7.3.3 余弦函数的性质与图像-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

。数学·必修第三册（配RJB版） 7.3.3余弦函数的性质与图象 学业标准 学科素养 1.了解余弦曲线的画法，理解正弦曲线与余弦曲线的 1.通过学习余弦曲线，培养直观想象等核心素养。 关系.（难点） 2.通过余弦函数性质与图象的应用，提升数学运 2.掌握余弦函数的性质，并能应用余弦函数的性质与 算、逻辑推理核心素养. 图象解决相关问题.（重点） 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 续表 教材梳理 在 上递增： 单调性 导学 余弦函数的图象与性质 在 上递减 问题1如何由正弦曲线通过图象变换得余 当 时，y级大=1： 最值 弦曲线 当 时，y段小=一1 对称轴、 对称轴方程为x= 对称中心 对称中心为 问题2余弦函数是不是周期函数，单调性 如何. 零点 吾+a∈z 2.研究余弦函数性质与图象的方法 用研究正弦型函数性质与图象的方法即余 ◎结论形成 弦型函数性质与图象的研究方法与正弦型 1.y=cosx的图象与性质 函数性质与图象的研究方法相同. 如y=Acos(a.x十9)(A>0,w>0)的单调 Y=cos (xER) 图象 -3T 递增区间，由-π十2kπ≤ax十≤2kπ(k∈Z) -4r T 4πx 求得，周期T=2π等。 定义域 D基础自测 值域 奇偶性 函数，图象关于 对称 : 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)余弦函数在定义域内是单调函数. 周期性 最小正周期为 42 第七章三角函数。 (2)存在x∈R满足cosx=√2. 3.函数y=sim(2-xx∈0,2的值域是 (3)余弦函数的图象是轴对称图形，也是中 心对称图形 ( (4)余弦函数y=2cosx在[0，π]上是减 A.[-1,1] B-12 函数 ( c[停 D.[0,1] 2.函数f(x)=cos x一)的周期是( A.3 4.y=cos B.3π 2x一）的单调递减区间是 C.6 D.6x 关皖能力 课堂案·互动探究 索养提升 题型一 与余弦函数有关的值域问题 规律方法 例1求下列函数的值域： 常见的三角函数求值域或最值的类型 (1)y=-2cosx-1; (1)形如y=cos(x十9)的三角函数，令t (2)y=2cos2x+g)x∈(-吾，若)： x十9，根据题中x的取值范围，求出t的取值范 围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y=cost (3)y=cos2x-3cos x++2. 的最值（值域）。 [自主解答] (2)形如y=asin°x+bsin r十c(a≠0)的三角 函数，可先设t=sinx,将函数y=asin'x十bsin x 十c(a≠0)化为关于t的二次函数y=at+bl十 c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值城（最值）. (3)对于形如y=asin x(或y=acos x)的函 数的最值还要注意对a的讨论. [触类旁通] 1.函数y=-2cosx十10取最小值时，自变 量x的取值集合是 题型二 正、余弦函数的周期性、奇偶性、 对称性 例2 (1)函数f(x)=c0s(-2x-)的最小 正周期是 A.2π B.π c D.4 43 O数学·必修第三册（配RJB版） (2)(多选题)已知函数f)=cos(受+)， 题型三正、余弦函数单调性的应用 多雏探究 则下列说法正确的是 角度1利用正、余弦函数的单调性比较 大小 A.f(x)的图象关于( 20小对称 例=1比较下列各组数的大小： 对称 (1)sin250°与sin260°； B.f(x)的图象关于直线x= (2)cos- 14π 9r与cosg Cf+)为奇函数 (3)sin2与cos1. D.f(x)为偶函数 [自主解答] 规健方法 三角函数周期性、奇偶性、对称性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式 法，即将函数化为y=Asin(x十g)或y= Acos(u.x十g)的形式，再利用公式求解. (2)判断函数y=Asin(wx+9)或y Acos(wx十9)是否具备奇偶性，关键是看它能否通 过诱导公式转化为y=Asin wx(Aw≠0)或y= Acos.x(Am≠0)其中的一个. [素养聚焦]利用正弦函数、余弦函数的单调性 (3)形如y=Acos(u.x十9)(A>0,u>0)的对 比较三角函数值的大小，体现了数学运算、逻辑推 称轴可通过mx十2三kπ，k∈Z求得. 理核心素养 [触类旁通] 规律方法 比较三角函数值大小的方法 2.(多选题)已知函数f(x）=2cos(2x+）, (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用 诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再 则下列描述正确的是 利用函数的单调性比较， A.函数f(x)的最小正周期为π (2)比较两个不同名的三角函数值的大小， 般应先化为同名的三角函数，后面再比较大小 B.=晋是函数f()图象的一个对称轴 角度2 已知三角函数的单调性求参数范围 C(一否0)是函数f(x)图象的一个对称 例3=2已知w>0,函数f(x)=cos（wx十 中心 )在（停，）上单调递增，则。的取值范 围是 D,若函数f(x)的图象向左平移否个单位 A得) 长度可得函数g(x)的图象，则g(x)为 奇函数 44 第七章三角函数。 规律方法 课堂小结 此类问题可先求出f(x)的单调区间，将问题 转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出 知识落实 技法强化 参数范围 (1)本节课应用了整 [触类旁通] (1)余弦函数. 体代换、换元、数形结 3.(多选题)(2024·浙江杭州高一期末)下列 (2)余弦函数的性质与图象. 合的思想方法 不等式成立的是 (3)余弦函数的单调性、奇 (2)正弦函数与余弦 A.sim-ξ)>sim(-8》 偶性、对称性 函数的单调性、对称 (4)余弦函数的值域（最值）】 B.c0s400>c0s(-50°) 性易混淆。 C.sin3>sin2 D.sin(）>sin(） 温 示 请完成课后案」学业评价（十一） 7.3.4 正切函数的性质与图象 学业标准 学科素养 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函 1.通过正切函数性质的学习，培养数学运算、数学抽 数的性质.（重点） 象等核心素养 2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.2.根据正切函数图象与性质的关系，提升直观想象等 (重点、难点) 核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 问题3诱导公式tan(一x)=一tanx说明 了正切函数的什么性质？ 导学1正切函数的性质 问题1正切函数y=tanx的定义域是 问题4从正切线上观察，正切函数值在 什么？ (0,)上是增大的吗？ 问题2诱导公式tan(π+x)=tanx说明 了正切函数的什么性质？tan(kπ十x) ©结论形成 (k∈Z)与tanx的关系怎样？ 正切函数的性质 函数 y=tan x 定义域 45@ （要2）对称，所以受十晋=kk∈乙.且6=2。 又∈[-登]画数f()的单增区间 所以=一+号6所以w=号 1 为[]： fx)=n(停r+要)+2， 7.3.3余弦函数的性质与图象 课前案·自主学习 所以f(受)=m(得x+平）+2=1. [教材梳理] [答案](1)B(2)A 导学 [触类旁通] 问题1[提示] "cost=sin(受+z） 2.AA选项y=m(2虹+看)的最小正月期为T-受= 把y一mr的图象向左平移受个单位即可得到 且当x=君时y=sim(2×百+石)=1，故图象关于直线 y=cosx的图象. r=石对称，A正确：B选项y=sm(号十百)的最小正周 问题2[提示]是周期函数，由于cosr=im(乏+r): 由y=sinx的单调区间可得y=cosx的单调增区间. 期为T=2红=4x,B错误： 其增区间[一π十2kπ，2kπ]，k∈Z 减区间[2k元，r十2kπ]，k∈Z. C造项，当x一吾时y-sim(2×看-吾)）-之，故图象不 ©结论形成 1.R[-1,1]偶y轴2x[-π+2kπ，2kπ](k∈Z) 关于直线r-晋对称，C错误： [2kr,x+2kπ](k∈Z)x=2kπ，k∈Zx=元+2kπ，k∈Z kπ(k∈Z) D选项，当x=答时y=sin(2×若-5）=0，故图象不 (受+kx,0)∈D [基础自测] 关于直线=晋对称D辑混。 : 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ [例3][解析]由f(x)是偶函数，得f(一x)=f(x, : 2.CT=-2红=6 即函数f(x)的图象关于y轴对称. 3 所以f(x)在x=0时取得最值. ! 即sing=1或sing=-1. 3Dy=im(受-=osx,又xe[o,] ∴.0≤y≤1，故选D 依题设0≤≤，解得9-乏， 4.解析由2k元≤2x-不≤2kx十元， 由f(x)的图象关于点M对称， 可知sin(经+受）=0， AEZ解得m十吾<<k+行A∈Z 6 故高的递浅区间为[红+吾：版+]∈乙 因为d>0,所以k≥1， 答案 [x+晋a+]ez 又)在[0，受]上是单润画数 课堂案·互动探究 所以T≥元，即2红>≥， [例1][解析](1)因为-1≤cosx≤1， 所以-2≤-2c0sx≤2. 又m>0,所以0<m≤2. 所以-3≤-2c0sx-1≤1. 所以当大=1时。一导： 所以y=-2cosx-1的值城为[-3,1]. (2)因为 当k=2时，四=2. 吾<<晋 6 所以g=受。=2或号 所以0<2+吾<经 [触类旁通] 所以-<os(2x+吾)1. 品.解析(I):fx)=号sin(2r+）x∈R,岛数取景大 所以y=2os(2r+） 值满足：2+子=受+2k,∈乙 E(-吾，晋)的值线为(-1,2. 可得1=音+x,k∈乙当=音+，k∈Z时， (3)令1=cosx,因为x∈R,所以1∈[-1,1]. 品数：)有最大值 所以原画数化为y--3+2-(-是)广- (2)函数在R上的增区间满足： 所以二次画载图象开口向上，直线1=号为对称轴。 受+2张r≤2r+骨≤受+2，k∈z 所以1∈[一1,1门为函数的单调减区间. 可得-器+≤r≤晋+，k∈Z 所以t=一1时yx=6t=1时y=0. 所以y=cosx-3cosx十2的值域为[0,6]. @ [触类旁通] 1.解析当cosx=1时，即x=2kr,k∈Z时， [-告-] 函数y=-2co5x十10取最小值8. 答案{xx=2kπ，k∈Z :f)在（行，受）上单调递增， [例2][解析] 1)由函数f(x)=cos(-2x-8):则共 [爱<高ez 21 3w 2π 最小正周期T=2=元 2)周为)=co(受+g): 解得6k一4≤m≤4k- h∈Z.由题意知， 2 f(-）=c0s(-吾+吾)=1≠0，A错误： 吾-晋<号×语0<<62w<号故选C ()=0s(号+吾)=-1.B正确： [答案]C [触类旁通] (+）)-o[2(+)+]-o(告+受) 3BD国为-受<-音<-无<0，且函载y=r在 -sim受，所以(x+)是奇画数，C正确： (（一受0)上单调递增，则m(-晋)<sin(-无）：故选 易知f(一x)≠f(x),所以f(x)不是偶函数，D错误. 项A错误： [答案](1)B(2)BC 因为cos400°=cos(360°十40°)=cos40°，0s(-50°)= [触类旁通] 2.ACD函数fr)=2cos(2x+君)的最小正周期 cos50°，且函数y=cosx在(0,2)上单调道减，则cos40 >c0s50°，即cos400>cos(-50),故选项B正确： T=罗=，故A正确： 因为受<2<3<要，且画数y=mx在（受，）上单满 f(g)=2os(2×吾+吾）=2cos受=0， 递减，则sin3<sin2,故选项C错误： 所以八)关于（晋，0）中心对称，故B错误： 周为受<行<<经且画教y=mx在（受·要）上单 8 7 r(-吾）-2cas(-经+晋）-2os(←吾）-0，所以 调适减，则sm()>sin(）,故选项D正痛：放选BD, 7.3.4正切函数的性质与图象 (-受，0）是画数f代)图象的一个对称中心，故C正确： 课前案·自主学习 根据题意gr)=2c0s[2(x+)+] [教材梳理] 导学1 2co(2x+5)=-2sin2, 问题1[提示] r≠kx+受，kez. 则g(一x)=-2sin(-2x）=2sin2x=-g(x）.所以g(x） 问题2[提示]周期性.tan(kx十x)=tanx(k∈Z). 为奇函数，故D正确 问题3[提示] 奇偶性. [例3-1][解析](1)，函数y=simx在(90°，270)上单 问题4[提示]是的， 调递减，且90°<250°<260°<270°， ◎结论形成 "sin 250>sin 260". {女≠x+受∈Z RT=元奇函数 cos1=os(2x-g）=s5 (m-受kx+受)∈)（受0)∈ 导学2 :函数y=c0sr在[0，]上单词递减，且0<及<<， 89 问题[提示] 能，三个关键点：（于1小(0,0) ..o cos 0 （一至1两条年行线=受=-受 (3ros1=sm(经-1小： ○结论形成 sin 2=sin(-2), 2.r=至+k,k∈Z 又0<-1<-2< [基础自测] 且y=imr在[0，]上是递增的， 1.(1)×(2)×(3)/(4)J ! asin(受-1）<sin(x-2. 2.BT=-3=3 π 即cos1<sin2. 8A函数的定义线是{女≠a6∈乙， [例3-2】[解折]令2张-≤+子≤2x,k∈乙， 且tan(-x) tan ()=tan x-tanx w 30 =-(amr+》 :函数x)=co(ar+晋)的单润递增区间为 所以函数y=tnx十 1是奇函数。 tan x