学业评价(十三) 余弦定理、正弦定理应用举例-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册课后案·学业评价（人教A版2019）

(2)由2bsin C=csin 2B,得/2bsin C-2esin Bcos B. 由乙BAC-120{,知 ACB为锐角。 因为0<B<x,所以B一吾. 则cos ACB-27 由- ACB+30*得cosθ-cos( ACB+30}) 所以sin C-sin-sin(+-sincos+cosπ =cos ACBeos 30*-sin ACBsin 30*-21 9.AB 如图所示,在△ABC中,AB=x,BC-3,AC=3. #-#}#### 乙ABC-30*. 3041300 sinA nt# 3 2②. 由余弦定理得,AC}=AB{*}+BC-2AB·BC·cos ABC _n_2sin 即(3)-x”+3-6.xcos 30。 sin sin/A .-3③r+6-0. 解得x-23或x-3. 所以△ABC的周长为a+6+c-2++3②. 10.A 先在△AOB中利用正弦定理求OB-452,再在△BOT 14.C 由正弦定理得-sinAsinC=sin^B,因为B=,所以 中求OT-OBtan30*即可。 依题意,在△AOB中,乙AOB-30{。 sin AsinC-sinB-.由余弦定理得6-a+-2ac· OB 解得OB-45②. OT=OBtan 30*-45v2×3-15V6m.故选A. 2sin Asinc-21in Asinc-.,. sin Avo. sinC>o,所以 11.解析 如图所示,由题意可知 AB=33(km).BC=2(km). ABC -150*. 15.解析 在锐角△ABC中,根据正弦定理,a一2RsinA,b 由余弦定理,得 2RsinB,其中R为外接圆半径. .-2bsin A.',2Rsin A-4Rsin Bsin A. AC*-27+4-2$332×cos150-49 inB AC-7(km).则A.C两地距离为7km. 答案 7 12.解析 由题意知, ACB-80{}+40{}-120{,AC-2($m).$$ AB-3(km),设B船到灯塔的距离为x,即BC-x.由余弦 令y=cos A+sinC-cosA+sin x-(B+A)] 定理可知AB=AC+BC$}-2AC·BC·cos 120*即9-4+$ -cos A+sin(+A) *-2×2xx(-),整理得¥+2x-5-0,解得r- =cos A+ sin-cos A+cos吾sin A -1-6(舍去)或c--1+6 答案 V6-1 #- o A+gin A ({os +sn A) 13.解析 (1)在△ABC中,乙CAB-45*,DBC-75*。 则 ACB-75^*}-45^*}-30”,AB-4(m). -3sin(A+吾). 40 由锐角△ABC知,-B<A<哥. 解得BC-4②(m),即BC的长为42m. (2)在△CBD中.CDB-90*,BC-4②(m). .}#A<# 所以DC-4②sin75*(m). 因为sin75*-sin(45*+30”) .2A+5 -sin 45*cos 30”+cos 45'sin 30*-6+2. .<sin(A+)# 则DC-(2+23)(m). ###nin{A)##寻## 所以CE=ED+DC=1.70+2+23~3.70+3.464~7.16(m). 即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16m. .cos A+sinC的取值范用是(3,). 14.解析 由题意得,在△ABC中. AB-AC-1.5X8-12(km). 在△ACD中,AD-AC=1.5×20-30(km) 学业评价(十三)余弦定理、正弦定理应用举例 设AC-rkm: 1.C 2. D 3.A 4.D 5.32 6. 20(3+3) 7.30 v2 则AB-(12+x)km,AD-(30+x)km. 8.解析 如题图所示,在△ABC中, 在△ABC中cosACB+400-(12+r) AB-40,AC-20. BAC-120*. 2X20Xx 256-24x32-3.x. 由余弦定理知, 40x B$C$-AB*+AC^*-2AB·AC·cos 120*-280$ 5x →BC-20v7(nmile). 在△ACD中cos 乙ACD+1156-(30+)} 2X34Xr BC -256-60.x64-15.x 68x 17x (2 “.B.C,D在一条直线上, 在锐角△ABC中,A=,则B+Cπ-A-2π,所以 .64-15r32-3r. 17x 5x [#<B# 即64-15t3.x-32. #02,# #得<B# 17 解得x-48.即AC-48(km). 5 则<sinB<1, 32 km149 km29km 答案 正确: 15.解析 如图所示,考点为A,检查开始处为B, ACA·CB-CA·CB cos C=abcos C -③x2sin Bco C-2sn eos(2-第-B) -2sin B(-cos B+ sn B) -3 sin B-3sin Bcos B 设检查员行驶到公路上C,D两点之间时收不到信号,即公 路上C,D两点到考点的距离为1km. 在△ABC中,AB=3(km).AC-1(km). -3sin(2B+) 乙ABC=30*. #由于<B二2#2B十+## .乙ACB-120”(乙ACB-60*不合题意). #-<sn(B+)## . BAC-30”...BC-AC=1(km). 在△ACD中,AC=AD=1(km). ACD=60* 于是有一3sin(2B+-)+(0,3). *△ACD为等边三角形...CD-1(km). 60 即CA·CB的取值范围为(0,3),故C正确; 由正弦定理得2R--2,则c-2sinC,所以△ABC周长 '.在BC上需5min,CD上需5min. '.最长需要5min检查员开始收不到信号,并持续至少5min 为a+b+c-3+2sinB+2sinC-3+2sin B+2sin 才算合格. (2-B)-3+3sinB+3cos B-3+2\3sin(B+). 阶段测评(二)[6.4] 1.A 2.C 3.D 4.C 5.A 6. B 7.D #由于<B#以<+2,## 8.C 由题意,在△ABD中,由余弦定理可得, sin(B)<1.于是有③+23sin(B+吾) 2AD.BD 因为乙ADB(0,),所以sinADB= 1-cos乙ADB= (3+3.3③]. #1-()#214# 故八ABC周长的最大值为3③,故D正确,故选ACD 在△ACD中, AD 即c-2c-2-0. 解得c-1+③或c-1-③,因为c>0. 即14 #2#- ACD.,解得 sin ACD. 所以c-1+③. 答案 1③ 12.解析 由正弦定理,3sinA-2sinC→3a-2c, 故选C. 9.BC 在△ABC中,因为a-3.b-4.且 sinC-T5. 2ac 所以b-c,所以B-C. 由三角形的面积公式,可得S△uc--absinC-x3x4x 所以 sin A=sin(x-2B)=sin 2B=2sin Bcos B=2x 315所以A错误; #1#(#)### 2 13.解析 设乙BAC一0.AD为边BC上的中线,有AD 所以B正确; (ABAC). 孩是-2abeos C-9+16-2×3x4×寸-19,可得-一 由余弦定理得 19,所以C正确; 2ac 2×3X119 故可得1AD|=||AB|+|1AC|+|AB| · 以D不正确。 一。 故选BC. lAC·cose. 由余弦定理可得BC-AB+AC*-2ABXACXcos8-9. 正确; 答案。学业评价（十三） 余弦定理、正弦定理应用举例 [必备知识·基础巩固] 6.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A, B,望对岸的标记物C,测得∠CAB=45°， 1.若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的 ∠CBA=75°，AB=120m,则河的宽度为 m. A.东偏北4510'方向上 B.北偏东4550'方向上 C.南偏西4450'方向上 D.西偏南4550'方向上 7.一艘船以每小时15km的速度向正东方向航行，船 在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向上，行驶 2.海上有A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望 4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向 C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛 上，这时船与灯塔间的距离为 km. 成75°的视角，则B,C间的距离是 8.如图，位于A处的信息中 A.10√3 n mile B.106 心获悉：在其正东方向相 3 n mile 距40 n milel的B处有一艘 40 C.5√2 n mile D.5√6 n mile 渔船遇险，在原地等待营 20A 3.如图，D,C,B三点在地面同一水平线上，DC= 救.信息中心立即把消息 100m,从C,D两点测得A点仰角分别是60°， 告知在其南偏西30°、相距 20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东0的方 30°，则A点离地面的高度AB= ( 向沿直线CB前往B处救援，求cos日的值. 30 △60P B A.50√3m B.100√3m C.50m D.100m 4.一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距 10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续 航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方 向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘 [关键能力·综合提升] 船的速度是 ( 9.(多选题)某人向正东方向走了xkm后向右转了 A.5√2海里/时 B.5海里/时 150°，然后沿新方向走了3km,结果距离出发点 恰好√3km,则x的值为 C.10√2海里/时 D.10海里/时 A.√3 B.23 5.如图，线段AB,CD分别表示甲、乙 C.2 D.3 两楼，AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼 10.榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如 顶部A处测得乙楼顶部C处的仰 图，记榴花塔高为OT,测量小组选取与塔底O 角为a=30°，测得乙楼底部D的俯 在同一水平面内的两个测量点A和B,现测得 角为B=60°，已知甲楼高AB= ∠OBA=105°，∠OAB=45°，AB=45m,在点B 24m,则乙楼高CD= 处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为 m. ( 19 O数学·必修第二册（配RJA版） T [学科素养·探索创新] ! 14.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的 南面有三座东西方向的城市B,C,D.已知B,C 两市相距20km,C,D两市相距34km,C市在 B,D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表 震动，8s后B市感到地表震动，20s后D市感 A 到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每 A.15√6m B.152 秒1.5km,则震中A到B,C,D三市的距离分别 2 为 C.456 m D.m 11.某人从A处出发，沿北偏东60°方向行走 3√5km到B处，再沿正东方向行走2km到C B 处，则A,C两地距离为 km. 15.高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在 12.已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔 考点周围1km处不能收到手机信号，检查员抽 的距离为2km,B船在灯塔C北偏西40°处， 查某市一考点，在考点正西√3km有一条北偏东 A,B两船间的距离为3km,则B船到灯塔的距 60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话， 离为 km. 以12km/h的速度沿公路行驶，问最长需要多 13.如图所示，在社会实践中，小 少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多 明观察一棵桃树.他在点A 长时间该考点才算合格？ 处发现桃树顶端点C的仰角 大小为45°，往正前方走4m 地面 后，在点B处发现桃树顶端 点C的仰角大小为75° (1)求BC的长； (2)若小明身高为1.70m,求这棵桃树顶端点C离 地面的高度（精确到0.01m,其中√3≈1.732）. 20