7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第七章三角函数。 §7.4 数学建模活动：周期现象的描述 学业标准 学科素养 1.了解三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型. 1.通过数学建模活动，培养数学建模核心 (难点) 素养 2.通过建模活动，了解三角函数模型对研究物理、生物、自 2.借助建模活动的实例，提升数学运算、数 然界中的周期现象（运动）有着广泛的应用.（重点） 据分析、直观想象等核心素养， 数学建模 规律方法 类型（一） 生活中具有周期现象的函数 三角函数模型应用的基本思路 模型 读懂题目中的“文字”“阁象”“符号” 审消题意 三角函数模型构建的步骤 等语言，理解所反映的实际问题的 背景，得出相应的数学问题 (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周 整理数据，引入变量，找出变化规律， 期性的重复现象， 建立函教模型 远用已掌握的三角函数知识，物理知识 及其他相关知识建立关系式，即建立三 (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合. 角面数模型 解答函数模型 利用所学的三角爵数知识解答得到的三 (3)利用三角函数模型解决实际问题， 角函数模型，求得结果 (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性 得出结论 将所得结论翻译成实际问题的答柴 进行检验， 案例1下面是一份某市的月平均气温统 类型（二） 物理学中具有周期现象的函数 计表. 模型 x(月份) 1(气温) x(月份) t(气温) 案例2 建设生态文明是关系人民福祉、关 17.3 7 10.06 乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的 2 17.9 8 9.5 大型商场，为响应国家节能减排的号召，在 17.3 0 10.06 气温低于0℃时，才开放中央空调，否则关 4 15.8 10 11.6 5 13.7 11 13.7 闭中央空调.如图所示是该市冬季某一天 6 11.6 12 15.8 的气温（单位：℃）随时间1(0≤t≤24，单 (1)根据这个统计表提供的数据，为该市的 位：小时)的大致变化曲线，若该曲线近似 月平均气温建立一个函数模型： (2)当平均气温不低于13.7℃时，该市最 满足f)=Asin(o-3T）+b(A>0,w>0) 适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确 的关系 定该市的最佳旅游时间. 55 O数学·必修第三册（配RJB版） (1)求y=f(t)的表达式： :2.为迎接夏季旅游旺季的到来，某景点单独 (2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空 设置了一个专门安排游客住宿的客栈，该 调在一天内开启的时长 景点的工作人员发现为游客准备的一些食 物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控 制经营成本，减少浪费，寺庙想适时调整投 入.为此他们统计每个月人住的游客人数， 发现每年各个月份来客栈入住的游客人数 会发生周期性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数 规律方法 基本相同： 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等 ②入住客栈的游客人数在2月份最少，在 知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知 8月份最多，相差约400人： 识，因此借助于三角函数模型来研究物理学中的 ③2月份入住客栈的游客约为100人，随 相关知识是解答此类问题的关键。 后逐月递增直到8月份达到最多 建模活动 (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中 1.如图所示，一个直径为5m的水车按逆时 入住客栈的游客人数与月份之间的关系. 针方向每分钟转1.8圈，水车的中心O距 (2)请问哪几个月份要准备400份以上的 离水面的高度为1.25m,水车上的盛水筒 食物？ P到水面的距离为h(单位：m)(在水面下 则h为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面 时开始计时，则h与时间t(单位：s)之间的 关系为h=Asin(wl+p)+b(A>0,w>0, p<）). 水面 2日日 (1)求h与t的函数解析式： 课堂小结 (2)求在一个旋转周期内，盛水筒P在水 面以上的时长 知识落实 技法强化 (1)三角函数模型在物(1)本节课应用了数形结 理学及生活中的应用.合、数学建模的思想方法 (2)根据确定的三角函(2)本节课容易忽视实际 数模型解决生活中的生活中对三角函数的模型 问题 的限制. 56cosx≤号的解集为{+2km≤x≤号x+2k∈， 由最高气温为17.9℃，最低气温为9.5℃， 则A=17.9,9.5=4.2, sin 是的解集为{+2张x<x<+2,k∈, 2 k=17.9+9.5=13.7. 它们的交集{+2x≤x<+2k,k∈Z,即为画数 2 的定义城 里然-12，故w-晋 [触类旁通] 又x=2时t取最大值，取wx十9=0， 2.解析 由题意可得2cos(号十a）=-1, 得p-r=-晋X2=-子 则cos(行+a)=-, 所以=4.2cos(肾-音)十13.7为孩市的常年气温摸型 4π 函数式 3 3 (2)如图所示，作直线t=13.7与函数图象交于两点， 解得a=号或a=元 (5,13.7),(11,13.7). 答案弩或x 这说明在每年的十一月初至第二年的四月未平均气温不 低于13.7℃，是孩市的最佳旅游时间， [例3][解析]画出y=tanx [案例2】[解析]I)周为f)=Asn(cd-要)+6(A> 0,仙>0)图象上最低点坐标为(3，一4)，与之相邻的最高点 坐标为(15,12)， 0x T 2 所以A=12-一型=8，号 =15-3=12,6=-4+A= 2 -4十8=4， x(-受，受)的图象， 所以T=语-24，又>0，所以w=登 1)当x(-受，受)时z=-子 所以0-8s血（径-要）+40≤≤24. (2):x∈(0，r)且tanx<0 (2)根据题设，由1)得8sin(-平)+4<0， xe(受 中sin(危-平)水- =音-经 由y=sinx的图象得 (3)当x∈R,由正切盛数的周期性得 =-于，∈2 号+2a<-<号+2kez, 解得23+24k<<31+24k,k∈Z, [触类旁通] 又0≤t≤24， 3.B由题可知该点坐标为(-cos弩，sin苓) 当k=一1时，0≤t7,当k=0时，23<≤24， 所以0≤1<7或23<1≤24， 即（号），并且该点在第二象限， 所以该商场的中央空调在一天内开启的时长为8小时。 [建模活动] 2 所以可知tana 3,则角a的最小正值为红 1.解折(1猿题意A=R=号6=1.25，-宁， 2 §7.4 数学建模活动：周期现象的描述 中T-1g则-要-品-0由给定的图形知， 3 [数学建模] [案例1门[解析](1)以月份x为横轴，气温t为纵轴作出 血p=-=-又p<受 2.5 图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线。 ↑气温（℃） 中有9一后， 所以h与：的函数解析式是 17 1 15 ho=号sn(0-吾）+号 1 =13.7 (2②)令e=号m(0-吾)+>0， 11 10 9 即n(晋)>-之 0123456789101112月份) 所以-晋<-晋<解得01<2智。 由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，依散 所以水车在一个旋转周期内，盛水筒P在水面以上的时长 点图所绘制的图象，我们可以考虑用t=Acos(r十p)十k来 描述。 为290 19 @ 2.解析(1)设该函数为f(x)=Asin(ur+p)+B(A>0,: w>0,0<p<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是 [典题2-1)[解析]国为点P(不，)在画数 12:由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)-f(2)=400, y=sin(2x-于)的图象上， 故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2,8]上单调递 增，且f(2)=100,所以f(8)=500. 所以=n(2x章-吾）=sm晋=专 根据上逃分新可得，经-12， 又P'(任-，)在画数y=2x的图象上， 女一晋a人40 所以2=n[2(至-]， 华释合0· 则2（至-）=2x+吾浅2（任-）-2kx+g,k∈五， 根据分析可知，当x=2时f(x)最小， 当x=8时fx)最大，故sin(2×答+p）=-1, 得=一红+看或=-x-晋乙 且sin(8×+9)=1. 又>0，故s的最小值为君 [答案]A 又因为0<1p<,故p=-要 [典题2一2][解析]由图可得函数的最大值为2，最小值 为-2，故A=2, 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f)=20sn(告z-g）+30. 君-语-（最）音长T-5,解得。=2 故y=2sin(2x-g). (2)由条件可知，20sin(后x-管）+30≥40，化简， 将（段2）代入可得2sim(2×晋-p）-2, 则晋-9=2x+受∈Z刀，解得g=-2x+晋∈D。 即2x+≤音-晋≤2k+k 6 :0<9<x,∴p=弩…y=2sim(2x-吾）月 解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z. 因为x∈N+,且1≤x≤12，故x=6,7,8,9,10. [答案]B 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物. [典题3-1][解析]f(x)=2sin2x-2 asin x+a2-2a-1 章末整合提升 -2(m-号）广+号-2a-1. [深化提升] [典题1][解析]()sin暂-sn(x+受) 由0≤x≤受，得0≤nx<1. =-sin 3 当0<a≤2时，0≤号≤1， 当nx=号时)取得最小维号-2a-1=-2, =cos 解得a=2-√2或a=2十√2（会去）， 2 此时f()的最大值为f(受)=-1： (2)解法一 =-4 当a>2时，号>1，当sinx=1时，f(x)取得最小值。2- 所以2+tan0=-4(1-tan), 4a十1=-2，解得a=3或a=1(舍去)，此时f(x)的最大 解得tan0=2. 值为f(0)=2: 所以(sin0-3cos8)(cos0-sin0) =4sin Ocos 0-sin20-3cos0 当a<0时，号<0，当sinx=0时，f(x)取得最小值 -4sin Ocos 0-sin'0-3cos0 a2-2a-1=-2,解得a=1(舍去). sin0+cos0 综上所迷，当a-2-√瓦时，f(x)的最大值为-1， 4an0-tam20-3_8-4-3= tan20+1 4+1 51 当a=3时，f(x)的最大值为2. 解法三由已如告儡 =-4,解得tan0=2. [典题3-2][解析]对于A,(x)的图象向左平移否个 即8in0 7cos92,所以sin9=2cosa. 单位长度后得到f(红+君）=si血(2红+受)的图象，故A 所以(sin0-3cos8)(cos0-sin) 错误：对于B,f(得)=m(弩+若)=n受=-1，故B =(2cos 0-3cos 0)(cos 0-2cos 0) =cos20=- c0s20 正确对于C,当x∈[冬]时，2x+晋∈[台，]，故 sin0+cos0 1 1 an0+7=5 C正确：对于D,f()=血（管+晋）=mx=0,故D 正确。 [答案])-(2D [答案]BCD 20