7.2.4 诱导公式-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

。数学·必修第三册（配RJB版） 7.2.4诱导公式 第1课时 角a与a十k·2π(k∈Z),一a, π士a的三角函数的关系 学业标准 学科素养 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用 1.通过诱导公式的推导，培养数学抽象、逻辑推理 2.理解诱导公式的推导过程.（重点） 等核心素养 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、 2.通过诱导公式的应用，提升数学运算等核心素养.」 化简和证明问题.（难点） 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 ◎结论形成 1.角的旋转对称 导学1诱导公式① 角α的终边和角3的终边关于角 ？问题若角α与3的终边相同，根据三角函 的终边所在的直线对称. 数的定义，你认为sina与sinB,cosa与 2.诱导公式② cos3,tana与tan3之间有什么关系？ sin(-a)= cos(-a)= tan (-a)= ○结论形成 诱导公式① 导学3诱导公式③ sin(a十k·2π)= ,(k∈Z) ?问题任意角a与π一a的终边有何位置关 cos(a十k·2π)= ,(k∈Z) tan(a十k·2π)= .(k∈Z). 系？它们与单位圆的交点的位置关系怎 样？试用三角函数定义验证α与π一a的 导学2诱导公式② 各三角函数值的关系。 ?向题任意角α与一a的终边有怎样的位 置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位 置关系？试用三角函数的定义验证一α与 a的三角函数值的关系. 20 第七章三角函数。 ©结论形成 基础自测 诱导公式③ 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） sin(π-a)= (1)诱导公式对任意角都成立. c0s(rπ-a)= (2)若os(一a0）=号则c0sa=- 1 3 tan(π-a)= ( (3)在△ABC中，sin(A+B)=sinC. 导学4诱导公式④ ?问题你能利用诱导公式②③探究角α与 (4)函数y=sinx是奇函数 π十a的各三角函数值的关系吗？ 2.已知tana=4,则tan(π-a)等于( ) A.π-4 B.4 C.-4 D.4-π 3.sin585°的值为 ◎结论形成 A.、 2 B号 诱导公式④ 2 号 sin(π十a)= 4.已知sin 牙=m,则c0s要等于 cos(π十a)= A.m B.-m tan(π十a)= C.√1-m D.-√/1-m 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一给角求值问题 规律方法 例1求下列各三角函数式的值： 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)sin1320:(2)cos(-3）: (1)负化正：用公式一或三来转化 (3)tan(-945°). (2)大化小：用公式一将角化为0°到360°间 [自主解答] 的角. (3)小化锐：用公式二或四将大于90°的角转 化为锐角 (4)锐求值：得到锐角的三角函数后求值 [触类旁通] 1.求下列角的三角函数值： (1)cos(-1050°)： (2)sin 34: 21 。数学·必修第三册（配RJB版） 22π (3)tan 3 : [母题变式] 1.(变条件、变结论)将例2(2)题中的“一”改 (4)sin( 31π 61 为“十”，“十”改为“一”，其他不变，应如何 解答？ 2.（变结论)例2(2)题中的条件不变，求 cos-a)-sin(a-1）的值。 题型二给值（式）求值问题 一题多变 规律方法 例2(1)已知sin(a-360)-cos(180°-a)=m, 解决条件求值问题的策略 则sin(180°+a)·cos(180°-a)等于( (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件 A.m-1 B.m2+1 与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的 2 2 差异及联系 C. D.- m2+1 (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或 2 2 将所求式进行变形向已知式转化。 6 [触类旁通] sim(a-)的值。 2.已知cosa一75)=-了，且e为第四象限 角，求sin(105°+a)的值. [自主解答] 题型三 三角函数式的化简问题 例(1)化简：cos+cos2牙+co 3r十 7 5π1 7+cos 7 22 第七章三角函数。 (2)已知m(红a)=一号且a(-一，》 [规范解答] 原式=-sin-(于+a中 求值：cos(一a)+3sin(r+a) …(3分) cos(π-a)+9sina cos+-(任+a：小 [自主解答] ①当k为奇数时， 失分警J“ 设k=2+1(n∈Z),则 未对的奇偶网 原式=sin[(2m+1)m-(不+ 性讨论，灞一种情 况扣5分 a]+cos[(2n+1)x+(年+e月 =sm[2m+x-(年+j+aos[2m+x十 (+a -sin x-(#+a)+cos[x+(#+a) ……(8分》 规律方法 =sim(年+a-cos(年+a.…10分) 三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化 ②当k为偶数时，设k=2n(n∈Z),则 为锐角的三角函数. 原式=sn[2m-(至+aj+cos[2r十 (2)常用“弦化切”法，即表达式中的弦函数通 常化为切函数 +aj月=-sin(至+a)+cos(+a (3)注意“1”的变式应用：如1=sin&十cos2a …（13分) tan. 汇纠错心得] (1)在化简三角函数式时，首先要细心观察所 [触类旁通] 要化简的角之间有何联系，找出它们的内在关系， a.1)若n0c92=则an0 由此转化为利用公式进行化简. sin0+cos(π+0) (2)若含有参数时，要注意是否需进行分情况 等于 ( 讨论 A B.3 (3)在解答题中要注意答题的规范性和完整性。 C.-3 D.3 课堂小结 (2)化简 cos(5π+a) 知识落实 技法强化 sin(-3π-a) ·tan(π+a)= (1)记忆本节课的诱导公式的 (1)特殊关系角的 口诀是：函数名不变，符号看 [缜密思维提能区] 规范答题 终边对称性。 象限 分类讨论思想在三角函数化简中的应用 (2)诱导公式①② (2)利用诱导公式要特别注意 ③④. [典例](13分)化简sin 三角函数值符号的确定， cos(a)z 温善 提示 请完成[课后案」学业评价（六） 23 O数学·必修第三册（配RJB版）》 第2课时 角a与 2 3不士a的三角函数的关系 学业标准 学科素养 L.了解公式⑤和公式⑥的推导方法：能够准确记忆诱 1.通过诱导公式⑤~⑧的推导，培养逻辑推理等 导公式⑤~⑧.（难点） 核心素养： 2.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和2.利用诱导公式求三角函数值，提升数学运算等 证明.（重点） 核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 导学2诱导公式⑥~⑧ 导学1诱导公式⑤ 向题1能利用诱导公式②⑤探究&与牙+a ?问题如图所示，设α是任意角，其终边与 的三角函数的关系吗？ 单位圆交于点P(x,y),与角a的终边关 于直线y=x对称的角的终边与单位圆交 于点P2 问题2利用前面学习的诱导公式，你能发 现十a与a、-a与a间的三角函数的 P 关系吗？ (1)P,点的坐标是什么？ ©结论形成 诱导公式⑥⑦⑧ (2)受-。的终边与角。的终边关于直线 sin(经+a） y=x对称吗？它们的正弦、余弦值有何 关系？ cos(经+a eos(经+a ◎结论形成 诱导公式⑤ sin (a)- sim(经-a) cos(-a)- cos(2-a)- sin (-a)- 24 第七章三角函数。 [点拨] 基础自测 巧记诱导公式①~⑧ 诱导公式一至六可归纳为k,受士a的 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”： (1)cos(a-）=cosa (1)“变”与“不变”是针对互余关系的函 (2)若cos10°=a,则sin100°=a.（ 数而言的. (3)若a为第二象限角，则n(a一受） (2)“奇”“偶”是对涛导公式k·2士a中 -cos a. 的整数k来讲的， (4)tan -a=tano、 (3)“象限”指k·受士a中，将a看成锐 2.sin165°等于 ( 角时，k·士。所在的象限，再根据“一全 A.-sin 15 B.cos 15 C.sin75° D.cos 75 正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定 原函数值的符号. 3.已知sin (a+)=，则os(-)的 例知，将cos(登十a写成os(1·受十 值为 a),因为1是奇数，则“cos”变为正弦函数符 号 B.-22 3 号“sin”,又将a看成第一象限角时，受十a是 c号 D-号 第二象限角，cos( +a符号为“-”，故有 4.若cosa= 且a是第四象限角则om(c叶 cos(+a)--sin a. 关键能力 课堂案·互动探究引 素养捉升 题型一 利用诱导公式化简、求值一题多变 [自主解答] 例a)已知cos(a+若)=号，求sin(a+ 受)的值： (2)化简： sn2x+acxlx---acx(g-a小os经-a】 cos(π-a)sin(3r-a)sin(-π+a)sin 25 。数学·必修第三册（配RJB版） [母题变式] 题型二 利用诱导公式证明恒等式 (变结论)若例1(1)的条件不变，求 例2(1)求证： sin(a-)的值。 sin 0++cos 0 2n0-s+)- sin 0-cos 0 1-2sin(π+0) (2)求证： tan(2π-a)sin(-2π-a)cos(6π-a) cos(a-π)sin(5π-a) =-tan a. [自主解答] [素养聚焦]通过运用诱导公式进行化简求值， 把数学运算核心素养体现在解题过程中， 规健方法 解决化简求值问题的策略 (1)首先要仔细观察条件式与所求式之间的 关系，发现它们的互补、互余关系 (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化， 或将所求式进行变形，向已知式转化. [提醒] 规律方法 常见的互余关系有：号-a与背十a,开十a与 三角恒等式证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为筒的原则，从 买-。等：常见的互补关系有：营十0与-0 左边推导右边或从右边推导左边，也可以左右归一， 变更论证的方法.常用定义法、弦化切法、拆项拆角 至+0与-0等. 法、“1”的代换法、公式变形法等，要熟练掌握基本公 [触类旁通] 式，善于从中选择巧妙简捷的方法， 1.(1D已知sim(e+）-号则cos(a-君) [触类旁通] 2sin0-3)os(0+）-1 2.求证 1-2sin(π+0) B26 5 =tan(9π+)+1 tan(π+0)-1 C. D.-26 5 (2)(2024·浙江义乌高一期中)已知tana=3, a∈(0，)，则cos(a+)的值为 () A.- 310 B.310 10 10 C.-/10 10 D.o : 26 第七章三角函数。 题型三诱导公式的综合应用 一题多变 规律方法 例8已知cosa=一 ，且。为第三象限 4 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小：②看角与角间的联系， 角.求： 可通过相加、相减分析两角的关系. (1)sina的值； 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方 tmxa）·snra)·sn经-a 法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形 (2)f(a) cos(π+a) [触类旁通] 的值. [自主解答] 3.已知sim(+a+2cos(-a=0. (1)若a为第一象限角，求sina: (2)求+sin acos的值. sin'a-cos"a [母题变式] 1.(变结论)本例条件不变，求f(a)= sin(5x-a)cos(经-a)han(-x+a） 的值 「缜密思维提能区] 规范答题 tan(-19π-a)sin(-a) 三角函数的求值问题 [典例门 (13分)已知tana= 5 cos(3π-a) sin(经+a)sin(+e)-i 2.(变条件、变结论)将本例条件“cosa= sin(-a 号”改为a的终边与单位网交于点Pm, cos(3π+a)sin a)-sin (+a) 的值. ),“第三象限“改为“第二象限，试求 [规范解答] c0s(3π-a) 的值. sin +asm(+a- sin(x+a)-sin（ sin(-a cos(3x+a)sin (+a)-sin(+a cos[2x+(π-a)] :[失分警示] cos asin(a)1 应用诱导公 式中符号、名称 出错，扣4分. 27 O数学·必修第三册（配RJB版）》 m2x+(j 即ina=合即原式=12。 cos(a)sin 2a+(+aj】-sm3x+(+a (13分) [纠错心得] ..... (4分) (1)对于八组诱导公式要熟记，特别注意符号 cos a cos a 和三角函数名称的变化」 cos a(-cos a-1) 一C0 s acos a十c0sa (2)注意计算中的技巧和常规化简运算的方法. 0400…040400…40000 (7分) (3)解答题要注意书写规范，完整 2 课堂小纬 1+cos a 1-cos a 0。。0。 sin a' 知识落实 技法强化 (10分) (1)诱导公式⑤⑥(1)本节课的主要方法有：公式 .'tan a= 5 ⑦⑧. 法、角的构造。 , [失分警示] (2)诱导公式的综(2)注意函数符号的变化，角与 应用同角 合应用. 角之间的联系与构造. sin a 基本关系出错， 1-sin'a 5· 扣3分 温馨 请完成「课后案1学亚评价（七） 提 阶段测评(·) §7.3 三角函数的性质与图象 7.3.1 正弦函数的性质与图象 学业标准 学科素养 1.了解正弦曲线的画法，能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦1.通过正弦曲线的学习，培养数学抽 函数的图象.（难点） 象等核心素养。 2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的周期、单调区间和最值，2.通过正弦函数性质与图象的应用， 并能利用正弦函数的图象和性质解决相关问题.（重点、难点） 提升直观想象等核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 导学1正弦函数的性质 ?问题前面我们学过正弦线，你能利用正 弦线（如图）探究正弦函数y=sinx性 (1)研究y=sinx的值域？ 质吗？ 28#、(sin-co#)}. 函数定义知,sin(π-a)=y=sina,cos(π-a)=-x= -cos a,tan(n-a)-_--tana. 1+sin· co一~(sin+cos){}, 结论形成 sina #:#<0<<,0<sin<co告, -cosa -tana 导学4 #原式 sin号-cos号分+ sin+cos%= 问题[提示] 如cos(n十a)=cos[x一(-a)] --cos(-a)--cosa. cos--sin分+ si号+cos=2cos2 结论形成 [答案]20 -sina -cos a tan a [基础自测] (4)[解析] 解法一(平方关系) 由2cos a-3sina= 1.(1)×(2)(3)(4) 13,得sin。-2cos a-13 2.C tan(π-a)=-tana=-4. 3. A sin 585*-sin(360{+225*) 代入sin{a+cos{a-1,得sina--3 1' =sin(180”+45°)--sin45*-- 2{ .:tana--3. 4.C co$20-co(-5)-co5 解法二(构造对称式) 由2cosa-3sina-13, --(1-sin)-、1-# 令2cos a+3sina-A. 则cosq-A+13,sinq-A-13, 课堂案·互动探究 [例1] [解析] (1)解法一 sin 1320*=sin(3×360*+ 则cos*a+sin'a-1-(A+13)”(A-13)” 240*)-sin 240*-sin(180*+60*) 16 36 .. tan-sin2(A-13) .A-5 3. 13 cosa 3(A+13) 解法二 sin1320{-sin(4×360*-120 解法三(构造对偶式) 由2cosa-3sina= 13,① -sin(-120*)--sin(180*-60) 令3cos a十2sina-A.② 由①+②, 得(2cosa-3sina)*+(3cosa+2sina)?-13+A}. (2)解法一 00(-31)001 '.A-0,即3cos a+2sina-0,. tana=- 7.2.4 诱导公式 $cos(4+7)-cos(π+) 第1课时 角a与a十·2π(乙), 一a,π士a的三角函数的关系 课前案·自主学习 解法二cos(-31)-cos(-6-+5)$ [教材梳理] 导学1 #co(n-)-co#- 问题 [提示] sin a=sin ,cos a=cos 3,tan a=tan $. 结论形成 (3)tan(-945*)=-tan945* sina cos a tana --tan(225*+2×360*)--tan 225” 导学2 =-tan(180*+45*)--tan45{--1. 问题 [提示] a与一a的终边关于x轴对称,它们与单位 [触类旁通] 圆的交点P.与P。关于x轴对称,设P。的坐标为(x,y), 则P。的坐标为(x,-y).sin(-a)=-y--sina, 1.解析 (1)cos(-1 050°)-cos(1 080°-1 050°)-cos 30*-3 cos(-a)-x-cos a, an(-a)=-2--tan a. (2)sin(-31)-sin(3231)-sin--2} 2 结论形成 (3)tan2n- tan(2 21)-tan-3; 1._ (4)sin(-31)-sin(3631)-sin5-sin6-1. 2.-sina cos a -tana 导学3 [例2] [解析] (1)sin(a-360{)-cos(180{-a)-m, 问题 [提示] a与x一a的终边关 所以sina十cos a=m. 于y轴对称,如图所示,设P(x,y) 而sin(180*+g)·cos(180*-g) 是a的终边与单位圆的交点,则 -(一sina)·(-cos a)-sin acosa π-a与单位圆的交点为P。(一工, (sina+cos a)*-1m2-1 y),P,P。关于y轴对称,由三角 # 2 (2)因为cos(5+#-cos [n-(-)] [触类旁通] 3.(1)C sin(x-)+cos(-2)sin+cos e1 --o(一-)- sin e+cos(x+0) sin -cos 2. sin(a-)=sin”(-)=1-cos*( 解得tanθ--3. -()-}# (2)解析 原式--cos(n+a) .tana-0sg.-1. sin a cos a 答案 -1 所以 cos(5+a-sin(---3# -23 课前案·自主学习 [教材梳理] [答案](1)A(2)-2+3 导学1 问题(1)[提示] P{(y,x). [母题变式] 1.解析 由题意,知题目变为cos(-十+a)-# (2)[提示] 对称 sin(-。)-cos a; cos(-a)-sin a. 求cos(5π-。)+sin(+-#的值# O结论形成 因为cos(5-。cos-(+)] cos a sin a 导学2 问题1 [提示]如cos(+a)-cos[() sin*(a+))-1-cos(+a) --cos(-。)--sin a. 1-(##)-,# 问题2 [提示]如sin(3π+a)=sin(2-+ --sin(-)-cos a. 所以 cos(5-。+sin(a+-3=# cos(3--=cos(2--#=cos(+ 3+2 --sina. 2.解析 cos(7π-a)-sin(a-13-) 结论形成 cos a -sin a sin a -cos a -sina -cos a -cos[+(-)]-sin (a-)-2*] [基础自测] 1.(1)×(2)(3)(4) --cos(-。)-sin}(吾-。) 2. D sin 165^*-sin(90{*+75^})-cos 75^}. 3.C cos(-)-co-(a+)] -sin(a+)-. [触类旁通] 2.解析 :cos(a-75°)--1<0,且a为第四象限角, 4.解析 由题意得 sina=-1-cos -2 '.sin(a-75)=- 1-cos(a-75^*)= 所以cos(ac+5)-sina-24. ##1#-#-2# ### 答案 '.sin(105*+a)=sin[180*+(a-75*)] -sin(a-75-)-2 课堂案·互动探究 [例1][解析](1)”'a+2-(a+)+, [例3][解析](1)原式=cos +cos 2π+cos3-+cos .sin(a+2)-sin(o+吾)+] (-3-)+cos(-2)+cos(-)=0 -cos(a)- (2)原式-sina(-cos a)· sina.(-sina) (-cosa)· sina·(-sina)·cos a #.tan -tana. [母题变式] . cos(-a)+3sin(n+a)cos a-3sin 解析 sin(a-)=-sin(-)$ -- cos(π-a)+9sin a cos a+9sina --sin[-(+)]-co(+a [答案](1)0(2)-1 [触类旁通] 1 [例3] [解析] (1)因为a为第三象限角, 1. (1)A 因为sin(a+吾)- 所以cos (a-吾-cos(a+-] (2)f(a)-(-tan2)· sin a· cos a -cosa -tan a sin- sing sin- sing -sin(a+)-1. cosa cosa #-)#×(-)--# tana-sing_3, (2)A因为 cosa [母题变式] sin?a+cos{a-1, 1.解析 f(a) sing(-sing)tana sin g=- 所以 sine-0o0-10 tana·(-sina) 5 2.解析 由题意知m^{+(15){-1, 又因为a(o,) 解得”-1 所以sin310 30.cog0 10 因为a为第二象限角,故n~0, 所以m=_ 所以cos(a+)--sina--3T0. 10},故选A. 所以sina-15 -2sin(3--e)(-sinθ)-1 41,cosa= [例2] [证明] (1)右边=一 原式-(-sina)-(-cos a)十1 1-2sin28 -cosa 2sin[*+(-o)sinθ-1 1-2sin*B 6 -2sin(--。)sinθ-1 4 [触类旁通] 1-2sin{B 3.解析 (1)由 sin(3-+a)+2cos(-。)-0,得-cos a十 --2cos 8sin e-1(sin θ+cos 9) cos^{}θ+sinθ-2sine sin{e-cos^{}θ 2sina-0,即 2sin a-cosa. sin0+cos9 又sina十cos{a-1,联立解得 sin -cos左边. sin--_. 所以原等式成立. 5 sin(2π-a) ).sin(-a)·cos(-a) cos25或 (cos25 (2)左边-cos(2n-)) cos(π-a)sin(π-a) --sina.(-sina)·cos a cosa·(-cosa)· sina -_sing_-tana-右边. cosa 1+sin acos a sin'a+cos}a十sin acos a 故 sin{a-cos{a 所以原式成立. 1_ sin{a-cosa [触类旁通] tana-1 -2sin(3-r-o)·(-sinθ)-1 2.证明 左边一- 1-2sin8 $7.3 三角函数的性质与图象 2sin[*+(-。)sin-1 7.3.1 正弦函数的性质与图象 1-2sin9 课前案·自主学习 [教材梳理] -2sin(--。)sine-1 导学1 1-2sin②θ 问题(1)[提示] 由正弦线看出,[MP|<1. -2cos 0sin e-1 (sin 0+cos 0)} 故y=sinx[-1,1]. cos{}+sin°e-2sinesin0-cos^{} (2)[提示] 因为函数的定义域为R且sin(一x)一一sinx, sin6+cos 8 所以y一sinx是奇函数. sin6-cos6 (3)[提示].sin(2kn十x)-sinx(Z) sin). ..2kx是y一sinx的周期. _tan01 0+1 ___sin+cose (4)[提示] 由正弦线可以看出, -sin6-cos0" -sin在一,#增,在 ,3通减# 心左边一右边,故原等式成立。 (5)[提示] 由sinx=0得x=kx(乙). 10