学业评价(十-十一) 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 余弦定理-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册课后案·学业评价（人教A版2019）

14.解析 以B为原点,BC所在的 y 10.C 假设 BC的中点是O,则AC-AB-(AC+AB)·(AC 直线为:轴建立如图所示的平 面直角坐标系, AB-2AO·BC-2AM·BC.即(AO-AM)·BC-MO. 则B(0.0),C(8.0),A(4.3).故 BC-0.所以MOIBC,所以动点M在线段BC的垂直平分线 #(6.), 上,所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心. 11.解析 FD-F+OD,FE-F+OE,且OD-OE,所以 当M为BC中点时,M(4,0), TD (F+oD)(+o)-o---l= 此时MC-(4.0),MD=(2.3). 故MC.MD-8. 8. 当M为BC上的动点,设M(1.0).018 答案 8 此时MC-(8-1.0).MD-(6-1.3). 12.解析 5A-AC+2AB. 故MC·MD-*-14+48-(1-7)-1. $ A$-2AB-AC-AP-2A. 因为0 8,故-1<(t-7)-1<48. -2(PA+PB)-PC,如图所示,以PA,PB 故MC·MD的取值范围为[-1,48]. 为邻边作CPAEB, 答案 8[-1,48] 则C,P,E三点共线,连接PE交AB于点 15.解析 (1)由已知得4a|一b|}-3 O.则PC-2EP-4OP. 即4×1-lb-3,|b-1. (2)l$a+b}-4a+4a·b+b-4-2+1=312a+b PC= -3. 答案 1:2 13.证明 b.(2a+b)-2a·b+b=2x(-)+1-0. (1)建立如图所示的平面直角坐标 系,设正方形的边长为1.[BP|-. cos -B.(2a+b)-0-0 则A(0.1)#P(#), #bll2a十b3 E(1.),^.o). 16.(1)解析 由题可知AD-AB+BD=AB+BC=AB+$ ##7-(一##,). #1#(-AB)#-A+A ## ^#-) 。 因为PA'-(-)+(1-)-×+1. .AM-mABAN-AC. #AAN. E1-(2-1)*+(-2)--2+1. 所以PA{}=EFl,故PA-EF. (2)因为p·E-(-)(-1+ (1)(-)0 2-4 当且仅当一时,等号成立。# 所以PAEF,故PAIEF. 所以3n十6n的最小值为4. 14.解析 物体m的位移大小为sl一- (2)证明 由2AO-OB+OC,则 力对物体m所做的功为W,-F·s=|F · |slcos 90{}= 2A0-OA+AB+OA+AC.即 0(]);重力对物体m所做的功为W.-G·s- Gllslcos53{ ×9.80.6-981). A0-(AB+AC). #--A0-(A+ 答案098 15.解析(1)设AB-a,AC-b. #4)-(A+#- A-A+BD-AB+B-AB+(A-AB)- ## ##At44--a+# 所以OE/CB,又E.C.B三点不共线, 所以|AD-A-(2a+b)-4+2×a·b+ 所以OE/BC. #166-933×$0$120+×9-3- 学业评价(十)平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 故AD-③. 7.30 (2)设/DAC-6,则8为向量AD与AC的夹角. 8.证明 设AD-a.AB-b, .A ()# 则DE-A-AD-A-a-b-3. 因为cos0-- ADlAC ③X3 #-AB-##--A-b-3a.# 所以DE-FB,且D,E,F,B四点不共线,所以四边形DEBF 3③ 3③ 是平行四边形。 所以0-90{},即 DAC-90{。 9.C 设鹰的飞行速度为v,鹰在地面上的影子的速度为\,则 学业评价(十一)余弦定理 |一40(m/s),因为鹰的运动方向是与水平方向成30{角向 下,故l 80(ms),故选C. 3 所以2cos A+l=0,所以cos A=-,又AE(0”,180°),所以 有6-3(-)*+.② A-120°. 又0<a<l,于是有<<1, (2)由余弦定理,知a}-b+c^-2beeosA. 又a=2v3.b-2,cosA-- 即有<<1. 学业评价(十二) 所以(2\3)*}-2^*+c-2x2xex(-). 正弦定理 21 化简,得+2-8-0,解得c-2或c--4(舍去). 故-2. 8.解析 (1)sin Bbsin 120*433. 9.D 利用余弦定理得到关于BC长度的方程,解方程即可求得 边长. 所以△ABC有一解。 设AB-c,AC-b.BC-a. (2)sinBbsin 150{=1,所以△ABC无解. 结合余弦定理b^-a+-2accosB可得 19-a+4-2×ax2xcos120*. 即a}+2a-15-0,解得a=3(a--5舍去). D 29 故BC-3.故选D. 所以当B为锐角时,满足sinB-53的B的取值范围为60{ 10.AC 依题意,在△ABC中,B十C=π一A.sin(B十C)= sin(π-A)-sinA,A正确; 0 B<90%: cos(B+C)=cos(r-A)一-cosA,B不正确; 当B为钝角时有90{*}$B{$120^{},也满足A+B{180{。 因为a{}十-,则由余弦定理的推论得 cosC-^+- 所以△ABC有两解。 2b 9. A 由asinA-bsinB-4csinC可得a--4c,又cosA -0,而0<C<n,即有C-吾,则△ABC为直角三角形, 十一& 寸,所以2(+^-)--bc,又a-6= 2fc C正确; 4c^{},所以6-bc,即-6,故选A. 26 10.ABC 对于A,根据余弦定理,可得a^{}一+^-2bcco$A, {C<n,则△ABC为钝角三角形,D不正确. 故A正确; 对于B,根据正弦定理边角互化, 11.解析 由题意,结合余弦定理的推论, 可得asinB-bsinA-ab-ab,故B正确; 对于C,根据正弦定理,得a一bcosC十ccosB 2ac +- 得④co8 B_“ →sin A=sin Bcos C+sin Ccos B= sin(B+C)=sin A,故C 2 )t0 正确: 对于D,根据正弦定理的边角互化可得, sin Acos B+sin Beos C=sin C-sin(A+B)=sin Acos B+ cosAsinB. 即sin Bcos C-cos Asin B. 2- 2 又sinB去0,所以cosC一cosA,当A-C时,等式才能成立 故D不正确。 答案 11.解析 由正弦定理得3sinA-2sinB·sinA. 12.解析 .c-a+b-2abcosC. “sinAzov:sin B- .(③):-+1?-2a×1Xcos 3 又0 B180..'B-60或120{ 答案 .+a-2-0. 60或120 12.解析。 即(a+2)(a-1)-0..,a-1,或a=-2(舍去). 二2R2 ·△ABC的外接圆直径为2R-2. .-1. 答案 ._sBC2+1+4-7. (1)cos C-cos[180*-(A+B)] 13.解析 。 62c 答案7 又·C(0”,180)..C-120* 13.解析 (1)解法一(辅助角法) 由 sin A+3cos -2, 得sinA+gos A-1. (2).a,b是方程x-2③x+2一0的两根。 ./-2v3. 1ab-2. 所以sin(A+哥)-1. '$AB-a+b-2abcos 12o*=(a+b) -ab-10 因为<A<π,所以<A+# .AB-/10. 14.C.b-3.c-4,且△ABC是锐角三角形, #所以A+一,故A一# .cos A-+0 2/c 解法二(同角三角函数的基本关系法) 且. cos C+o,.725. 由sin A+3cosA-2,得/3cos A-2-sinA. 2ab 两边同时平方,得3cos{}A-4-4sinA十sinA. ./7a<5. 则3(1-sinA)-4-4sinA+sinA. 15.解析 (1)由已知得一cos(A+B)+cosAcos B-③sinA· 整理,得1-4sinA+4sinA-0. cosB-0. 即有sinAsin B-3sin Acos B-0.① 因为sinA0,所以sinB-3cosB-0 文cosB0. 当A-吾时,sinA+v3cosA-2成立,符合条件; 当A-时,sinA十3os A-2不成立,不符合条件. (2)由余弦定理,有b-a{}十c-2accosB 一) 因为a十c=1.cosB-.学业评价（十）平面儿何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 [必备知识·基础巩固] A.m/s B.405m/s 3 1.当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为0，两人 C.80 -m/s 用力大小都为F,若|F=G引，则0=() 3 D.号m/s A.30° B.60 10.在△ABC中，设AC-AB=2AM.BC,那么 C.90 D.120° 动点M形成的图形必经过△ABC的 () 2.已知△ABC满足AB=AB.AC+BA·B元+ A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 CA·CB,则△ABC是 ( ) 11.如图，BC,DE是半径为1的圆O的 A.等边三角形 B.锐角三角形 两条直径，BF=2FO,则FD·FE= C.直角三角形 D.钝角三角形 3.河水的流速为5m/s,一艘小船想沿垂直于河岸 12.已知P为△ABC所在平面内一 的方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水 速度大小为 () 点，且满足A户-号A心+号A,则△APB的面 A.13 m/s B.12 m/s 积与△APC的面积之比为 C.17 m/s D.15 m/s 13.如图所示，P是正方形ABCD的 4.在△ABC中，AB=AC=2,点M满足BM+ 对角线BD上一点，四边形PECF 是矩形，求证： 2C=-0,若BC.AM=号，则BC的长为( (1)PA=EF; (2)PA⊥EF. A.1 B是 C.2 D.3 5.已知力F=(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0) 移动到B(一2,3)，则力F对物体所做的功是 : [学科素养·探索创新] 6.一个物体在大小为10N的力F的作用下产生的 位移s的大小为50m,且力F所做的功W= 14.如图所示，在倾斜角为37°(sin37°≈0.6)，高为 250√2J,则F与s的夹角等于 2m的斜面上，质量为5kg的物体m沿斜面下滑， 7.在四边形ABCD中，已知AB=(4,-2),AC= 物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则 斜面对物体m的支持力所做的功为 J,重 (7,4),AD=(3,6),则四边形ABCD的面积是 力所做的功为 J(g=9.8m/s2). 8.已知在平行四边形ABCD中， E,F是对角线AC上的两点， 且AE=FC=子AC.试用向量 37 方法证明四边形DEBF也是平 15.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3, 行四边形 点D在线段BC上，且BD=2DC. 120 求：(1)AD的长； [关键能力·综合提升] (2)∠DAC的大小. 9.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞 行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面 上的影子的速度是40m/s,则鹰的飞行速率为 ( 15 O数学·必修第二册（配RJA版） 学业评价（十一） 余弦定理 [必备知识·基础巩固] [关键能力·综合提升] 1.△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 9.在△ABC中，已知B=120°，AC=√19，AB=2, a=√7，b=3,c=2,则A= ( 则BC= ( A.30 B.45 A.1 B.√2 C.60 D.90° C.5 D.3 2.在△ABC中，已知a-2,则bcos C+ccos B= 10.(多选题)△ABC的内角A,B,C所对的边分别 ( 为a,b,c,对于△ABC,有如下结论，其中正确的 A.1 B.√2 有 () C.2 D.4 A.sin (B+C)=sin A 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,当 B.cos (B++C)=cos A a2+b<c2时，△ABC的形状是 ( C.若a2+b=c2,则△ABC为直角三角形 A.直角三角形 B.锐角三角形 D.若a十b<c2,则△ABC为锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 4.(多选题)在△ABC中，已知A=30°，且3a= 3b=12,则c的值为 若a2=6+,则2cosB- ( A.2 B.4 12.在△ABC中，若b=1,c=5,C=经，则a C.6 D.8 5.在△ABC中，角A,B,C所对的边的长分别为 13.在△ABC中，BC=a,AC=b,且a,b是方程x2 a,b,c.若a=2,B=若c=25,则6 2√3x+2=0的两根，2cos(A+B)=1. 6.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a, (1)求角C的度数： b,c,设向量p=(a十c,b),q=(b-a,c一a),若 (2)求AB的长. p∥q,则C= 7.在△ABC中，AB=3,BC=√13，AC=4,则A= ,AC边上的高为 8.已知A,B,C为△ABC的三个内角，其所对的边 分别为a,b,且2cos3号+cosA=0. [学科素养·探索创新] (1)求角A的大小； 14.在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 (2)若a=2√3，b=2,求c的值. a,b,c,若b=3,c=4,则实数a的取值范围是 A.(1,7) B.(1,5) C.(√7,5) D.(3,5) 15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知cosC+(cosA-√3sinA)cosB=0. (1)求角B的大小； (2)若a十c=1,求b的取值范围. 16