1=2≠0，故B不将 :[例2-2][解析]因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0, 合题意：时于C,(a-2b)·b=a·。-26=号-2=-是 即b2=2a·b, 又因为|a=1,1a+2b|=2,所以1+4a·b+4b=1+6b ≠0，故C不符合题意；对于D,(2a-b)·b=2a·b-b= 1-1=0,所以(2a-b)⊥b.故选D. 4.解析la-b-√a-b=√a+b-2a·b=√3， 从西1=号 [答案]B 设向量a与a一b的夹角为0，则 [触类旁通] c0s0=g（a-b=22-1_5 2.C因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0,即a2-a·b=0, lal la-bl 2X32 又9e[0,],所以0=吾 所以a-ac答=0，将a=1代入，得 1b1=2. 答案 [例3][证明]如图所示，设A店 课堂案·互动探究 a,AC=b, [例1][解析](1)，a,b为单位向量，且|a十b=1, AD=c,DC=d,DB=e, .(a+b)2=1. 则a=c十e,① 1+1+2ab-1,ab=-分a-b2=a2+B- b=c+d.② AB2-AC=DB2-DC, 2ab=1+1-2x(-号)=3a-6l=. 即lal3-lb2=e2-d2, a2-b=e2-d. (2)因为|2a+b|=J10, 所以(2a+b)2=10, 将①②代入上式，得(c+e)2-(c+d)2=e2-d, c2+2c·e+e2-c2-2c·d-d2=e2-d, 所以4a2+4a·b+b=10, 又因为向量a与b的夹角为45°且a=1, 得c·(e-d)=0. 所以4|a2+4al1bcos45°+|b12=10, 又：BC-BD+DC=-e+d=-(e-d), 故4X1+4X1X1b×号+1b=10, .AD.BC=c·[-(e-d)]=-c·(e-d)=0, Ai⊥B元，即AD⊥BC. 整理得b2+2√21b-6=0, [触类旁通] 解得|b=√2或b=-3√2（舍去）. 3.解析四边形ABCD是矩形，这是因为： (3)①(a+b)2=a2+2a·b+b 一方而：'a十b十c十d=0, =a+2a·b+1b12=16-8+4=12. ∴.a+b=-(c+d),.(a+b)2=(c+d)2, 22 即a2+2a·b+|b|2=|c2+2c·d+d2, (2)由AC=A+AD=(1,-2)+(2,1)=(3,-1), 由于a·b=c·d, 得AD.AC-(2,1)·(3,-1)-5. ∴.lal2+lb2=lc2+|dl2.① (3)以A为坐标原点，AB,AD分别为x轴、y轴建立平面 同理有1a2+|d2=|c2+1b2.② 直角坐标系，则A(0,0),B(W2,0). 由①②可得a|=|cl,且lb=|d, 即四边形ABCD的两组对边分别相等， 设F(t,2),(0<1≤2)， .四边形ABCD是平行四边形， 由AB,AF=√2得√2t=√2， 另一方面，由a·b-b·c,有b·(a-c)-0, .t=1,即F(1,2), 而由平行四边形ABCD可得a=一c, B=(1-√2,2)，AE=(W2,1), 代入上式得b·(2a)=0, 即AE·BF=2-2+2=√2. 即a·b=0,.a⊥b也即AB⊥BC, 综上所述，四边形ABCD是矩形. [答案](1)C(2)5(3)W2 8.1.3向量数量积的坐标运算 [触类旁通] 课前案·自主学习 1.(1)Ca=(-2,2),b=(1,3), [教材梳理] ∴.a-b=(-3,-1),a+b=(-1,5), 导学1 .(a-b)·(a+b)=-3×(-1)+(-1)×5=-2. 问题1[提示]：a=x1i计yj,b=xi计yj, (2)C建立平面直角坐标系如图所示，易知A(0,0), a·b=(x1i计y1j)·(xzi计yj) E(3,6),F(6,2), =xx+(xy+xy)i.j+yyj D =x1x2十y1y2 问题2[提示]a⊥b白a·b=0=工1x2十出y=0. O结论形成 xx2十y1a·b=工1x十y1y2=0 导学2 问题1[提示]a=xi十以，x,y∈R, O(A) B .a2=(xi+y)2=(xi)2+2xyi·j+(y) 所以AE=(3,6),AF=(6,2), =x2+2xyi·j+y2j. 所以AE·AF=3X6+6×2=30. 又=1，=1，i·j=0, [例2-1][解析](1)因为a-(2,1),b=(一1,1)，所以 .a2=x2+y2,.la2=x2+y2, 2a-b=(5,1), .al=√x+y. 问题2[提示]“A成=O成-OA=(x4y)-(y) 所以|2a-b=√52+1严=√26，故选C. (2)因为向量a=(1,m),b=(-1,0),所以a一b=(2,m), =(x2-x14一)， a·b=-1, AB=√(2-x)+(y-y) ○结论形成 又|a-b=a·b+6,所以√22+m=5,解得m2=21, √+y√/x2-x)+(y2-y) x1x十yy2 所以|a=√+m-√22，故选C. √+y√/+ [答案](1)C(2)C [基础自测] [例2-2][解析](1)对于A,当a⊥b时，则a·b=0, 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 所以x·(x十1)+2x=0,解得x=0或一3，即必要性不成 BA·B 立，故A错误； 2.A由题意得cos∠ABC= IBAIIBCI 对于C,当x=0时，a=(1,0),b=(0,2),故a·b=0,所以 a⊥b,即充分性成立，故C正确； 1×1 2 对于B,当a∥b时，则2(x十1)=x2,解得x=1士3，即必 又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC=30°， 要性不成立，故B错误； 3.AAB=(4-1,-1-3)=(3,-4), 对于D,当x=一1十3时，不满足2(x十1)=x2,所以a∥b 所以|AB1=√3+（一4）了=5，因此与向量AB同方向的 不成立，即充分性不成立，故D错误 (2)A(3,-2),B(-1,-5),C(1,2),则AB=(-4,-3), 单位向量为 AC=(-2,4), 4.解析因为a⊥b,所以a·b=m+1一(2m-4)=0,所以 Ai.AC=8-12=_25 m=5. cos∠BAC=1AB·a5x26 25 答案5 [答案](1)C(2)B 课堂案·互动探究 [触类旁通] [例1][解析](1)a2-(a-b)·b 2.解析(1)设c=(x,y),则c十a=(x十1，y+2), =a2-a·b+b 又(c+a)∥b,.2(y+2)+3(x+1)=0.① =25-(-4+6)+5-28.故选C. 又c⊥(a+b), 23