7.2.1 三角函数的定义-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

O数学·必修第三册（配RUB版）》 心圆上的弧（长度单位为cm),侧边两条线： 课堂小结 段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角 知识落实 技法强化 为，则扇面（扇环）的面积是 ( (1)弧度制的概念. (2)弧度制与角度制的(1)研究弧度制与角度制 相互转化. 的互化应用由特殊到一般 (3)特殊角的角度数与的思想方法。 弧度数的对应关系 (2)表示角时不要弧度与 19th Asian Games Hangzhou 2022 (4)扇形的弧长与面积角度混用. 800π B.400x 的计算 A. 温馨 C. 200π 3 cm D. 提 请完成「课后索1学业评价（二） §7.2 任意角的三角函数 7.2.1三角函数的定义 学业标准 学科素养 1.理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以1.通过三角函数概念的学习，培养数学抽象 实数为自变量的函数.（难点） 等核心素养 2.理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 2.通过三角函数定义的应用，提升数学运算 (重点) 等核心素养 必各知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 (1)角a的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 任意角的正弦、余弦与正切的 导学1 定义 (2)对于确定的角a,sina,cosa,tana是否 随P点在终边上的位置的改变而改变？ ?问题使锐角α的顶点与原点O重合，始 边与x轴的非负半轴重合，在终边上任 取一点P,PM⊥x轴于M,设P(x,y), ◎结论形成 OP=r. 角红的路边 角a的签边力 P(.y) Px,y） 0 角a的终边 角u的终边 8 第七章三角函数。 设a是一个任意大小的角，P(x,y)是a终 (2)当且仅当α的终边在 象限，或 边上不同于坐标原点的任意一点，则它与 上时，cosa>0;当且仅当a的终 原点的距离是r(r=√x十y>0),如图， 边在 象限，或 上时， 那么 cos a<0. (1)称 为角a的正弦，记作sina, (3)当且仅当α的终边在 象限时， 即 tana>0;当且仅当a的终边在 象 (2)称 为角a的余弦，记作cosa, 限时，tana<0. 即 基础自测 (3)称 为角a的正切，记作tana, 即 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 由上可知，对于每一个角a,都有 (1)角的三角函数值随终边上点的位置变 确定的正弦、余弦与之对应：当α卡 化而变化. ( ) (k∈Z)时，有 的正切与之对应 角a的正弦、余弦与正切，都称为α的三角 (2)若角a终边过点(1,3)，则na30 10 函数. ( 导学2三角函数在各象限的符号 (3)终边在x轴上的角的正切值不存在. ( ) 2向题已知a≠经，k∈7 (4)若角x的终边在第三象限，则cosa<0, (1)试分析sina,cosa,tana在各象限的 tan a0. ( 符号 2.已知角a终边过点P(1,一1)，则tana的 值为 A.1 B.-1 (2)试总结三角函数的符号规律 c号 D.- 2 3.若角0同时满足sin0<0且tan0<0,则角 ◎结论形成 0的终边一定位于 ( (1)当且仅当a的终边在 象限，或 A.第一象限 B.第二象限 上时，sina>0:当且仅当a的 C.第三象限 D.第四象限 终边在 象限，或 上时， 4.角。=受，则角a的余弦值为 sin a<0. 关健能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 三角函数定义及其应用多维探究 [自主解答] 角度1 已知角《终边上一点坐标求三角函 数值 例1-1已知角0终边上一点P(x,3)(x≠0)， =0x,求sin,tan 且cos0=Y10 。数学·必修第三册（配RJB版） 规律方法 题型二 三角函数值符号的应用 (I)已知角α终边上任意一点的坐标求三角 例2(1)若a是第二象限角，则点P(sin&,cos 函数值 a)在 () 在a的终边上任选一点P(x,y),设点P到原 A.第一象限 B.第二象限 点的距离为r(>0),则sina=兰.c0sa=子，当已 C.第三象限 D.第四象限 知《的终边上一点求&的三角函数值时，用该方法 (2)判断下列各式的符号： 更方便 ①sin145°cos(-210°)； (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出 ②sin3·cos4·tan5. 时，要根据间题的实际情况对参数进行分类讨论 [自主解答] 角度2已知角《终边所在直线求三角函 数值 例1=2已知角a的终边在直线y=一3.x 上，求10sina十3的值. cos a" [自主解答] [素养聚焦]利用三角函数的定义判断三角函数 值的符号，关键是判断角所在的象限，体现了逻辑 推理核心素养 规律方法 三角函数值符号的判断问题 规律方法 由三角函数值的符号确定《角的终边所在象 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应 : 限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符 注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理， 号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共 取射线上异于原点的任意一点的坐标(a,b),则对 象限即为所求. b [触类旁通] 应角的三角函数值分别为sina= ,C0s& a+6 2.(1)(2024·北京海淀高一期中)若sina<0 b tan a= 且cosa>0,则a的终边所在象限为 √a2+b [触类旁通] A.第一象限 B.第二象限 1.(2024·辽宁沈阳高一月考)已知角α的顶 C.第三象限 D.第四象限 点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终 (2)(多选题)若α是第三象限角，则下列各 边经过点P(-2,1),则ina十2cose 式成立的是 ( 3sin a+cos a A.sin a+cos a<0 ( B.tan a-sin a<0 A.-3 B.-3 C.cos a-tan a<0 C.0 D.1 D.tan asin a<0 10 第七章三角函数。 [缜密思维提能区] 易错辨析 则cosa=-3a-3 -5a 息视对参数的分类讨论致误 [典例]角a的终边过点P(一3a,4a),a≠0， [答案] 或 则cosa 汇纠错心得] [错解] 因为x=-3a,y=4a, 在利用三角函数的定义解决问题时，如果终边 所以r=√(-3a)2+(4a)'=5a, 上一点的坐标中含有参数，那么要注意对其进行分 于是c0sa=30--3 类讨论，以免丢解。 5a 5 课堂小结 [错因分析]错解中，误以为α>0，没有 知识落实 技法强化 对a的正负进行分类讨论，导致r求错，从 而结果错误. (1)三角函数(1)本节课应用了由特殊到一般，转 的定义及 [正解]由题意，可得 化与化归、分类讨论的思想方法 求法 (2)三角函数值的大小只与角的大小 1OP|=√J(-3a)2+(4a)2=5la,且a≠0. (2)三角函数 有关，与终边上的点无关：正切函数的 当a>0时，|OP|=5a, 值在各象限 内的符号. 定义域为女x≠受+，k∈Z 则cosa=二3a=-3 5a 温馨 当a<0时，|OP|=-5a, 提示 诗完成【课后案」学业评价（三） 7.2.2 单位圆与三角函数线 学业标准 学科素养 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个 1.通过三角函数线的学习，培养数学抽象等核心 角的正弦、余弦和正切.（难点） 素养 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.2.通过三角函数线的应用，提升直观想象等核心 (重点) 索养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 af 教材梳理 终边 (1,0) 导学 正弦线、余弦线与正切线 问题1在平面直角坐标系中，任意角α的终 边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x (1)试求P点的坐标 轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的 终边或其反向延长线于点T,如图所示。 11@ 2.解析（1)以OA为终边的角为石+2x(∈D,以0B为 ⊙结论形成 (1)第一，二 y轴正半轴第三、四y轴负半轴 终边的角为-+2x(k∈ZD,所以阴影部分（不包括边 3 (2)第一、四x轴正半轴 第二、三x轴负半轴 (3)第一、三 第二、四 界)内的角的集合为{a-管+2<aK晋+2∈2. [基础自测] (2)终边落在阴影部分（不含边界）的角的集合 1.(1)×(2)/ (3)×(4)/ 2.B 是{a号+2x<<晋+2，ez. 3.D [触类旁通] 4.0~a=受时，角。的终边上任取一点(0,1)， 2.D因为-吾-（-2头）=5x,要-(-24）=65x,赞 ∴.cosa=0. -(-2头)=1.5,1-（-24）=8，所以1与 课堂案·互动探究 [例1-1][解析]由题意知r=|OP1=√x+9, _21π的终边相同。 4 由三角函数定义得cos日=工=工 [例3)[解桥]1)因为a=100=10×7高0-号， r+9 所以扇形的面积为S==名=号×晋×4=1g 又cos0=y0 10x, 10 +910x. 91 "x≠0，.x=士1. (2)由题意，可知1+2r=20,即1=20-2r, 当x=1时，点P为(1,3)， 所以扇形的面款为S=r=受(20-2r)·r 此时sin0= 3=310 -(r-5)2+25, √1+3 10 am0-是-3 当r=5时，扇形面积的最大值为25， 当x=一1时，点P为（一1,3）， 此时1一20-2×5-10a--9-2 3 此时sin0= -3√10 -1)+3 10 [触类旁通] 3.A因为上、下两条孤分别在半径为30和10的圆上，圆心 am0---3. 角为经，由扇形面积公式S=号=号a,所以两个扇形 [例1一2][解析]设角a的终边上任意一点为 P(k,-3k)(k≠0)，则x=k,y=-3k, 的面积分别为 r=√+(-3k)2=√101k|. S=号×10×号-1098=2×30×号-09， 31 (1)当>0时，r=√/10k,a是第四象限角， 所以扇面的面积为S,-S,=900m-100压=800m sina=义= 3k=-3⑩ 3 3 31 r √10k 10, §7.2任意角的三角函数 1=工=0=0， 7.2.1三角函数的定义 cos a x k 课前案·自主学习 所以10na+。-10x(-30)+3V而 10 [教材梳理] 导学1 =-3√10+3√/10=0. 问题[提示]sna=之，osa=号，ana= (2)当k<0时，r=一√10k,a是第二象限角， x (2)[提示]否. 血-流。。 是 O结论形成 -√10， (1)义 sina=义 (2) Cos a= (3)之 所以10sina十c0 3=10x3+3x(-V1o 10 tanc=义 唯一k纸十芬唯一 2 =3√/10-3√/10=0. 导学2 综上所述，10sina十3=0. 问题[提示] cos a y [触类旁通] + 1.B由终边经过点P(-2,1),根据三角函数的定义， (1) 0 可得r=|OP1=5, 5cos a= 1 所以sina= -2 sin a cos a tan a (2)三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正 弦，三正切，四余弦”，即第一象限正弦、余弦、正切都为正； +2x() 第二象限正弦为正；第三象限正切为正；第四象限余弦 则na十2cose-5 一3，故选B. 3sin a+cos a 3X1-2 为正. 55 @ [例2][解析](1)：a为第二象限角，∴sina>0,cosa<0, ,点P在第四象限，故选D. (2)①：145是第二象限角， ∴.sin145>0, :-210°=-360°+150°，.-210°是第二象限角， .c0s(-210)<0, 6 .sin145cos(-210)<0. @:登<8<m<4K号，晋<5<2， [例2]D设登的终边与单位国相交于点P, .'sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0, 元 .sin3·cos4·tan5>0. 根据三角函数钱的定义可知a=MP=sin2 [答案](1)D(2)略 [触类旁通] b=0M=cos登6=AT=an登 5π 2.(1)Da的终边过点(cosa,sina),又sina<0且cosa> 星然AT>MP>OM,所以b<a<c. 0,则α的终边所在象限为第四象限. (2)ACD图为a是第三象限角，所以sina<0,cosa<0, tana>0,所以sina十cosa<0,A正确： 所以tana-sina>0,B错误；所以cosa-tana<0,C正 确；所以tan asin a<0,D正确. 7.2.2单位圆与三角函数线 课前案·自主学习 [教材梳理] 导学 [触类旁通] 问题1[提示](1)P(cosa,sina) (2)根据三角函数的定义，用向量M币，OM,AT表示sina, 2.C在单位圈中画出角？匹的正弦线MP和余孩线OM,如 6 cos a,tan a. 图所示，则OM<MP<0. 问题2[提示]方向与x轴或y轴的正方向一致的为正 值，反之，为负值 问题3[提示]长度等于三角函数值的绝对值，方向表示 三角函数值的正负. ©结论形成 1.x2+y2=1 2.MP OM [基础自测] 1.(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.B国为竖的终边落在y轴正丰轴上，所以该角的正切线 [例3][解析](1)已知角a的正弦值，可知MP=2,则 1 不存在，故选B 3.M店OMA7 点P级坐标为分所以在y轴上取点(0，号)，过这点作x 4<作出角1孤度，晋孤度的正孩线，此较可得。 格的平行线y=名，交单位国于P,P两点，则OP,OP 课堂案·互动探究 是角a的终边，因此角a的集合为 [例1][解析]如图所示. {a0=2kx+晋我a=2kx+晋，k∈2，知图1. y A1,0 41.0 y= 图1 图2 图3 其中，各角的正弦线都是M护，余弦线都是OM,正切线都 图1 是AT. [触类旁通] (②作直线y=受，文单位国于A,B两点，造接0A,0B,则 1.解析根据三角函数线的定义，可得M证，OM,AT分别为 正孩线，余孩线和正切线，如图所示，其中sm吾=一宁， OA与OB围成的区战（图2中阴影部分）即为角a的终边 的范围.故满足条件的角α的集合为 6 {a2kx+晋<a<2x+号kez}. 5