7.3.1 正弦函数的性质与图像-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

@ [触类旁通] [例3][解析] (1)因为a为第三象限角， 1. (1)A 周为sm(a+否)=号， 所以sina=一 1-cos a=-3. 5 所以cos(e-晋）-cos[(e+）-登] (2)f(a)=-tana）·sina·cosa -cos a -sim(e+)-号 -tan a.sin a-sin a,sin a-sin'a cos a cos a (2)A因为 sin a=3, =()x()=-品 [母题变式] sin'a+cos'a=1, 9 1 1.解折f代o=血a二把ame=sina=-子 tana·(-sina) 所以sina=0,cos'a= 2.解析 又因为a∈(0，受) 由题意知+（平）=1。 解得m= 所以sina=3 10 C,cos a=10 10 因为a为第二象限角，故m<0, 所以m=一 1 所以cos(o+受）-i血a=-3,故选A 4 10 -2sin(3经-9）(-sin0-1 所以sina= 4 .cosa-. [例2][证明](1)右边= 1-2sin20 -cos a 原式=(-sina)-(-cosa)+ 2sin x+(经-0)]simg-1 1 4 1-2sin'0 =-3+15 6 -2sin(-0）sin0-1 4 [触类旁通] 1-2sin20 -2cos Osin 6-1 (sin 0+cos 0)2 3.解折(1由sin(竖+a)十2cos(受-a)=0,得-cosa叶 cos0+sin0-2sin0 sin0-cos0 2sin a=0,p 2sin a=cos a, -sin 0+cos 0 sin0-cos0左边. 又sin2a十cos2a=1,联立解得 所以原等式成立. sin a5 5 sin a5 5 或。 sin(2n-a) (2)左边=c08(2m-a sin(-a)·cos(-a) cos a=- 25 5 cos a= 25 5 cos(x-a)sin(x-a) =-sina·(-sina)·cosg 因为a为第一象限角，所以sina=5。 5 cosa·(-cosa)·sina 1 =一sing=一tana=右边. (2)由(1)知2sina=cosa,得tana=之， coS a 故 1+sin acos a sin'a+cos'a+sin acos a 所以原式成立。 sin'a-cos'a sin a-cos'a [触类旁通] tan2a十l十tana= 2 tan'a-1 -2sin(经-0）·(-sin0-1 2.证明 左边= 1-2sin20 §7.3三角函数的性质与图象 2sim[x+(受-0)]sm0-1 7.3.1正弦函数的性质与图象 课前案·自主学习 1-2sin0 [教材梳理] -2sin(受-0）sn0-1 导学1 1-2sin20 问题(1)[提示]由正弦线看出，|M驴≤1， -2cos Osin 0-1 (sin 0+cos 0)2 故y=simx∈[-1,1. cos0+sin0-2sin0 sin'0-cos0 (2)[提示]因为函数的定义城为R且sin(-x)=一sinx, =sin 0+cos 0 所以y=sinx是奇函数. sin 0-cos' (3)[提示]：sin(2kπ十x)=sinx(k∈Z) .2kπ是y=sinx的周期. 右边=an0+1 81 sin 0+cos 0 (4)[提示]由正弦线可以看出， tan -1 sin sin 0-cos 0' cos 0 y=mx在[-吾]递增，在[经]运减 左边=右边，故原等式成立. (5)[提示]由sinx=0得x=kπ(k∈Z). 10 @ ⊙结论形成 1.(1)非零常数T非零常数T(2)最小的正数 且y=s加x在区间[-受，受]上单满速增， 2.R[-1,1] x=受+2k,k长zx=经+2，k∈z 受<-<晋<受， 奇原点 2 吾+2x,受+2] ∴sin晋>sin(-2）sin3g>sin(-19r) [登+2，受+2] [触类旁通] kπ(k∈Z) : 导学2 2.c=m晋=sim0<号<<<受 问题[提示]能，利用寺函数，先作x[0,受]的图象， 又：“y=sinr在(0，受)单调递增， 再利用单调性，合理描点，就可以作出[0，π]上的图象，再 ∴sin牙<sin吾<sin吾，即Kc<a, 利用对称性就可以画出x∈[一π，π]上的函数图象. ©结论形成 : [例3][解析]（1)y=5cos(受+x）-1=-5sinx-1. 工=受+kx,k∈Z(x,0),∈Z :y=smx在[晋，]递增，在[受]上递减 [基础自测] 1.(1)/(2)/(3)×(4)× sinr≤sinx≤sin受，即0≤sinx≤l 2.D由y=sinx在[0,2x]上的图象作关于x轴的对称图 故-6≤-5sinx-1≤-1， 形，应为D项 即函数的值域为[一6，一1]. 3.B (2)y=-2(1-sinx)+2sinx+3 4.C因为函数y=snx的单调增区同是一受+2km,受 =2sinx+2sinx+1=2(smx+）广+分 2],故当=0时，即为[吾]，选C ◆m=,[音]2<1 课堂案·互动探究 [例1门 [解析] 按五个关健点列表 3x =2(+2）广+- 0 2元 2 故所泉品数的维减为[吕可] sinx 0 [母题变式] 1-sinx 1 0 2 1解折“[-看0]-<mx<0 描点连线，如图所示， 当m>0时，sinx=0时，y大=一1， 当m<0时，x=-名时，y=-受-1 3π2mx 2.解析y=sinz-snx+1=(smx-合）'+子， [触类旁通] 又x[管]…me[竖] 1.解析按五个关健点列表 设=血，则有y=(-厂广+在[1]上递增。 2 0 e[2]中位线为[，] sin x 0 0 1 0 [触类旁通] 1-2sin x 3.B由0x≤受可得-<2红-< 描点连线得： 所以[号]故B y=a x 7.3.2正弦型函数的性质与图象 2y=1-2sinx,xE[-,T] 第1课时正弦型函数的图象 [例2][解析](1)sin194°=sin(180°+14)=-sin14°. 课前案·自主学习 cos160°=c0s(180°-20)=-co520°=-sin70°. [教材梳理] 0°<14°<70°<90°，sin14°<sin70° 导学1 从而-sin14>-sin70°，即sin194>cos160. 问题[提示]对于同一个x,y=2sinx的函数值是y= 2:m(-19）-sm(1s+2x）=sm(-2）, 加的西数值的2倍，而y=之加x的画教值是y=6n王 sim3g=sn(3g-4a)=sin吾， 9 的函数位的分O数学·必修第三册（配RJB版）》 m2x+(j 即ina=合即原式=12。 cos(a)sin 2a+(+aj】-sm3x+(+a (13分) [纠错心得] ..... (4分) (1)对于八组诱导公式要熟记，特别注意符号 cos a cos a 和三角函数名称的变化」 cos a(-cos a-1) 一C0 s acos a十c0sa (2)注意计算中的技巧和常规化简运算的方法. 0400…040400…40000 (7分) (3)解答题要注意书写规范，完整 2 课堂小纬 1+cos a 1-cos a 0。。0。 sin a' 知识落实 技法强化 (10分) (1)诱导公式⑤⑥(1)本节课的主要方法有：公式 .'tan a= 5 ⑦⑧. 法、角的构造。 , [失分警示] (2)诱导公式的综(2)注意函数符号的变化，角与 应用同角 合应用. 角之间的联系与构造. sin a 基本关系出错， 1-sin'a 5· 扣3分 温馨 请完成「课后案1学亚评价（七） 提 阶段测评(·) §7.3 三角函数的性质与图象 7.3.1 正弦函数的性质与图象 学业标准 学科素养 1.了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦1.通过正弦曲线的学习，培养数学抽 函数的图象.（难点） 象等核心素养。 2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的周期、单调区间和最值，2.通过正弦函数性质与图象的应用， 并能利用正弦函数的图象和性质解决相关问题.（重点、难点） 提升直观想象等核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 导学1正弦函数的性质 ?问题前面我们学过正弦线，你能利用正 弦线（如图）探究正弦函数y=sinx性 (1)研究y=sinx的值域？ 质吗？ 28 第七章三角函数。 (2)研究函数y=sinx的奇偶性？ 导学2正弦函数的图象 ?问题利用描点法结合y=sinx的性质， (3)研究函数的周期性？ 能否画出y=sinx在[一π，π]上的图象？ (4)研究函数y=sinx,x∈ π3π 22 的单 调性. ⊙结论形成 (5)求函数y=sinx的零点， 正弦曲线及其对称性 ○结论形成 1.周期函数 图象 (1)一般地，对于函数f(x),如果存在一个 ,使得对定义域内的每一个x, 都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数 对称轴 轴对称图形，对称轴为 f(x)为周期函数， 称为这个函数 的周期 对称中心 中心对称图形，对称中心为 (2)对于一个周期函数f(x),如果在它的 所有周期中存在一个最小的正数，那么这 个 就称为f(x)的最小正周期. 业基础自测 2.正弦函数的性质 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 定义域 (1)函数y=sinx既是轴对称图形又是中 值域 心对称图形 () 当 (2)(受，1是y=simx图象的最高点。 时，yoa=1: 最值 当 时，ymn=一1 ) 性 (3)任何周期函数都有最小正周期.() 质 奇偶性 函数，图象关于对称 (4)若存在非零常数x。,使f(x。+T)= 周期性 周期函数，最小正周期T= f(.x。),那么T是f(x)的周期.() 2.下列图象是y=一sinx在[0,2π]上的图 在 (k∈Z)上是递 增的； 象的是 单调性 在 (k∈Z)上是递 减的 零点 29 。数学·必修第三册（配RJB版） 3.正弦函数y=sinx(x∈R)的图象的一条： 4.在下列区间中，使y=sinx为增函数的是 对称轴是 ( ( A.y轴 B.x A.[0,π] B. π3π 22 C.直线x=π D.x轴 C. 22 D.[π，2π] 关健能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 用“五点法”作函数的图象 [触类旁通 例1利用“五点法”作出函数y=1一sinx 1.用五点法作出y=1-2sinx,x∈[-π，π] (0≤x≤2π)的简图. 上的简图. [自主解答] 题型二 利用正弦函数单调性比较大小 例2比较下列各组数的大小： (1)sin194°和cos160°： [素养聚焦]在“五点法”作图的过程中，体现了 直观想象的核心素养. (2)sin(-1和sn3 规律方法 [自主解答] 用“五点法”画函数y=Asin r十b(A≠0)在 [0,2π]上的简图的步骤： (1)列表： 0 3 元 3π 2x sinx 0 0 -1 0 Asin x+b A+b 6 -A+6 b (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点： 0,.(受A+b小(x,6.(经-A+b)小.(2,6 (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接 起来， 30 第七章三角函数。 规律方法 : [母题变式] 利用正弦函数的单调性比较正 1.(变条件、变结论)本例(1)变为：求y= 弦值的大小的方法 msin-1(m≠0)，x∈-0的最 (1)同名函数，若两角在同一单调区间，直接 利用单调性得出，若两角不在同一单调区间，则要 大值 通过诱导公式把角转化到同一单调区间，再进行 比较 (2)异名函数，先应用诱导公式转化为同名函 数，然后再比较。 [触类旁通] 2.(2024·湖南岳阳高一月考)已知a= sin晋，b=sin牙c=sin,则a,bc的大 小关系是 ( A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a 题型三利用正弦函数性质求函数的值域 一题多变 2.(变条件、变结论)本例(2)变为：求函数 例求下列函数的值域： y=sin2x-sinx+l,x [昏贸的值域。 y=5cos(5+-1xe[吾： (2)y=-2os2x+2snx+3.xe[5, [自主解答] 规律方法 求含有正弦函数的式子的最值的常见方法 (1)可化为y=Asin r+B(A≠0)的形式，利 用正弦函数的性质求最值，必要时对A讨论， (2)转化成关于正弦函数的二次函数的形式， 即y三Asin'r十Bsin十C,利用配方法求解， 31 。数学·必修第三册（配RJB版） [触类旁通 单调递减区间为 -+k,kx(k∈2ZD。 3.函数f(x)=sin(2x-)(0≤x≤)的值 (9分) 域是 (3)由于该图象关于y轴 [失分警示] 对称， 注意周期为 A.[-1,1] π，写错单调区 故该函数为偶函数 间扣2分，不注明 证明如下： k∈7扣1分. c[ 令f(x)=|sinx, [缜密思维提能区 规范答题 则f(-x)=|sin(一x) 正弦函数的综合应用 =-sin xl=sin xl=f(x), [典例] (13分)作出函数y=sinx|的 故y=sinx是偶函数.…(13分) 图象： [纠错心得] (1)由图象分析该函数的值域，周期性； (1)如果函数图象方便作出，则可以利用函数 (2)写出该函数的单调区间： 的图象分析函数的性质，较直观、形象 (2)在处理与正弦函数相关的图象问题时，应首 (3)判断该函数的奇偶性，并给予证明. 先分析该图象与正弦曲线的关系（如本例中sinx [规范解答]：y=|sinx 的图象是由y=sinx的图象上不动下翻上作出 sinx,2kπx≤2kπ+π，k∈Z, 的)，然后借助于相关性质，如奇偶性作图，可以达 -sinx,2kπ十π<x<2kπ十2π，k∈Z, 到事半功倍的效果 图象如图所示」 [失分警示] 课堂小结 画图象是解 题的关键，要规 知识落实 技法强化 范、准确 (1)正弦函数的奇偶 (4分) (1)本节课应用了分类讨 性、单调性、最值、 (1)由图可知，该函数的值域为[0,1] 论、数形结合的思想方法 零点 (2)求形如y=Asin r+b 且y=sinx是周期函数，最小正周期为π. (2)函数的周期性、正 (A<0)的单调性时，易忽 (5分) 弦函数的周期性 略A<0的影响。 (2)由图象可知，该函数的单调递增区间为 (3)正弦曲线及应用. ,+kx](h∈D, 请完成「课后案1学业评价（八） 32