学业评价(五-六) 向量的数量积 平面向量基本定理-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册课后案·学业评价（人教A版2019）

对于C,O-3G-3(AG-A)-3(AD-A) 综上,的取值范围为t-7且t3,即(-7,3)U(3, $$A -A- (A+-3A=-A=B+ 士). 答案 十OA,故C正确; (-7.3)(3.+) 对于D,OA-OB-OC显然不正确.故选ABC. 13.解析 15.解析(1)由A是BC的中点, (1)(2a-3b)·(2a+b)-4a{}-4a·b-3b-9, 即16-4a·b-3-9. 则有OA-(oB+0C). 从而OC-2O-0B-2a-b; 由D是将OB分成2:1的一个内分点, 得0D-20B. (2)la+bli-a+2a·b+b-7, 即a+b-v7. $从而DC-c-D-(2a-b)-3b-2a-5 $ 设a与a十b的夹角为a,e是与a十b同向的单位向量, #10。 则向量a在a十b上的投影向量为 (2)由于C,E,D三点共线,则EC-DC, #EC-oC-OE-(2a-b)-)a-(2-a)a-b, a十b C-2a- 从而(2-))a-b-#(2a-b), 14.B 取AB的中点D,连接CD(图略), 因为 C-90*,1AB|-6, (2--2, ”解得-一. #1 所以|CD|-AB3. 又a,b不共线,则 设PC与CD的夹角为a, 学业评价(五) 向量的数量积 则PA·PB-(PC+C).(PC+CB) 1.A 2.D 3.D 4.AB 5.11 6.2 7.126 -P+P.(+CB)+CB 8.解析 (1)由题意:(2a-b)·(a+2b)=2a}十3a·b- -P+P.(CA+CB) $ -2+3x1×2×cos -8--3. -2*+PC.2CD 得coso-,又0<0<n,因此-# -4+2|PC||CD|cosa -4+2×2×3cosa-4+12cosa. (2)'|2a+b|-4a*+4a·b+6-4+4×1×2×寻+4-12,因 当a-0{时,PA·PB取得最大值,为16.故选B. 15.解析 (1)因为四边形ABCD是矩形, 此|2a十b=2③. 所以AD.DC-0. 9.D 如图,过点O作OD1AB于D,可知 $$-2PD,得Dp-DC.c-cD--2p AD-AB-3. 所以AP.B-(AD+DP).(BC+CP 则A.AB-(AD+D)·A -(A+p)·(A-p) -AD.AB+D.AB -3X6+0-18,故选D -AD-AD·D-2D 10.AD 由平面向量a,b,c两两的夹角相 等,得夹角为0{或120{, -36-2×81-18. 当夫角为o*时,la十b十cl-(a十b十e){ (2)由题意,A-AD+D-AD+DC -a+2a·b+b+2c·a+2b·c+c{ -14十4+6+12-6,选项D正确; -AD+1AB, 当夹角 为 120{*}时,|a+b+c l= (a+b+c){} B-BC+c-B+CD-AD-AB -va+2a·b+b^}+2c·a+2b·c+c{} - 14-2-3-6-、③,选项A正确,故选A,D 所以A·-(AD+AB)·(AD-AB) 11.解析 因为3a十mb+7c-0, #A-4-0 所以3a+m=-7c. 所以(3a十mb)-(-7c)*得 -36-A·AD-18-18-AB·AD. 9+m{+6m.b-49. #a·b-lallblcos 60*-1, A.B-6. 2 所以m+3m-40-0, 所以18-1AB·AD-6. 解得n-5或m--8. 所以AB·AD-36. 答案 5或-8 12.解析 因为a,b的夹角为锐角, 又AB·AD- ABl ADcos -9X6Xcos 所以a·b0,且a,b不共线, -54cos6. 当a·b>0时, 所以54cos θ-36,即cosθ-2 (3e +2e)·(te.+2e )-3te+(6+2t)e·e+4e-3t+ 所以AB与AD夫角的余弦值为2. 学业评价(六)平面向量基本定理 1.D 2.A 3.C 4.B 5.36.+67.- 当a,b共线时,存在唯一的实数入,使a一h 8.解析 因为a在基底(p,g)下的坐标为(-2,2), 所以a=-2p+2q-(2,4), 令a=xm+n=(-x+y,x+2y). 所以当!关3时,a,b不共线 所以a在基底m,n)下的坐标为(0,2). 9.BCD 选项B错误,这样的a只能与e,。在同一平面内,不 (2)解析 设c=ma十nb(n,nEB). 能是空间任一向量;选项C错误,在平面a内任一向量都可表 则3e -e=m(e -2e )+n(e +3e) 示为e十。的形式,故x十&一定在平面a内;选项 =(m+n)e+(-2m+3n)e, _→- D错误,这样的,入:是唯一的,而不是有无数对。 所以n十n-3, 10.D 连接CD,OD(图略), .点C,D是半圈狐AB的两个三等分点, 所以c-2a+b. :AC-BD, (3)解析 由4e -3e。=a+b, $.CD/AB, CAD= DAB=30*$ 得4e -3e-(e -2e)+(e +3e) :OA-OD. ADO- DAO-30*, =(+u)e+(-2+3)e. .CAD- ADO-30*; 所以/+-4, .AC/DO, '.四边形ACDO为平行四边形, 故所求x,n的值分别为3和1. AD-AO+AC. 学业评价(七) 平面向量的正交分解及坐标表示 .A-A-aAC-b. 平面向量加、减运算的坐标表示 1.D 2.C 3.D 4.A :A-a+b. 5.-1 -2 6.(-18,18) 7.(-3,-5) 8.解析 由长方形ABCD知,CBL工轴,CDIy轴, 11.解析 因为P-A-AP-AB-yAD 因为AB-4,AD-3, 由PO/BE,可设PQ-&BE. 所以AC-4i+3j, 即:AB-yAD-(C-CB)-(-AB+AD 所以AC-(4,3). #-1),# #BD-B+AD--AB+A. --4+AD,所以{ 所以BD--4i+3j, 1_-, 所以BD-(-4,3). 答案 9.ABD 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相 等的向量,故C错误。 12.解析 设AO-aAC(aER), 10.D 由P(\3,1),得P(2cos吾,2sin), 则A-(AD+DC)-a(AD+AB) .将向量OP绕点O按逆时针方向旋转-后得到向量OQ -AD+1&AB. .o(2cos(吾+吾),2sin(吾+吾). 因为D,0,B三点共线,所以a+x-1, #:co(+)-n-# #以)# sin(+-co- 所以A-AD+1AB--a+316 .Q(-1.③).故选D. #答案} 11.解析过A分别作AM,AN垂直于工轴、y轴,垂足为M,N. 13.(1)解析 DE-AE-AD-AB+B-AD 易知AM-1,AN-③, A(-3,1).0A-(-3,1 #--t-b-b-a-2b. 答案 (-3,1) 12.解析 (2)证明 连接AC,BD交于O,则C-C. .AB-(2,4)-(1,3)=(1,1). .AB-a, .E,F分别是BC,DC的中点, '.G是△CBD的重心, ##G-c-×A-1c 答案1 13.解析 如图,正三角形ABC的边长为2, 又C为公共点...A,G,C三点共线. 14.解析 如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作 y □OMCN,使得M在射线OA上,N在射线OB上, N.............C 0(A) P 1& :C-OM+o.O-0+o. 则项点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60”,2sin 60*). .C(1③),D(). *OM-OA,ON-OB 在Rt△OCM中, :AB-(2,o),AC-(1.v③). .lOC-23, COM=30”,乙OCM=90{。 -(1-2③-0)-(-1.③) .1MC1-2.10M-4..0M-40A. D-(-23-。-(-。3). 又1ON-MC|-2:ON-20B .-4.-2. 14.解析 因为A(1,1),B(2,3),C(4,5), .十-6. 所以AB-(1,2),AC-(3,4). 答案6 又当-( ),oB(r。,)时, 15.(1)证明 若a,b共线,则存在xR,使a-xb,则e-2e= $sa-号l--x, (-1, (-1, x(e.十3e。).由e,不共线,得 {_2所以 入不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底 答案1学业评价（五） 向量的数量积 [必备知识·基础巩固] [关键能力·综合提升] 1.已知1a=1.b=2,a与b的夹角为行，则 9.在△ABC中，AB=6,O为△ABC的外心，则 AO.AB= ( a。b ( A.6 B.6 A.1 B.2 C.12 D.18 C.3 D.4 10.(多选题)若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且 2.设单位向量a,b满足(a,b)=60°，则a十2b= a=1,b|=2,c=3,则a+b+c= ( ) A.2 B.√5 A.3 B.3 C.5 D.√7 C.5 D.6 3.已知a=8,b=4,〈a,b)=120°，e是与a同向 11.已知a=|b=c=1且满足3a十b+7c=0,其 的单位向量，则向量b在a方向上的投影向量为 中a,b的夹角为60°，则实数m= 12.已知e1,e2是夹角为60的两个单位向量.若a= A.4e B.-4e 3e,+2e,b=e,+2e2,其中t∈R,若a,b的夹角 C.2e D.-2e 为锐角，则1的取值范围是 4,(多选题)对于任意向量a,b,c,下列命题不正确 13.已知a=2,|bl=1,(2a-3b)·(2a+b)=9. 的是 (1)求a与b之间的夹角0： A.若a·b=0,则a与b中至少有一个为0 (2)向量e是与a十b同向的单位向量，求向量 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π) a在a十b上的投影. C.若a⊥b,则a·b=0 D.la=√ 5.设向量a,b的夹角的余弦值为号，且a=1, b=3,则(2a+b)·b= 6.已知平面向量a,b满足a=√2，b=1,a与b [学科素养·探索创新] 的夹角为45°，(b一a)⊥a,则实数入的值为 14.在△ABC中，∠C=90°，|AB=6,点P满足 CP=2,则PA·PB的最大值为 () 7.已知a=3,b=5,且a·b=12,则向量a在向 : A.9 B.16 量b上的投影向量为 C.18 D.25 8.已知a=1,1b|=2,(2a-b)·(a+2b)=-3. 15.在四边形ABCD中，已知AB=9,BC=6,CP (1)求a与b的夹角0： 2 PD. (2)求|2a+b. (1)若四边形ABCD是矩形，求AP·BP的值： (2)若四边形ABCD是平行四边形，且AP· BP=6,求AB与AD夹角的余弦值. O数学·必修第二册（配RJA版） 学业评价（六） 平面向量基本定理 [必备知识·基础巩固] 8.若{a,是一个基底，向量y=xa十y3(x,y∈R), 则称(x,y)为向量Y在基底{a,B}下的坐标，现已 1.若{e,e2}是平面内的一组基底，则下列四组向量 知向量a在基底{p=(1,-1),q=(2,1)}下的坐 能作为平面向量的基底的是 ) 标为（一2,2），求a在基底{m=(一1,1)，n=(1,2)}下 A.{e1-e2e2-e} B.{2e,-ee,-2e 的坐标. C.{2e2-3e1,6e1-4e2}D.{e1+e2,e1-ez} 2.在等腰梯形ABCD中，AB∥DC,AB=2DC,E为 BC的中点，则 ( A.A店=AB+2Ad BA店-号A店+号A市 C.A正-AB+2AD D.A店=A店+Ad 3.已知A,B,D三点共线，且对任一点C,有CD= 号C+AC丽，则X= A号 B号 C. n-号 [关键能力·综合提升] 4.(多选题)已知M为△ABC的重心，D为BC的中 9.(多选题)如要e,e2是平面a内所有向量的一组 点，则下列等式成立的是 ( A.IMAI-IMBI=IMC 基底，那么下列命题不正确的是 () A.若实数入1，入2，使入1e1十入e2=0,则入1=入2=0 B.MA+MB+MC=0 B.空间任一向量a可以表示为a=入，e,十入2e,其 CBM=号BA+号B时 中λ1，A2∈R DSae-吉Sm C.对实数入1z,入e,十入ze不一定在平面a内 D.对平面a中的任一向量a,使a=入e1十2e2的 5.已知向量a,b是一组基底，实数xy满足(3x一4y)a十 实数入，入有无数对 (2x-3y)b=6a+3b,则.x-y= 10.如图，AB是⊙O的直径，点C,D是半圆弧AB的 6.如图，在平行四边形ABCD中，点O为AC的中 两个三等分点，AB=a,AC=b,则AD等于 点，点N为OB的中点，设A言=a,AD=b,若用 a,b表示向量AN,则AN= 7.已知向量a在基底{e,,e2}下可以表示为a= 2e,十3e,若a在基底{e1十e,e,一e}下可表示为 A.a a=A(e:十e2)+u(e,-e2),则入= '= 1 C.a+ D.za+b 8 11.已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点， AP=yAD,AQ=xAB,其中x,y∈R,且均不 [学科素养·探索创新] 为0.若PQ∥BE,则E= 14.如图，平面内有三个向量0A.OB.0元.其中0A 12.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点 与0B的夹角为120°，0A与0C的夹角为30°，且 O,设AD=a,AB=b,若AB=2DC,则AO= 1OA1=1OB1=1,10C1=23.若0C=AOA+ (用a和b表示). OB(a,∈R),则入十= 13.如图所示，□ABCD中，E,F分别是BC,DC的： 15.设e1,e,是不共线的非零向量，且a=e-2e2, 中点，BF与DE交于点G,设AB=a,AD=b b=e+3e2. D (1)证明{a,b)可以作为一组基底： (2)以{a,b}为基底，求向量c=3e1-e的分 解式； (1)用a,b表示DE: (3)若4e1一3e2=a十b,求入，4的值. (2)试用向量方法证明：A,G,C三点共线， 9