学业评价(十六-十七) 复数的加、减运算及其几何意义 复数的乘、除运算-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册课后案·学业评价（人教A版2019）

学业评价(十六) 复数的加、减运算及其儿何意义 [必备知识·基础巩固 [关键能力·综合提升 1.如下图,在复平面内,复数。,。对应的向量分别 9.(多选题)设复数。的共辄复数为三,1为虚数单位 是OA,OB,则z十= 则下列命题为真命题的是 ( ( ) ) A.z十R B.一三是纯虚数 1B 40 234x D.若-i-1,则z的最大值为2 10.复数z.=1+icos0,z=sin0-i,则lz.-zl的 最大值为 ( ) A.3-2v2 B./2-1 A.1 B.5 C.3+22 D.v2+1 C.2 D.3 11.已知复数 =1十3i,z。=3十i(i为虚数单位) 2.(多选题)下列运算结果为2十4i的是 ( 则在复平面内一。对应的点在第 A.(1+i)+(1-3i) B.(2+i)+(2-3i) 象限. C.(1+ij)-(-1-3i) D.(3+2i)-(1-2i) 12.在复平面内,O是原点,OA,OC,AB对应的复数 3.若-2十i,z。-3+ai(aéR),且z.十z。所对应 分别为-2十1,3+2i,1+5i,那么BC对应的复数 ( 的点在实轴上,则。的值为 为 A.3 B.2 13.设z.=x+2i,z.=3-yi(x,yR),且z.十= C.1 D.-1 5-6i,求z一。. 4.在复平面内的平行四边形ABCD中,AC对应的 复数是6十8i,BD对应的复数是-4十6i,则DA对 应的复数是 ( A.2+14i B.1十7i C.2-14i D.-1-7i [学科素养·探索创新] 5.设复数s满足。十i一3一2i,则;与其共辄复数。 在复平面内对应点间的距离为 14.A,B分别是复数。,z。在复平面内对应的点,0 6.已知一5,且。-2十4i为纯虚数,则复数 是坐标原点,若z十z=z-z。|,则△AOB 一定是 ( A.等腰三角形 7.已知z一4,且z十2i是实数,则复数= B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 15.设O为坐标原点,已知向量OZ,O乙。分别对应 8.已知z.=(3x+y)+(y-4x)i,x=(4y-2x)- 2 (5x+3y)i(x,yR),设z=z-z=13-2i,求 。. (2a-5)i(其中aR),若z十z。可以与任意实 数比较大小. (1)求向量乙乙对应的复数: (2)设Z乙。中点为Z,求l0. 25 ·数学·必修 第二册(配BJA版) 学业评价(十七) 复数的乘、除运算 [必备知识·基础巩固] C.若。为纯虚数,则a一b≠0 D.若 。-il=1,则l的最大值为2 1.复数(1十i)②(2+3i)一 ( - 11.写出一个虚数。,使。^的实部为0,则= A.6-4i B.-6-4i C.6十4i D.-6十4i 12.在复数范围内,把多项式x{十1分解为一次因式 2.(2024·北京卷)若复数z满足-=-1-i,则= 的积:xc十1三 13.已知复数。=1十i,求实数a,b,使ax十2b ( ) (a十2). A.-1-1 B-1+i C.1-i D.1+i 3.若x十-6,z-10,则:等于 ( ) A.1士3i B.3士i C.3十i D.3-i 4.(多选题)已知复数;(去0),是;的共矩复数, 则下列结论正确的是 -. A.若。-,则:R B.若z-1,则z·-1 C.若-R,则:R D.若十-0,则 =0$$ [学科素养·探索创新] 5.设复数-1+/2i,则。-2= 14.据记载,欧拉公式e-cosx十isinx(xER)是 2 由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公式被誉为 7.在复数范围内方程2x*}十3x十4=0的解为 “数学中的天桥”,特别是当x二π时,得到一个 令人着迷的优美恒等式,这个恒等式将数学中 8.计算. 五个重要的数(自然对数的底数e.圆周率x,虚 (1+2i)②+3(1-i) (1)(-1+i)(2+i) 数单位1,自然数的单位1和零元0)联系到了一 ;(2) 2十i 1 起,有些数学家评价它是“最完美的公式”,根据 (3)(1)## 欧拉公式,若复数。三e的共矩复数为三,则 3-2ir 等于 ( ) .## A.i #### C.1十i (1+)*(a+6i)且1z-4,c对应的点在 [关键能力·综合提升] 15.复数一 1-i 第一象限,若复数0,,对应的点是正三角形的 9.已知z-1-2i,且x+a十b=0,其中a,b为实 数,则 三个顶点,求实数a,b的值. _ A.a-1,b--2 Ba=-1,b-2 C.a-1,b-2 D.a=-1,b--2 10.(多选题)已知;一a十bi(a,bER)为复数,:是。 的共辄复数,则下列命题一定正确的是 ( A.·:-l* B.若一R,则R 26@ 11.解析由条件知m十2m3≠0m=3, 1m2-9=0, .z1十2=x+3+(2-y)i=5-6i, x=12i,.z=12. 答案12 生解析中 ÷任-66年得二： y=8, 12.解析设z=x十yi(x,y∈R),依题意可知x十y=0,所以 ∴1=2+2i,2=3-8i, |x|=√+y=2|x|∈(1,2)， .g1-32=(2+2i)-(3-8i)=一1+10i. 即∈（停），可取满足该条件的复鼓即可，比如 14.B根据复数加（减）法的几何意义，可知以OA,OB为邻边所 作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故 1-i : △AOB为直角三角形. 答案1一i(答案不唯一) 13.解析复数x=(m2一4m)十(m2一m一6)i,对应点的坐标为 15.解桥（1)十名=（是+己）+(d-10+2a-5)i= Z(m2一4m,m2一m一6). (1)由点乙在第三象限，则{m-4m<0, 45++a-15m m2一m-6<0 :1十可与任意实数比较大小， 将释23.所以0m<3 21十21为实数， :0士a-5≠0解得a=3, (2)由点Z在虚轴上，则m一4m=0, 1a2+2a-15=0 解得m=0或m=4.所以m=0或m=4. 3 14.解析依题意可设复数x=a十2ai(a∈R), 六=g-i=-1+i 由z=√5，得a+4a=√5， “向量Z乙对应的复数为 解得a=士1，故z=1十2i或z=一1一2i. 答案1+2i或一1一2i -1+0-(g-)-号+2i 15.解桥)因为=5+i,=一+号. (2)Z1Z:的中点Z对应的复数为 -1+D+(餐- 5 所以|名|=√/(W3)2+12=2, z= 2 16 1(-)+(=1. 1应=√（-)+0=最 所以名>. 学业评价（十七）复数的乘、除运算 (2)由2≤z≤11，得1≤1z≤2， 根据复数几何意义可知|z表示复数Σ对应的点到原点的 1.D2.C3.B4.AB5.-36.3+2i7.-3±2i 距离， 所以|x|≥1表示|x=1所表示的围及其外部所有点组成的 8.解析 （1)-1+02+2=-3+i--1-3i. 集合， |x|≤2表示|z|=2所表示的圆及其内部所有点组成的 (2)1+2+31-D 集合， 2+i 所以满足条件的点Z的集合是以原，点O为圆心，以1和2为半 -3+4i+3-3i 径的两圈之间的圆环（包括两边界）. 2+i =2+1 学业评价（十六）复数的加、减运算及其几何意义 1.B2.CD3.D4.D5.66.2±i7.±2W3-2i -2=+ 5 8.解析x=1一 =(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i] 3(告)++ 5-√②i =[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i =(5x-3y)+(x+4y)i, 「+D7‘+i3-m 又x=13-2i,且x,y∈R, √5-√2i ::解得2 =的+i=-1+i 1y=-1, 9.A由题设，x=1-2i,x=1+2i,所以a+b+1+(2a-2)i=0, .g1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i, 故a=1,b=一2，选择A. 2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]1 10.ABD根据共轭复数的定义、复数的运算、复数的定义和复 ■-8-7i. 数模的三角不等式计算求解后判断各选项。 9.AD因为复数z与其共轭复数乏的实部相等，虚部互为相反 数，所以之十ER,A为真命题： 对于A,z·z=(a十bi)(a-bi)=a2+b=|z2,所以A正确： 当z为实数时，乏也为实数，则z一是实数，B为假命题： 对于B,1=1 a-bi b 若z=cos至+isim3红 a+bi (a+bi)(a-bi)a ai. 5 5 因为上∈R,所以b=0,从而x∈R,所以B正确； 则1√os号+sin1,C为饭今题： 对于C,x”=(a十bi)2=(a2一b)+2abi为纯虚数，所以 1x一i=1表示以点(0,1)为圈心，1为半径的圆，结合图形（图 略)知，z的最大值为圆心到原点的距离与半径之和，即为 (口2，-=0，即a=土b≠0，所以C错误： 2ab≠0， 1十1=2，D为真命题. 对于D,由复数模的三角不等式可得引z=|(x一)十i≤|z一i十 10.D |z1-|=|(1+icos0)-(sin0-iD i=2,所以D正确.故选A,B,D. =√(1-sin0)+(1+cos0) 11.解析设复数x=a十i,(b≠0)，则x2=a2-b+2abi,使2 =√3-2(sin0-cos0仍 的实部为0，得a=士b,即可得解. 设复数x=a+i,(b≠0)，则x=a2-6+2abi, =√3-2Esm(0-)</3+2i=+1. 因为22的实部为0，所以a2-6=0,即a=士b, 11.解析 因为一2=一2十21，所以对应点（一2,2）在第二 所以答策可为1一i或1十i. 象限 答案1一i或1十i(答案不唯一，凡符合a十ai或a一ai(a∈R 答案 且a≠0)形式的均正确) 12.解析BC-O元-O成=O元-(OA+AB 12.解析x2+1=x2一2=(x一i)(x+i). =3+2i-(-2+i+1+5i) 答案(x一iD(x十iD =(3+2-1)+(2-1-5)i=4-4i. 13.解析因为x=1+i,所以az十2bz=(a十2b)十(a一2b)i, 答案4一4i (a+2x)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.因 52 为a,b都是实数，所以由ae十2b=(a+2z)产，得 11.解析 -2-=-29+ 2i(1+i) 但十动-d.解得a=-2或a=-4,对应得6=-1或 1-i 1-i 2i(1+i) =-i(1十i)=1-i,所以它的虚部为一1. b=2,所以所求实数为a=-2,b=-1或a=-4,b=2. 2 14.A欧拉公式e=cosx十isin x(x∈R), 答案 -1 12.解析 根据题意可得z=m十2+(m十3)i(m∈R), 因为x为纯虚数，所以m十2=0且m十3≠0，得m=一2， 2 则z=i,z=一i,所以x的虚部为一1. 根据共轭复数定义可知：=一-马. 答案一2一1 22 13.解析由实系数的一元二次方程的虚根成对出现， 可得实系数一元二次方程x十p江十q=0的两个虚根分别为 15.解析=1+D:1+D(a十b0 -4十3i,-4-3i, 1-i 则一4十3i十（一4一3i)=一p,故p=8. =2i·i(a+bi)=-2a-2bi 答案8 由x=4,得a2+6=4,① 复数0，，z对应的点构成正三角形， 14解折由复数的选第法，可得二号昌二昌 |x-=|z. 把x=一2a一2bi代入化简得|b=1.② 又x对应的点在第一象限，.a<0,b<0. 根据三个式子的结构特征厦上式的计算结果，可以得到编 由①②得a=一5， =i, b=-1. 证明如下： 故所求值为a=一√3，b=一1. 阶段测评（三）[7.1一7.2] 由会-名+器-a++D-g+=i (b-ai)(6+ai) a+8 a+8 1.A2.B3.C4.D5.B6.A7.B 答案i a十i=i b-ai 8.C由e“=cosx+isin, 可得c=cos乏十isin受=i,是统虚数，故A错误： 15特折0-中-3二3p-1 -3i. e=cos1+isin1,对应的，点的坐标为(cos1,sin1),位于第一 象限，故B错误： (2)由题意得OA=(-1,一3)，OB=(2,-1), e-sin x++icos x=cos a+isin x-sin x+icosx=(cosx- 则AB=OB-OA=(3,2), sinx)十(cosx十sinx)i, 所以向量AB对应的复数为3十2i, ,.|e"-sinx十icos zl 16.解析(1)由复数x=(m2十5m一6)十(m一1)i,m∈R是纯 =(cos r-sin r)+(cos z+sin x)il 虚数， =√(cosx-sinx)十(cosx十sinx)=√2，故C正确： 可得（计090解得=-6 e-√3-i=(cosx-√3)+(sinx-1)i, (2)当m=2时，复数=8+i, .le"-√3-il=|(cosx-√3)+(sinx-1)il 由复数满足w一。=1可知，u一(8十i》=1, =V(cos-3)+(sin z-1)2 即复数四所对应的点在以(8,1)为圆心，半径为1的圆上， 故|w的最大值为√8+1下+1=√65+1. =√cosx+sim'x+4-2sinx-2√3cosx 学业评价（十八）棱柱、棱锥、棱台 1.D2.B3.B4.AC5.①③④⑥⑤6.四棱柱7.北 8.解析(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧而也是 平行四边形的四棱柱， =√5-4sim(x+)小， (2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底，其余的三角形面是 ∴Ie-√3-i的最大值为3，故D错误.故选C 侧面. (3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余 9.AD因为二2=2+i,所以1-2互=2+i, 三个梯形面是侧面。 -2i -21-D=-2i+2登=-1-1，的虚部为 9.D由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角 所以x=1+Q+D1一D 均为60°，如果是六棱锥，因为6X60°=360°，所以顶，点会在底 2 面上，因此不是六被锥， 一1，故A正确： 10.ABDA项，由棱柱的定义知A正确：B项，由四个平面围成 z=√(-1)+(-1)7=√2，故B错误； 的封闭图形是四面体，也就是三棱单，故B正确；C项，如图 x在复平面内对应的点的坐标为（一1，一1），在第三象限，故C (1),四棱锥被△ACP所在的平面戴成的两部分都是棱锥，故 错误； C错误：D项，如图(2)，在长方体ABCD-A,B,CD1中取四 因为x2=(一1一)2=1十2i+=2i,所以z=(x2)3=(2i)3= 棱锥A1-ABCD,则此四棱维的四个侧面都是直角三角形， 一8i,故D正确.故选AD. 故D正确. 10.ACDA选项：复平面内表示复数x=一1+2i的点（一1,2） 位于第二象限，故A正确； B选项：若=i,则z2=一1∈R,但xR,故B错误： C选项：若复数之=a十i(a,b∈R),则a=0且b≠0时z为纯 虚数，故C正确； D选项：根据复数加法的几何意义可知，设g=a十i(a,b∈R), 则1z+√3-il=|(a+3)+(b-1)il=√(a+3)+(b-1) =1, 图(1) 图(2) 所以(a+√3)2+(b-1)2=1, 面效最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9 所以复数z对应的点(a,b)的集合为圆心为（一√3,1），半径 条校 为1的圆， 答案569 12.解析该校柱为五被柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等， 所以z|m=√(-√3)2+12+1=3，故D正确. ,,每条侧棱长为12cm. 故选ACD. 答案12 53