学业评价(四十) 古典概型-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册课后案·学业评价（人教A版2019）

O数学·必修第二册（配RJA版） 学业评价（四十） 古典概型 8.某种饮料每箱装6瓶，如果其中有2瓶不合格，质 [必备知识·基础巩固] 检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2瓶，求 1.（多选题)下列是古典概型的是 ( 检测出不合格产品的概率. A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本 点时 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的 概率，将取出的正整数作为样本点时 C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最 短路线的概率 D.从袋子中的3个红球和2个白球中任取2个 小球，计算所取的两个小球都是白球的概率 2.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选 中的概率为 ( A司 B D.1 3.从2,3,4,9中任取两个不同的数，分别记为a,b, 则logb=2的概率为 ( A造 c号 n号 [关键能力·综合提升] 4.(多选题)随机地排列数字1,5,6得到一个三位 9.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相 数，则 ( 邻的概率为 () A.可以排成9个不同的三位数 A.0.3 B.0.5 B所得的三位数是奇数的概率为号 C.0.6 D.0.8 10.(多选题)如图，圆O的半径为1，六边形ABC C,所得的三位数是偶数的概率为号 DEF是圆O的内接正六边形，从A,B,C,D,E, D所得的三位数大于40的薇率为号 F六点中任意取两点，并连接成线段，则下列结 论正确的是 () 5.在国庆阅兵中，某兵种A,B,C三个方阵按一定 次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B 先于A,C通过的概率为 6.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为 5的概率是 7.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两个 A.线段的长为1的概率是0.4 数，则两个数都是奇数的概率是 .若有 B.线段的长为2的概率是0.5 放回地任取两个数，则两个数都是偶数的概率是 C.线段的长为3的概率是0.4 D.线段的长为√3的概率是0.8 82 11.在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则 [学科素养·探索创新] 构成的四边形是梯形的概率为 12.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有 14.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年， 1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两 是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法。 球，两球颜色为一白一黑的概率为 在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小 13.现有6道题，其中4道甲类题、2道乙类题，张同 棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成） 学从中任取2道题解答.试求： 以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木 (1)所取的2道题都是甲类题的概率； 棍随机摆成图中的两个数（小木棍全部用完），那 (2)所取的2道题不是同一类题的概率. 么这两个数的和不小于9的概率为 一==≡三⊥上士当 123456789 15.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其 中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个， 标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取 1个小球，取到标号是2的小球的概率是 (1)求n的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第 一次取出的小球标号为α，第二次取出的小球标 号为b.记事件A表示“a十b=2”,求事件 A的概率. 83则M={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4), 料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则6瓶中选2瓶试验的样本 (2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5, 空间为Q={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4), 5),(5,6),(6,5),(6,6)),共含19个样本点. (2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)),共15个 15.解析(1)2={S,S2,S,S,S,S6,S,S8,S,Sa. 样本点.有1瓶不合格的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)， (2)A=(SSSSSSSo (2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8个：有2瓶不合格的样 B=(S,,S,S ,SIo). 本点有(5,6)，共1个， (3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S。站发 车的车票共计8种，…，从S,站发车的车票1种，合计共 所以检测出不合格产品的概奉为吉-号 5 9+8十十2十1=45（种）. 9,C利用古典概型的概率公式可求概率， 学业评价（三十九） 事件的关系和运算 将3个1和2个0随机排成一行的方法可以是： 1.CD2.A3.C4.D5.某人从装有5个黑球，5个白球的 00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001, 11010,11100,共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法可 袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球6.③7.事件A,B 以是：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法， 恰有一个发生 8.解析给两个红球编号为1,2，给两个白球编号为3,4，从口 故2个0不相邻的概率为0=0.6，故选C 袋中任取两个球，用(x,y)表示取出的两个球，则试验的样本空 10.AC在A,B,C,D,E,F中任取两点的样本空间2 间为2=((1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，设A=“至 {(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D), 少有1个白球”， (B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F), (1)设B=“都是白球”，B=((3,4)},所以B二A (E,F)},共15个样本点，线段长为1的样本点有(A,B), (2)设C=“至少有一个红球”， (A,F),(B,C),(C,D),(D,E),(E,F),共有6个，所以线段 则C=((1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}, 6 图为A∩C={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}, 长为1的概率P=后=0.4，故A正确：线段长为2的样本 所以A和C不互斥， 点有(A,D),(B,E),(C,F),共有3个，所以线段长为2的概 (3)设D=“都是红球”，则D={(1,2)}, 因为AUD=2,A∩D=②，所以A和D为对立事件. 率卫=后=0.2，故B不正确：线發长为5的样本点有 9.B用集合的表示法中的“Venn图”解决比较直观，如图所示， (A,C),(A,E),(B,D),(B,F),(C,E),(D,F),共有6个，所 AUB=I是必然事件，故选B. 以线较长为3的概率P,=百 =0.4,故C正确：D不正确. 11.解析如图，在正六边形ABCDE万 的6个顶，点中随机选择4个顶，点，试 脸空间共有15个样本点，其中构成 的四边形是梯形的有ABEF,BCDE, ABCF CDEF .ABCD,ADEF 6 10.BD若AUB=A,则B二A,故A错误： 个样本点，故构成的四边形是梯形的 ,ABSA,.AUAB=A,故B正确： D ,当事件A,B都不发生时，AB发生 ,,事件AB不包含于A,故C错误： 2 ,A二(AUB),.A(AUB)=A,故D正确. 答案 11.解析由题意可知C=AUB. 12.解析设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1,b2表示， 答案C=AUB 3个黑球分别用G1,c,C3表示，则诚验的样本空间n 12.解析命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命 {(a,b),(a,b2),(a,c),(a,c),(a,c),(b,b2),(b), 题，对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A,B外，还有“第 (b1c2),(b1c),(b2,c1),(b2c2),(b2,c1）,(c1ca）,(c1,ca), (c2,C3)},则样本空间的总数15个.两球颜色为一白一黑的 一次出现正面，第二次发现反面”和“第一次出现反面，第二 次出现正面”两个事件，所以事件A和事件B不是对立事件， 样本空间有(6，G1),(b,c2),(b,c),(bc1),(b,c), 6 2 但它们不会同时发生，所以是互斥事件：对于(3)，若所取的3 (6,),共6个，其概率为员=亏 件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，所以 2 事件A和事件B不是互斥事件. 答案 5 答案1 13.解析(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4：2道乙类题依 13.解析(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球，或 次编号为5,6.任取2道题， 2个红球1个白球，故D=AUB. 这个狱验的样本空间为{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球，2个红球 (1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6), 1个白球，3个红球，故C∩A=A. (4,5),(4,6),(5,6)},共15个料本点，且每个样本点出现的 (3)C=AUBUE:C∩F=AUB. 可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率」 14.解析事件“第3次拔号才接通电话”代袁第1次与第2次 用A袁示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A= 都没接通，分别为A1,A2,第3次接通表示为A,故事件“第 {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共含有6个样本 3次拨号才接通电话”表示为A1A2A; 点，所以P()=5=5 6 2 不超过3次接通代表第1次接通或第1次没有接通第2次接 通或第1次，第2次没接通第3次接通，分别表示为A1, (2)由(1)知试验的样本空间共有15个样本点，用B表示“所 A1A2,A1A2A,,故“拨号不超过3次而接通电话”可表示为 取的2道题不是同一类题”这一事件，则B={(1,5),(1,6), A,UA:A,UA,A:A,. (2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共包含8个样本 答案A1A2A1A1UA1A2UA1A2A: 15.解析(1)必然事件有：E:随机事件有：C1,C:,C3,C4,C, 点，所以P(B)= Cs,D1,D2,D3,G,H:不可能事件有：F 14.解析用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：第一 (2)如果事件C发生，则事件D1,D,E和H一定发生. 种是用1根和4根小木棍可以组成1与4,1与8，共2种不 (3)可能是C1,C,C发生，H=C,UC.UC3. 同的组合，其和分别为5,9： 第二种是用2根和3根小木棍可以组成2与3,2与7,6与 (4)D2和D3同时发生时，即为发生了，D2∩D=C5: (5)有，如：C1和C2C3和C4等. 3,6与7，共4种不同的组合，其和分别为5,9,9,13，故用五 根小木棍随机摆放成图中的两个数，有2十4=6（种）不同的 学业评价（四十）古典概型 组合，其中两个数的和不小于9的有4种，所以这两个数的 1.CD2.C3B4BD5.号6.号7是元 和不小于9的概率为P=4=2 63 8.解析只要检测的2瓶中有1瓶不合格，就表示查出了不合 格产品.分为两种情况：1瓶不合格和2瓶都不合格.设合格饮 答案 2 69 @ 15.解析1)由题意，可知1+1十一乞' ”=1 ②当a≠0时，需要满足b≤1，即b≤a,符合条件的有 解得n=2. (1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1),共4种 (2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间Q={(0,1), ∴.函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，十∞)上单调递增的概率 (0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(20),(21.1), 5 (2.22),(220),(22.1),(22.2)》,共12个，事件A包含的样 。海技网 是P=2 本点为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(2.0)，共4个.∴.P(A)= 12=3· (0.01十0.03十0.03+0.01)×10=0.2，则x=0.02. 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.011 学业评价（四十一）概率的基本性质 65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10= 1上B2BA4BD5品 6.0.77.0.10 74(分). 由于前两组的频率之和为0.1十0.3=0.4，前三组的频率之 8.解析设小王的成绩在90分以上（含90分）、在80一89分、在 和为0.1+0.3+0.3=0.7，故中位数在第3组中. 60分以下（不含60分）分别为事件A,B,C,且A,B,C两两 互斥. 设中位数为t分，则有(1-70)×0.03=0.1，得1=220，即所 (1)设小王的成绩在80分以上（含80分）为事件D,则D=A +B, 求的中位数为22分. 3 所以P(D)=P(A十B)=P(A)+P(B)=0.18+0.51=0.69. (2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3十 (2)设小王数学考试及格为事件E,由于事件E与事件C为对 0.2十0.1=0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级 立事件， 2000名学生中成绩不低于70分的人数为2000×0.6= 所以P(E)=1-P(C)=1-0.07=0.93. 1200. 9.C擦一个鞭子的试验有6种可能结果， (3)由(1)可知，后三纽中的人数分别为15,10,5，由分层随机抽 依题意P(A)=名 样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1， 记成绩在[70,80)的3名学生分别为a,b,c,成绩在[80,90) 所以P(B)=1-PB)=1-号-子周为B表示“出现5点或 的2名学生分别为d,e,成绩在[90,100]的1名学生为f,则 6点”的事件，因此事件A与B互斥，从而P(A十B)=P(A)十 试验的样本空间为 ={(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,fD,(a,c,d),(a,c,e), (a,c,fD,(a,d,e),(a,d,f),(a,e,f),(b,c,d),(b,c,e), 10.A设摸出红球的概率为P(A),摸出黄球的糊率为P(B), : (b,c,f),(b,d,e)(b,d,f),(b,e,f),(c,d,e),(c,d,f), 摸出白球的概率为P(C), (ce,f),(d,e,f)},共20个样本，点， : 所以P(A)+P(B)=0.4,P(A)+P(C)=0.9, 其中成绩在[80,100]的学生没人被抽到的样本点为(a,b,c), 且P(A)+P(B)+P(C)=1, 只有1个， 所以P(C)=1-P(A)-P(B)=0.6 故成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率P一1一 P(B)=1-P(A)-P(C)=0.1, 119 所以P(B)十P(C)=0.7. 20-20 11.解析设A={3人中至少有1名女生)，B={3人都为男 学业评价（四十二）事件的相互独立性 生}，则A、B为对立事件， P(B)=1-P=吉 :1.Ac2B3B4.D5.日6.0.267.合号 8.解析记“甲气象台预报天气准确”为事件A,“乙气象台预报 答案1 天气准确”为事件B. 5 12.解析将一颗质地均匀的散子先后抛椰2次，所有等可能的 显然事件A,B相互独立，且P(A)=号， 结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)， (2,2),…,(6,6),共36种情况.设事件A=“出现向上的，点数 P(B)=3 4 之和小于10”，其对立事件A=“出现向上的点敏之和大于或 (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率 等于10”，A包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)， (6,5),(6,6),共6种情况.所以由古典概型的概率公式，得 PAB)=PA)P(B)=号X是=是 P不-6-名所以PA)-1-名-音. (2)至少有一个气象台预报准确的概率为 答案6 P=1-PAB)=1-P(A)P(B)=1-号×=8 4201 9.C一道数学难题，恰有一人解出，包括： 13.解析(1)因为在区间[5,10)，[10,15)和[20,25)内的手机 的数量之比为5：10：15=1：2：3，所以抽取的6部手机中 ①A解出，B,C解不出，凝单为号×号×是- 44 价格在区同20,25)内的有6×号=3（廊）。 ②B解出AC将不出，展率为宁×号×是-日 (2)这6部手机中价格在区间[5,10)内的有1部记为a,在区 间[10,15)内的有2部，分别记为61，b2,在区间[20,25)内的有 ③C解出，A,B解不出，概单为号×号×号-是 3师，分别记为GG,从中任取2都， 试验的样本空间为 所以格有1人解出的概奉为子+言十立费 n={(a,6),(a,b2),(a,G),(a,cg),(a,c),(b,b), :10.BCD利用相互独立事件、互斥事件的定义以及相互独立事 (b1c1）,(b1c2）,(b1,c3）,(b2tc1),(bgc2）,(b2ca）,(c1c2), 件的概率公式，逐一判断四个选项即可. (c13),(c2,c3)},共15个样本点： 事件A=“第i枚硬币正面朝上”，i=1,2,3. 设“价格在区间[10,15)内的手机至少有1部”为事件A,则 因为A1与A2可以同时发生，所以A1与A2不互斥，故选项A 事件A包含的样本点有(a,b1),(a,b2),(b1,b2),(b,c1, 错误： (6cz),(bc),(6G),(6,c),(b2c),共9个. 因为A1,A2与A,相互独立，所以A1UA2与A1相互独立，故 故PA)=是-是 3 选项B正确： 14.Aa∈{0,1,2}，b∈{-1,1,3,5}， 国为PA,nA)=P(A)P(A)=×号-子，故选项C 共含有12个样本点. 正确； 函数f(x)=ax2一2bx在区间(1，十o∞)上单调递增， 因为P(AUA1)=P(A1)+P(A,)-P(A1)P(A2)= ①当a=0时，f(x)=一2bx,需要满足一2b>0,即b<0,将合 条件的只有(0，一1)，即a=0,b=一1，共1种： ,故选项D正确，故选B,C,D 3 70