7.1.1 角的推广-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第三册同步学习方案（人教B版2019）

第七章 三角函数 87.1 任意角的概念与狐度制 7.1.1 角的推广 学业标准 学科素养 1. 了解任意角的概念,能区分各类角的概念 1.通过角的相关概念的学习,培养数学抽象等核 2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角,(重点) 心素养。 3.理解终边相同角的含义及表示,并能解决有关问题. 2.通过象限角、终边相同角的表示,提升直观想 (难点) 象、数学运算核心素养 必备知识 课前案。自主学习 素养初成 2.角的分类(按照角的终边旋转方向不同) 教制梳理 定义 类型 图示 导学1角的概念的推广 一条射线绕其端点按 正角 方向旋转而 问题1在体操或跳水比赛中,运动员会做 成的角 出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作, 一条射线绕其端点按 做上述动作时,运动员分别转体多少度? 负角 方向旋转而 成的角 一条射线没有旋转 零角 时,我们把它看成 间题2 如果一个角的始边与终边重合,那 个角称为零角 么这个角一定是零角吗? 导学2象限角 ②问题把角的顶点与坐标原点重合,角的 始边落在x轴的正半轴上,旋转该角的始 边,则其终边(除端点外)可能落在什么 结论形成 位置? 1.角的概念 一条射线绕 ·数学·必修第三册(配BUB版) 结论形成 结论形成 1.前提:①角的顶点与坐标原点重合;②角的 任意两个终边相同的角,它们的差一定是 始边落在:轴的正半轴上 因此,所有与终边相同的 2.结论:角的终边(除端点外)在第几象限,就 角组成一个集合,这个集合可记为S一③ ,如果角的终边在 把这个角称为 B-a十 ·360{},乙. 即集合S的每一个元素的终边都与 的 坐标轴上,就认为这个角不属于 终边相同,一0时对应元素为 导学3终边相同角的表示 1基础自测 ②间题 在条件“角的顶点与坐标原点重合: 始边落在;轴的正半轴上”下,研究下列 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) (1)经过1小时,时针转过30*} 角:30{,390{,-330{. ~→ (1)这三个角的终边位置相同吗? (2)终边与始边重合的角是零角 (3)第一象限角都是锐角 (4)钝角是第二象限角, 2.如果a三-21{},那么与a终边相同的角可 以表示为 ( ) (2)如何用含30^{①}的式子表示390^{*}和 A. B③- ·360{*}+21{,- -330。? B.Bl-k·360{*}-21^{}, C. Bl③-·180{+21^*,乙 D.Bl-·180{-21^{}, 3.795{角是 , (3)确定一条射线OB,以它为终边的角是 A.第一象限角 B.第二象限角 否唯一? C.第三象限角 D.第四象限角 4. 已知g一30^{},将其终边按逆时针方向旋转 三周后的角度数为 课堂案。互动探究 关键能力 素养提升 题型一 任意角的概念及应用 (3)射线OA绕端点O顺时针旋转80*到 例](1)给出下列说法: OB位置,接着逆时针旋转250到OC位 ①锐角都是第一象限角;②第一象限角一 置,然后再顺时针旋转270到OD位置,则 乙AOD= 定不是负角;③第二象限角是钝角;④小于 规律万法 180}的角是钝角、直角或锐角, (把正确 其中正确命题的序号为 (1)解决此类问题要正确理解正角、负角、零 命题的序号都写上). 角、锐角、钝角、象限角等概念, (2)角的概念推广后,确定角的关键是确定旋 (2)将时钟拨快20分钟,则分针转过的度 转的方向和旋转的绝对量的大小. 数是 2 第七章 三角函数· [触类旁通] [触类旁通] 1.写出图1,2中的角g,3,>的度数 2.(2024·福建厦门月考)与一2024*终边相 同的最小正角为 ) A.136* B.224{* C.44* D. 134* 题型三 象限角及其应用 多维探究 图1 图2 角度1 用不等式(组)表示区域角的集合 例③-] 如图所示. 题型二 终边相同角的表示 一题多变 例②已知a=-2020*。 (1D)写出与角;终边相同的角的集合S,并 指出角g是第几象限的角; (2)写出S中适合不等式-720<③<0的 (1)分别写出终边落在直线/,1。上的角的 角B. 集合; [自主解答] (2)写出终边落在阴影部分的角的集合 [自主解答] [母题变式 (变结论)本例中与a终边相同的角中,最 小正角为 [素养聚焦 ]通过终边相同角的表示与应用,把数 学运算、直观想象等核心素养体现在解题过程中 规律方法 与角a终边相同的角的表示方法 (1)所有与角x终边相同的角,连同角a在内 (而且只有这样的角)可以用式子a十×360。, E乙表示. 规律方法 在运用时,需注意以下几点: 表示区域角的三个步骤 ①b是整数,这个条件不能漏掉; ②a是任意角; 第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始 和终止边界, ③×360{}与a之间用“十”号连接,如 ×360{}- 30{}应看成 ×360{*}+(-30{})( 乙). 第二步;按由小到大分别标出起始和终止边 (2)要求在一定范围内与已知角终边相同的 界对应的一360{}~360{范围内的角a和B,写出最 角,其方法是先求出与已知角终边相同的角,再变 简区间xa x ③,其中③-a<360. 形构建含有参数人的不等式,然后在人的取值范 第三步;起始、终止边界对应角a,B再加上 围内取值即可. 360{*}的整数倍,即得区域角集合. ·数学·必修第三册(配BJB版) 角度2 n或(nN 且n1)所在象限的 [规范解答].30{+·180{}<a<90^{}+ 1. b·1.,...................(.分) 判定 '当为偶数,即一2n(n 乙)时,30^{}+ n·360{* 90{*}+n·360{,n-; ...... ...............................5分) 第几象限的角? 当 为奇数,即一2n十 [自主解答] [失分警示] 1(n乙)时,210十n· 对分类讨 360*<a 270。+n. 论,漏掉一种情 360{,n乙,......(7分) 况扣2分. ·集合A中角的终边在图中阴影(I)区 域内. 又集合B中角的终边在图中阴影(II)区 域内,.......................1分) .集合AOB中角的终边 [失分警示] 在阴影(I)和(II)的公共 A0B表示不 部分内. 正确,如未注明 整数扣1分,要注: 意表示不唯一: 450 .~30 规律万法 ={ 已知a范围,求na和“所在象限 210(1) -45* (1)已知a范围,求na所在象限时,用不等式 表示出来,再查找不等式的范围即可,注意结果可 .AO B-al30{*+·360}<a 45^{*}+ · 能不只有象限角,还可能有不属于任何象限的角, 360{*,乙: .......................分) (2)已知a的范围,求“所在象限时,用不等 [纠错心得] 式表示出,再讨论人值,结合终边相同角的表 因为集合A,B都是无限集,所以求AOB时 用图示法更简捷,同时注意分类讨论思想的应用。 示,确定所在象限. 课堂小结 [触类旁通] 知识落实 3.若。为第二象限角,则·180{*}士g(乙) 技法强化 的终边所在的象限是 ( (1)表示终边相同的角主要 A.第二象限 B.第一、二象限 (1)任意角的概念. 运用数形结合、分类过论的 C.第一、三象限 D.第二、四象限 (2)终边相同的角与思想方法 [填密思维提能区] 规范答题 象限角. (2)注意锐角与小于90{角的 终边相同角的集合运算 (3)区域角的表示. 区别,终边相同的角的表示 [典例](13分)已知集合A=(al30{十· 中易漏掉Z $80* <90*十·180*,Z,集合B ($-45^{}+·360{}<B<45*+·360{, 请完成[课后案]学业评价() 乙,求AOB 4高中同步学习方案 第七章 三角函数 §7.1 任意角的概念与弧度制 ∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD 7.1.1角的推广 =(-80)+250°+(-270)=-100°. 课前案·自主学习 [答案](1)①(2)-120°(3)-100 [触类旁通] [教材梳理 1.解析题千图1中，a=360°-30°=330°： 导学1 题千图2中，3=-360°+60°+150°=-150°， 问题1[提示]顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转 y=360°+60°+(-)=360°+60+150°=570. 了720°，顺时针方向旋转了900°， [例2][解析](1)S={813=-2020°+k×360°，k∈Z, 问题2[提示]不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是 ,140°=-2020°+6×360°， 零角，若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角 .140°与一2020°的终边相同. ©结论形成 :140是第二象限的角，.一2020°是第二象限的角. 1,其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角 (2)由-720°≤-2020°+k×360°<0 2.逆时针顺时针 导学2 解得3品<< 11 问题[提示] 终边可能落在坐标轴上或四个象限内， k∈Z,k=4或5， ⊙结论形成 即S中造合一720°≤8<0°的元素有 2.第几象限角任何象限 -2020°+4×360°=-580°， 导学3 -2020°+5×360°=-220°. 问题(1)[提示]相同. [母题变式] (2)[提示]390°=1×360°+30°， 解析由0°<-2020°+k·360<360°， -330°=-1×360°+30 (3)[提示]不唯一. 解释5最<K6品 O结论形成 k∈Z,.k=6 360°的整数倍 aa 故所求最小正角为-2020°+6×360°=140°. [基础自测] 答案140 1.(1)×(2)×(3)×(4)J [触类旁通] 2.B根据终边相同的角相差360的整数倍，故与α=一21° 2.A因为-2024°=-360°×6+136°，所以与-2024°终边 终边相同的角可表示为：{33=k·360°一21°，k∈Z},故 相同的最小正角是136 选B [例3一1][解析](1)在0°360°范国内，终边在直线l 3.A,795°=2X360°十75°，.终边在第一象限，故选A 上的角有两个，即30°和210°，因此终边在直线1，上的角 4.1110°3×360°+30°=1110. 的集合S=(B到B=30°+k·360°，k∈ZU{3B=210°+k· 课堂案·互动探究 360°，k∈Z}={1B=30°+2k·180°，k∈ZU{3B=30°+ [例1门[解析](1)①锐角是大于0°且小于90的角，终边 : (2k+1)·180°，k∈Z}={33=30+n·180°，n∈Z}. 落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确： 同理，终边落在直线l2上的角的集合为S=《lB=105°十n ②一330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确： ·180°，n∈70. (2)解法一（并集法） ③480°角是第二象限角，但它不是纯角，所以③不正确： 在0°~360°范围内，终边落在阴影内的角为30°≤a<105 ④0°角是小于180°的角，但它既不是纯角，也不是直角或 和210°≤a<285°，所以终边落在阴影部分的角的集合S 锐角，故④不正确 {ak·360°+30°≤a<k·360°+105.k∈ZU{ak·360°+ (2)将时钟拔快20分钟，分针顺时针旋转120°，所以分针 210a<k·360°+285°，k∈Z}={a2k·180°+30°≤a 转过的度数为一120°. 2k·180°+105，k∈ZU{a(2k+1)·180°+30°≤a<(2k+1)· (3)如图所示。 180°+105°，k∈Z}={a|n·180°+30°≤a<n·180°+ 105°，n∈Z. 解法二（旋转法） 25 270 终边落在直线，上的角可看成将终边落在x轴上的角逆 时针方向旋转30°角得到，故终边落在直线1上的角的集 合为{aa=30°十n·180°，n∈Z.同理，终边落在直线l 上的角的集合为{aa=105°+n·180°，n∈Z}.故终边落在 阴影部分的角的集合为{a|30°十n·180°≤a<105°十H· 180°，n∈Z} [例3一2]解析](1)因为α是第二象限角， 所以90°+k·360°<a<180°+k·360(k∈Z), : [基础自测门 1.(1)×(2)/(3)/(4)√ 所以180°+k·720°<2a<360°+k·720°， : 2.D设1920°的孤度数为a, 所以2a是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非 正半轴上. 182,a=,故选D 则0=1920 3 (2)因为a是第二象限角， 3.D 所以90°+k·360°<a<180°+k·360(k∈Z), 4.A 所以45+k180<号<90+k180∈ZD. 报括孤长公式.得1-要×8=智(cm》 课堂案·互动探究 ①当6=2nn∈2)时，45+1·360<号<90+0·360 [例】[解析]①设72-6，期受-瑞 (n∈D,即号是第一象限角： a-即72- 5 @当k=2m十1(n∈Z)时，225°+n·360°<g<270°+n· 2 ②设-300°-a,则9=-300。 180 360(n∈Z),即号是第三象限角. ∴a= 5旺，即-300°=-5 3 3 故号是第一或第三象限角 ③设2=，则2=” [触类旁通] -0=60,即2=(360) 3.D因为a为第二象限角，则2n·180°+90°<a<2m·180 2n ④设-2红=n,则」 9 +180°，n∈Z, 9 图此(2n+k)·180°+90°<k·180°+a<(2n+k)·180°+ 180°.n,k∈Z. n=-40,即- 2r=一40°. 9 而2n为偶数，当是为奇数时，2十k为奇数，则k·180°十a (k∈Z)为第四象限角， （2a=15=15×70-是， 当k为偶数时，2m十k为偶数，则k·180°十a(k∈Z)为第二 象限角， 0=105=105×高-7得 所以k·180°+a(k∈Z)的终边所在的象限是第二、四 故a<B<y<a. 象限. [触类旁通] 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 1.解析 课前案·自主学习 (1)1 6x=511×180=15330- 6 [教材梳理] 导学1 2y-7倍-音×180=-105 问题1[提示]将圆周分成360等份，每一段圆孤所对的 国心角就是1°的角. (310=10×10=0 问题2[提示]若长度等于半径长的孤所对的圆心角为 （④-855=-855×7总0=-19 4 (9）八，则月益度制度量孩角为1孤度 [例2][解析](1)-1500=-1800°+300° 结论形成 -5×360°+300°. 1.半径长圆心角 2.孤度 “-150可化成-10x+警，是第回象限角。 导学2 22管-2x+. 问题[提示]由360°=2x孤度，即180°=π孤度. ○结论形成 :严与终边相同是第回象限角。 6 1. （3)-4=-2x+(2m-0,受<2x-4K元 2.0180 2π .一4与2π一4终边相同，是第二象限角. 3.正负零 [母题变式] 导学3 6 问题[提示]孤长公式：由公式a=上及0<a<2x可得 1.解折：2010-2010×7高-6g=5x2x+。 与2010终边相同的角可以写成7一后+2x∈刀 1一a·r:扇形面积公式：S-r 又-5π≤y<0, 设扇形的圆心角为arad,则扇形的面积为 <k≤-2 -32 7 当k=一3时，Y= 29 1 6π 又因为=ar,所以S= ©结论形成 当k=一2时，Y=一 1 6: 当k=一1时Y=一6元 5 3