8.1.1 向量数量积的概念-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 §8.1向量的数量积 当|a=|b但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有 8.1.1向量数量积的概念 |a·c≠|b·cl,反过来由a·cl=|b·c也推不出|al= 课前案·自主学习 b.故命题④是假命题，故选C [答案]C [教材梳理] [触类旁通] 导学1 1.解析上迷三个命题中只有③正确，因为|a=|bl=1,所 问题[提示]能. 以a2=|a2=1,b=|b2=1,故a2=b.当非零向量a,b ⊙结论形成 垂直时，有a·b=0,显然①②错误. ∠A0B[0,]0x 2 aLb o 答案③ [例2][解析](1)因为AD∥B武，且方向相同， 导学2 所以AD与BC的夹角是0°， 问题[提示]3X5×cos30°=15,5D. 2 所以AD·BC=|AD11 BCI cos0°=33×1=9. ⊙结论形成 (2)因为AB∥CD,且方向相反，所以A店与C可的夹角是 1.lallblcos(a,b)a·ba·b=lal|blcos(a,b)0 180°，所以AB.CD=|AB11CD1cos180°=4×4×(-1) 2.(1)a·b=0(2)al1bl-|al1bl(3)1a|2|a= =-16. a④治 (3)图为AB与AD的夹角为60°，所以AB与DA的夹角为 (5)≤ 120°，所以AB.DA=|AB11DA1cos120°=4×3× 导学3 (-)=-6 问题[提示]①AB,=(3,0);A2B2=(0,3) (4)因为AB与A方的夹角为60°，而C克与AD方向相反，所以 ②AB,3;投影是一个向量，投影的数量与投影的长度有 AB与C克的夹角为120°，所以AB在C店上投影的数量为 关，当两向量夹角为锐角时，此时，投影的数量即投影的 长度. 1ilco120=4×(-2）=-2. ○结论形成 [母题变式] 1.(1)AB(2)a在向量b上AB 解析1CB1×cos120°=3×cos120°=- 2.bcos(a,b)lalcos(a,b) [触类旁通] 3.a在向量b上的投影的数量与b的模 [基础自测] 2.D如图所示，OA=a,Oi=b, 1.(1)×(2)×(3)√(4)× 2.C:AB·AC-1AB1 ACI cos∠BAC<0, .cos∠BAC<0,即∠BAC为纯角，故选C. 3.Ce1,e2共线，∴.(e1,e2)=0或π， b O B .e1·e2=士1. :∠AOB=120°，过A作AA'⊥OB,垂足为A', 4.解析1b1cos(a,b)=4X(-2)=-2, ∴.a在b上的投影为OA',∴∠AOA'=60°，OA=8, a|cos(a,b》=-4. 0A=0A·cos60=8X号=4，又b=2. 答案-2一4 .OA=-2b,故选D. 课堂案·互动探究 [例3][解析]当a≠0，b≠0，a⊥b时，也可得到a·b=0, [例1门[解析]需对以上四个命题逐一判断，依据有两条， 所以A错误； 一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误： 形法则.①中因为a·b=a·|bl·cos0,所以由a·b= 由数量积的性质知，C正确： 1 allblz及a,b为非零向量可得|cos8=1,所以0=0或x, 因为a·a=|allalcos0=a2,所以a=√a,所以D正确. 所以a∥b,故命题①是真命题：②中若a,b反向，则a,b的 [答案]AB 夹角为π，所以a·b=allblcosπ=一allb,且以上各步 [触类旁通] 均可逆，故命题②是真命题：③中当a⊥b时，将向量a,b的起 3.解析A店·AC=ABIIACIcos∠BAC, 点确定在同一点，以向量，b为邻边作平行四边形，则该 中8=4X4eos∠BAC,于是cos∠BAC-合 平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a十 图为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC=60 b=|a-bl.反过来，若a十b川=la-b,则以a,b为邻边 又AB=AC,故△ABC是等边三角形. 的四边形为矩形，所以有a⊥b,因此命题③是真命题；④中 答案等边三角形 21第八章 向量的数量积与三角恒等变换 §8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 学业标准 学科素养 1.了解向量数量积的物理意义.（难点） 1.通过向量数量积的学习，培养数学抽象等核心素养 2.掌握向量数量积的定义，理解其几何意义。 2.通过向量数量积的应用，提升数学运算等核心素养。 (重点) 必备知识 课前案。自主学习 素养初成 教材梳理 导学2向量数量积的定义 ？问题如图，在力F的作用 导学1两个向量的夹角 下，木块在水平方向上移 309 ?问题设a,b是两个非零向量，能否把a,b 动了5m,若F=3N,则力F做的功是 平移到共同起点？ 多少？ ⊙结论形成 ◎结论形成 1.向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB= 条件 a与b为非零向量 定义 b,则 叫做向量a与b的夹角，记 称 为向量a与b的数量 作(a,b) 结论 积（或内积） 范围 (a,b)∈ ,(a,b)=(b,a) 向量a与b的数量积记作 0= a与b同向 记法 即 0= a与b反向 规定 零向量与任一向量的数量积为 特殊 a与b垂直，记作 ,规定 0 [点拨] 两向量的数量积记作a·b,千万 可与任一向量垂直 不能写成aXb或ab的形式. 61 。数学·必修第三册（配RJB版） 2.向量数量积的性质 (2)在向量上的投影：给定平面上的一个非 设向量a与b都是非零向量， 零向量b,设b所在的直线为l,则a在直 (1)a⊥b台→ 线！上的投影称为 的投影.如图2 ,当a,b同向时， 中，向量a在向量b上的投影为 (2)当a∥b时，a·b ,当a,b反向时 2.投影的数量 (3)a·a= 或 a,b都为非零向量 (4)cos(a,b)= 向量b在a上投影的数量 (5)1a·b al bl. 向量a在b上投影的数量 向量的投影与向量数量积的几何 导学3 3.a·b的几何意义 意义 数量积a·b等于 ?问题在平面直角坐标系中，若A(1,1), 的乘积. B(4,4),过点A作x轴、y轴的垂线，垂足 分别为A1,A2,过点B作x轴、y轴的垂 基础自测 线，垂足分别为B,B2, 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） ①则AB,= ;A2B2= (1)两个非零向量a,b的夹角为π时，这两 ②AB在x轴上的投影（向量）及投影的数 个向量是相反向量. 量分别是什么？二者有什么关系？ (2)在等边△ABC中，向量AB与向量BC 夹角为60° () (3)两个非零向量a,b满足a=沾，若入>0， 则向量a,b的夹角为0. ( (4)向量a在向量b上的投影的数量一定 ○结论形成 是正数. ( 1.向量投影 : 2.在△ABC中，AB·AC<0,则△ABC是 (1)在直线上的投影：如图1所示，设非零 ( 向量AB=a,过A,B分别作直线1的垂 线，垂足分别为A',B,则称向量 A锐角三角形 B.直角三角形 为向量a在直线L上的投影向量或投影 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.已知e,e2是两个互相平行的单位向量， 则下列判断正确的是 () A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1 图1 C.e1·e2=士1 D.e1·e2<1 4.若|a=8,b|=4,(a,b)=120°，则b在a A 上的投影的数量为 ,a在b上投 图2 影的数量为 62 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 与数量积有关命题的判断 [母题变式] 例1已知a,b,c是三个非零向量，则下列命 (变结论)本例(4)改为：求CB在AB上的投 题中正确命题的个数为 ( 影的数量. ①a·b=|al|bl→a∥b: ②a,b反向台a·b=-a|b1; ③a⊥b台|a+b|=a-b: ④|a=b台a·c=|b·cl. A.1 B.2 C.3 D.4 规律方法 两向量方向相同时，夹角为0（或0°）：而反向 时，夹角为x(或180)：两向量垂直时，夹角为受 规律方法 (或90)，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反 (1)求平面向量数量积的步骤 过来，若两向量的夹角为0或π，则两向量共线. ①求a与b的夹角0,0∈[0°，180]： [触类旁通] ②分别求a和bl: 1.给出以下命题： ③求数量积，即a·b=a|bcos0,要特别注 ①若a≠0，则对任一非零向量b都有 意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不 a·b≠0； 能用“×”连接，也不能省去。 ②若a·b=0,则a与b中至少有一个 (2)求a在b上的投影的数量 为0： lalcos (a,b)-a.b bT· ③a与b是两个单位向量，则a2=b2. 其中正确命题的序号是 [触类旁通] 题型二求向量的数量积、投影的数量 2.已知a=8,|b|=2,(a,b)=120°，则向量 一题多变 a在b上的投影为 例2如图所示，在口ABCD A.2 B.-2 中，AB1=4,AD1=3, C.2b D.-2b ∠DAB=60°，求： 题型三 向量数量积性质的简单应用 (1)AD.BC:(2)AB.CD:(3)AB.DA: 例3（多选题）对于任意向量a,b,c,下列命 (4)AB在CB上的投影的数量. 题不正确的是 [自主解答] A.若a·b=0,则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C.若a⊥b,则a·b=0 D.a=√a [素养聚焦]应用向量数量积的性质求夹角的过 程中，体现了数学运算、直观想象核心素养 63 。数学·必修第三册（配RJB版） 规律方法 课堂小结 求向量的夹角应用数量积的变形公式0s0= 知识落实 技法强化 a6,一般要求两个整体a·b,abl,不方便 a·b (1)向量的夹角、向量 (1)向量的数量积的计算 数量积的定义. 求出时，可寻求两者之间的关系，转化条件解方程组， 应用了数形结合的思想 (2)向量数量积的 方法. 利用向量的几何意义简捷直观地得出。 性质. (2)注意不要混淆投影与 (3)向量的投影及向量 [触类旁通] 投影的数量. 数量积的几何意义， 3.已知在△ABC中，AB=AC=4,AB· 温馨 AC=8,则△ABC的形状是 提 请完成课后案」学业评价（四） 8.1.2 向量数量积的运算律 学业标准 学科素养 1.通过学习数量积的运算律，培养数学抽象等 1.掌握平面向量数量积的运算律，以及运算律的适用范 核心素养 周、与实数乘法运算律的区别.（重点） 2.通过数量积的性质、运算律的应用，提升数 2.会应用运算律进行相关的计算或证明.（重点、难点） 学运算、逻辑推理核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 ○结论形成 1.向量数量积的运算律 导学向量数量积的运算律 已知向量a,b,c与实数入，则 问题1如图所示，a= 交换律 b=6,0=120°，求a·b,b 结合律 (a)·b= 9=120 ·a,(2a)·b,a·(2b) 分配律 (a+b)·c= 的值. 2.向量数量积的常见运算结论 (1)(a±b)2=a2±2a·b+b2. 问题2若a,b,c均为非零向量，那么a·b (2)(a+b)·(a-b)=a2-b2. b·c→a=c正确吗？ 少基础自测 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 问题3对于向量非零向量a,b,c,(a·b)c (1)a(a·b)=a·b. (b·c)a成立吗？ (2)AB·AC+AB·CD=AB·(AC+ CD)=AB·AD 64