学业评价(十四-十五) 数系的扩充和复数的概念 复数的几何意义-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册课后案·学业评价（人教A版2019）

14.解析 由题意, DCB=30{,$CDB=60{$ (2).rR. 所以CBD-90{. (--6-0. ·由复数相等的定义得 r十1 -2x-3-0. $$-CD=300v3. 即{=32,且-1.-3. r-3或x--1. 又 DCA-75*$CDA-45^*, 9.A 直接利用i^}一1,化简,再得到其虚部。 所以CAD-60{。 因为?*-(i)-1, 在△ACD中,由正弦定理得AC .?}的虚部为0.故选A. 10.AD 对于A,因为i一一1,所以1十-0,故A为真命题;对 -200/6. 于C,当x-1,v=i时,r+v一0,故C为假命题;按照复数 的定义,两个虚数不能比较大小,故B为假命题,D为真 命题. 在△ABC中, ACB- ACD- BCD-75-30*-45^*, (2a”+3a-0. 由余弦定理得,AB{}-AC}+BC-2AC·BC·cos ACB 11.解析.>... {a十a-0. -4a+1>2a. 心a一0,故所求a的取值集合为0。 答案 150 000. 0 12.解析 所以AB-10015 答案 ;10015 (n+3n+2m-0. . ,m-5m=0, 解得m-0, 15.解析 (1)由 2cosC(acos B+bcos A)-c. m+1一4n-2, 结合正弦定理得2cos C(sin Acos B十sin Bcos A)一sinC. 即2cosCsin(A+B)-sinC. '.实数m的取值集合为0. 答案 故2sinCcos C-sinC. 0) 13.解析 14-m-0.解得m--2. (1).为纯虚数, 因为C(o.x).所以sinCo.可得cosC= 2所 则 以C-一 n-20. (2)由=x。,得{4-”=入+2sin9, -aosinC-3. m-2-cos0-2. (2)由△ABC的面积S= '-4-cos6-2sinθ-sin0-2sin0+3 2 -(sin0-D*+2. 又C-吾,所以ab-6①. .-1<sin1. *当sin0-1时.-2. 由一、/7及余弦定理得a十-2abcosC-7, 当sinθ--1时,-6. 故。+6-13,从而(a+6)-25, ·实数入的取值范围是[2,6]. 所以a十b-5②, 14.C ·'复数-(cos8-)+(sinθ-):是纯虚数, 由①②联立解得a-2,b-3或a-3,b-2 16.解析(1)0一120{}时,游船水平方向的速度大小为|v .cos -4-0 sin-≠0. cos(180{}一)一lv|-1km/h,方向水平向左,故最终到达北 ) 岸时游船在A点的左侧 又cos:0+sin)-1. 13-7. 1 4 15.解析 将 (2)若游船能到A处,则有v 一vlcos(180*-9), -3x+2y+yi. . 1 故有(r+y)+(x+3)i-3x+2y+yi. 所以sin-2 (2+-0.得r--1,y-2. 此时游船垂直江岸方向的速度-v sinθ-2\②1km/h 得 r十3-v. 学业评价(十五)复数的几何意义 42 1.A 2.D 3.C 4.B 5.2 4 6.-6-8i 7.2+4i 8.解析.:为纯虚数,.设:-ai(aR且a-0). 又-1+il-②,由-1--1+i,得 +1-②,解得 a-士1..z一士i. 9.AC 根据复数&一a十i为“等部复数”,求得a一1,得到。 1+i.结合选项,逐项判定,即可求解。 因为复数。一a十i(aR,i为虚数单位)为“等部复数” 根据“等部复数”的定义,可得a一1,即。一1十i,所以A正确; 由- 1+1-②,所以B不正确; 学业评价(十四) 数系的扩充和复数的概念 由一1+i.可得三-1-i,所以C正确; 1.B 2.B 3.D 4.ABD 5.1或-3 6.2 7.1 由(a-1)+(a-1)j-(1-1)+(1-1)i-0.所以D不正 8.解析(1)'.'x,yR. 确。故选AC. (2r-1-r-y, .由复数相等的定义得 10.B 复数3一3i对应的点的坐标为(3,一3),对应的向量按顺 十1--r-y. 时针方向旋转吾,则对应的点的坐标为(0.-23),所得向 解得/:-3. 量对应的复数为一2③i. 由条件知{+2-3-0..-3. : 13.解析 11.解析 .=+2i,-3-y. fn-9-0. '+.-+3+(2-y)i-5-6i. '-12i.1l-12. . 答案 12 12.解析 设=x十yi(x,yR),依题意可知x十y-0,所以 '-2+2i=3-8i. l-+y-2x(1,2). '.-z-(2+2i)-(3-8i)--1+10i. 即|xl(^),可取满足该条件的复数即可,比如 14.B 根据复数加(减)法的几何意义,可知以OA,OB为邻边所 作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故 一 △AOB为直角三角形, 1-i(答案不唯一) 15.解析 32 13.解析 复数s-(n}-4m)+(n}一m-6)i,对应点的坐标% z(n-4n.m-m-6). (1)由点2在第三象限,则{ 40. n-m-6<0 十2。可与任意实数比较大小, 。 '十。为实数, 所以0<n<3. :. [a+4a-5-0 [+2a-15-0 。解得a-3. (2)由点乙在虚轴上,则n-4m-0. 解得n-0或m-4.所以m-0或m-4. 14.解析 依题意可设复数:-a十2ai(a-R). 由-5,得a+4a-5, '向量乙乙对应的复数为 解得a-士1,故x-1+2i或。=-1-2i. 答案 1+2i或-1-2i (2)乙乙。的中点乙对应的复数为 15.解析(1)因为z-3十i,z=- (-1+i)+(一;) 所以|-③)+1-2. 16' 5。 1#(-)+()#-一1. 所以1。. (2)由|<<,得1<<2 学业评价(十七)复数的乘、除运算 根据复数几何意义可知z|表示复数。对应的点到原点的 1.D 2.C 3.B 4.AB 5.-3 6.3+2i 7.-3土23i 距离, 所以|sl二1表示|sl一1所表示的圆及其外部所有点组成的 集合, -ì <2表示||一2所表示的圆及其内部所有点组成的 (2)(1+2i)*+3(1-i) 集合: 2+1 所以满足条件的点乙的集合是以原点O为圈心,以1和2为半 --3+4i+3-31 径的两圆之间的圆环(包括两边界). 2+r # 2十i 学业评价(十六)复数的加、减运算及其几何意义 1.B 2.CD 3.D 4.D 5.6 6.2士i 7.士23-2i 8.解析:三:一。 (3)(1)”③ -(3r+y)+(y-4x)i-[(4y-2)-(5r+3y)i] ③一② -[(3r+y)-(4y-2c)]+[(y-4r)+(5.r+3y)] -[# -(5x-3y)+(r+4y)i. 又:-13-2i.且r.yR. ③一②i -i十i--1十i. 9.A 由题设,-1-2i,-1+2i,所以a+b+1+(2a-2)i-0, .-(3×2-1)+(-1-4×2)i-5-9i. 故a-1,b--2,选择A. .=4X(-1)-2X2-[5X2+3X(-1)]i 二-8-7. 10.ABD根据共矩复数的定义,复数的运算、复数的定义和复 9.AD 因为复数;与其共辄复数的实部相等,虚部互为相反 数模的三角不等式计算求解后判断各选项。 数,所以。十R,A为真命题; 对于A,·=(a十bi)(a-bi)-a}+=|zl,所以A正确; 一bi 对于B二1 当:为实数时,也为实数,则。一三是实数,B为假命题; &=a+6i(a+hi)(a-bi)+66. 因为-R,所以b-0,从而:R,所以B正确; 对于C,一(a十bi)^{}一(a一b)十2abi为纯虚数,所以 {-#-0.即a-士b70,所以C错误; 一i一1表示以点(0,1)为围心,1为半径的围,结合图形(图 略)知,z的最大值为圈心到原点的距离与半径之和,即为 2al0. 1十1-2,D为真命题. 对于D,由复数模的三角不等式可得lz一(z-i)十il<一i|+ 10.D1-zl-(1+icos-(sin0-i)1 i-2,所以D正确,故选A:B.D =(1-sin9)+(1+cos){} 11.解析设复数=a十bi,(b0),则。=a}一b+2abi,使。 -3-2(sin6-cosθ) 的实部为0,得a一士6,即可得解. 设复数z-a十bi,(b0),则。-a?-b十2abi. - 3-2v2sin(--)<3+2v2-v2+1. 因为。”的实部为0,所以a}--0,即a-士b, 11.解析 因为c.-z。=-2十2i,所以对应点(-2,2)在第二 所以答案可为1-i或1十i. 象限. 答案 1-i或1十i(答案不唯一,凡符合a+ai或a-ai(aER 答案 且“子0)形式的均正确) 12.解析 BC-O-O-O-(OA+A 12.解析 *十1--2-(-D(r十i). 答案 -3+2i-(-2+i+1+5i (-i)(r十i) -(3+2-1)+(2-1-5)i-4-4i. 13.解析 因为;-1十i.所以ax+2b-(a+2b)+(a-2b)i. 答案4-4i (a+2):-(a+2)-4+4(a+2)i-(a”+4a)+4(a+2)i.因学业评价（十四） 数系的扩充和复数的概念 [必备知识·基础巩固] 11.已知之1=(-4a+1)+(2a2+3a)i,2=2a+ (a2+a)i,其中a∈R.若，>2，则a的取值集 1.已知复数≈1=a十2i,2=3十(a2-7)i,a∈R,若 合为 21=22,则a= 12.若复数x1=m2+1十(m3+3m2十2m)i,2 A.2 B.3 C.-3 D.9 4m-2十(m2-5m)i,m为实数，且名1>2，则实 2.设a,b∈R,则“a=0”是“复数a十i是纯虚数”的 数n的取值集合为 ( 13.已知复数名1=4-m2+(m-2)i.a2=入+2sin0+ A.充分不必要条件B.必要不充分条件 (cos0-2)i(其中i是虚数单位，m,a.0∈R). C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (1)若：1为纯虚数，求实数m的值： 3.若a,b∈R,i是虚数单位，a十2025i=2一bi,则a2+bi= (2)若：=2，求实数入的取值范围. A.2025+2i B.2025+4i C.2+2025i D.4-2025i 4.(多选题)下列命题错误的是 ( A.若x,y∈C,则x十yi=1十i的充要条件是x= y=1 B.纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集 C.若（名1一2）2十(2一)”=0，则1=2=不 一定成立 D.若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一 对应 5.若复数x=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反 数，则实数a= 6.如果(m一1)十(m2一2m)i>1,则实数m= [学科素养·探索创新] 7.若实数x,y满足x十y+(x一y)i=2,则xy= 14.若复数z=(os0-号)+(sin0-号)i是纯虚 8.分别求满足下列条件的实数x,y的值. 数i为虚数单位)，则an(0-牙)的值为 (1)2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i (2)t=t-6+x2-2z-3i=0. x+1 A.7 B一月 C.-7 D.-7或-司 15.定义运算 a b =ad-bc,如果(x十y)十 c d [关键能力·综合提升] 3.x+2y i (x+3)i= -y 求实数y的值 9.的虚部为 ( A.0 B.-1 C.i D,-i 10.(多选题)在复数范围内，下列四个命题是真命 题的为 ( A.1+=0 B.若a,b∈R,且a>b,则a十ib+i C.若x2十y2=0,则x=y=0 D.两个虚数不能比较大小 23 O数学·必修第二册（配RJA版） 学业评价（十五） 复数的儿何意义 [必备知识·基础巩固] [关键能力·综合提升] L,复平面内复数之对应的向量为0立，且O立= 9.(多选题)如果一个复数的实部和虚部相等，则称 (一1，一2)，则等于 ( 这个复数为“等部复数”.若复数x=a十i(a∈R, A.5 B.3 ⅰ为虚数单位)为“等部复数”，则下列说法正确的 C.5 是 D.(-1,2) 2.在复平面内，若复数x=3一2i(其中i是虚数单 A.a=1 位)，则复数之对应的点位于 B.x=1 ( A.第一象限 B.第二象限 C.=1-i C.第三象限 D.第四象限 D.复数(a-1)十(a2-1)i是纯虚数 10.在复平面内，把复数3一√3i对应的向量按顺时 3.已知复数：=m+i(m∈R),则“|：|>10”是 “m>3”的 针方向旋转罗，则所得向量对应的复数是( A.充分不必要条件 A.2√5 B.-2 B.充要条件 C.必要不充分条件 C.3-3i D.3+√3i D.既不充分也不必要条件 11.若复数=(m一9)十(m+2n一3)i是纯虚数， 4.已知0<a<2,复数之=a+i(i是虚数单位)，则 其中m∈R,则= 12.写出一个复数之满足实部和虚部互为相反数，且 |x的取值范围是 ( 1<|<2,x= A.(1,3) B.(1,√5) 13.当实数m取何值时，在复平面内与复数 C.(1,3) D.(1,5) (m2一4m)+(m2一m一6)i对应的点满足下列 5.若复数1=2十bi与复数，=a一4i互为共轭复 条件？ 数，则a .6= (1)在第三象限： 6.复数4十3i与一2-5i分别表示向量OA与0B,则 (2)在虚轴上. 向量AB表示的复数是 7.在复平面内，复数6+5i,一2+3i对应的点分别为 A,B,若C为线段AB的中点，则点C对应的复 数是 8.设x为纯虚数，且|x一1|=|一1+i,求复数 [学科素养·探索创新] 14.若复数x对应的点在y=2x的图象上，且x=√5， 则复数g= 15,已知复数，=3+i=一+ (1)求名及x2|并比较大小： (2)设∈C,则满足条件|2|≤≤≈1|的点 Z的集合是什么图形？ 24