学业评价(十二) 正弦定理-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册课后案·学业评价（人教A版2019）

⑧ 所以2c0sA+1=0,所以c0sA=-2,又A∈(0,180)，所以 有-3(。-吉）厂+大@ A=120° (2)由余弦定理，知a=十c2-2 bccos A. 又0Ka<1,于是有<6<1， 又a=23,b=2,cosA=-2, 南有号<C 所以(2=2+-2X2Xex(-） 学业评价（十二）正弦定理 化简，得c2+2一8=0，解得c=2或c=一4（舍去）. 上B2.C8B4C5直角6经2.需器 13 故c=2. 9.D利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得 8.解析1)sinB=6sin120=4×5<5, 5 22 边长， 所以△ABC有一解. 设AB=c,AC=b,BC=a. 结合余弦定理b=a2十c2一2 accos B可得 (2)sinB=sin150=1,所以△ABC无解. 19=a2+4-2×a×2×c0s120°. 即a+2a-15=0,解得a=3(a=一5舍去)， 6咖他-吕×9-556号<1 9291 故BC=3.故选D. 10.AC依题意，在△ABC中，B+C=r一A.sin(B+C)= 所以当B为锐角时，满足simB=5y5的B的取值范因为60°< 9 sin(π一A)=snA,A正确： B<90: c0s(B十C)=c0s(π-A)=-co5A,B不正确： 当B为钝角时有90°<B<120°，也满足A十B<180°. 国为a+-2,则由余弦定理的推论得cosC=。+公-d 所以△ABC有两解. 2ab :9.A由asin A-bsin B=4 esin C可得a2-b=4c2,又cosA= 而0<C,即有C=,则△ABC为直角三角移， b+c-a =一 1 2bc ,所以2(B+2-a)=-bc,又a2-B= C正确： 因为a+6<2,则csC=0十5一c<0,而0<C<,即有 4c2,所以6c2=bc,脚么=6，故选A 2ab 10,ABC对于A,根据余孩定理，可得a2=b+c2一2cosA, 乏<C<,则△ABC为纯角三角形，D不正确. 故A正确： 对于B,根据正弦定理边角互化， 11.解析由题意，结合余弦定理的推论， 可得asin B=bsin A白ab=ab,故B正确： 得0sBaX4+-6 对于C,根据正弦定理，得a=beos C十cosB 2ac_d2+2-6 sin A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin (B+C)=sin A,C 2e2 正确； 又d=6+d2-8=, 对于D,根据正弦定理的边角互化可得， sin Acos B+sin Beos C=sin C=sin (A+B)=sin Acos B+ cos Asin B. .acos Bt5 Ep sin Bcos C=cos Asin B, 2e2 20-8 又snB≠0，所以cosC=cosA,当A=C时，等式才能成立， 故D不正确. 答案 11.解析由正弦定理得√3sinA=2sinB·sinA. 12.解析：2=a+-2 abeos C, (3)2=a2+1-2a×1×cos 2π “snA≠0，smB-g 又0<B<180°..B=60°或120° .a+a-2=0, 答案60或120° 即(a十2)(a-1)=0,.a=1,或a=-2(舍去). 12.解析：△ABC的外接圆直径为2R=2, a=1. 六AhBC=2R=2. b 答案1 13.解析(1)cosC=cos[180°-(A+B)] =-cos(A+B)=一2 1 入+2hB+品c=2+1+4=7. 答案7 又C∈(0°，180)，∴.C=120 13.解析(1)解法一（辅助角法） (2):a,b是方程x2-2√3.x+2=0的两根， 由s5nA+cosA-2,得号nA+sA-1, 22 所以sim(A+琴)=1. ∴.AB=a2+b-2 abcos120°=(a+b)-ab=10. .AB=V10. 因为0KA<,所以晋<A十晋<号， 14.C,b=3,c=4,且△ABC是锐角三角形， .cosA=0 所以A+-受，A=吾 解法二（同角三角函数的基本关系法） 且0sC=2+C>0,7<a<25. 由sinA+√3cosA=2,得3cosA=2-sinA, 2ab 两边同时平方，得3cosA=4一4sinA十sinA, w7<a<5. 则3(1-sinA)=4-4sinA十sinA, 15.解析(1)由已知得一cos(A+B)+cos Acos B一√3sinA· 整理，得1-4sinA十4sinA=0, cos B=0. 所以1-2 sinA=0,则snA- 即有sin Asin B-√3 sin Acos B=0.① 因为sinA≠0，所以sinB一√3cosB=0. 因为0KA<,所以A=若或A=餐 义cosB≠0， 所以mB=瓦.又0<B<x,所以B= 当A=时，sinA十V3c0sA=2成立，符合条件： (2)由余弦定里，有=a2+c2-24 ccos B. 当A=时，simA+0sA=2不成立，不符合条件. 国为a+e=l,osB=之 故A=后 48 (2)由2 bsin C=esin2B,得√2 bsin C=2 csin Bcos B. 由显货定理，得c=2oB,片以csB-号。 sin∠ACB=4 BC ·sin∠BAC=2I 由∠BAC=120°，知∠ACB为锐角， 因为0<B<,所以B=开 尉os∠ACB=2 7 C=有-A+B=登】 由0=∠ACB+30°，得cos0=cos(∠ACB+30) 所以inC=m=sin(+)=m音cos+om =cos∠ACBeos30°-sin∠ACBsin30°=y2 14 9.AB如图所示，在△ABC中，AB=x,BC=3,AC=3, 元=B×2+1×26+2 sin ∠ABC=30°， =22+2×2 4 in A sin Bsin C·得b=asmB 由正孩定理 2sin 4 3050 sin A sin6 22 由余弦定理得，AC=AB+BC一2AB·BC·cos∠ABC, 7π e=asin C 2sin 即(3)=x+3-6.xcos30°， sin A n音 =6+2 .x-33x十6=0. 解得x=25或x=3. 所以△ABC的周长为a+b十c=2+√6十32. :10.A先在△AOB中利用正弦定理求OB=452,再在△B0T 14.C由正孩定理得号sin Asin C-=simB,因为B=号，所以 中求OT=OBtan30°即可. 依题意，在△AOB中，∠AOB=30°， sin Asin C-号sinB=号，由余弦定理得8=d2+2-2ac… AB OB OB 2 OB sin/OAB脚m37 osB=a+-ar=号ac,所以a2+2=ac,所以nA+ 9 解得OB=452. sinC=号sinAsin C.所以(sinA+sinC)=sinA+sinC+ 在△0T中.8 =tan∠OBT=tan30°，即 2 sin Asin C=4 inAsin C=子又snA>0,sinC>0,所以 0T=0Ban30=452×5-156m.故选A. 3 11.解析如图所示，由题意可知 北 血A+血C- AB=33 (km),BC=2 (km).ABC 60 =150°. 15,解析在锐角△ABC中，根据正弦定理，a=2 Rsin A,b= 由余弦定理，得 2 Rsin B,其中R为外接阅半径. .a=2bsin A...2Rsin A-4Rsin Bsin A. AC=27+4-2×33×2×c0s150°=49. AC=7(km).则A,C两地距离为7km. imB=号 答案7 12.解析由题意知，∠ACB=80°+40°=120°，AC=2(km), :B为锐角心B=晋 AB=3(km),设B船到灯塔的距离为x,即BC=x,由余弦 y=cos A+sin C=cos A+sin-(B+A) 定理可知AB=AC十BC-2AC·BC·c0s120°，即9=4+ -cos A+sin(+A) x-2X2x×（-号），整理得2+2红-5=0，解得x -1一√6（会去）或x=一1十6. =cos A+sin cos A+cossin A 答案√6一1 : 2 cos A+3 3 13.解析(1)在△ABC中，∠CAB=45°，∠DBC=75°， nA=(停sA+snA） 则∠ACB=75°-45°=30°，AB=4(m), BC 由正孩定理，得n行sim30 4 -3sim(a+号) 解得BC=4√2(m),即BC的长为4√2m. 由锐角△ABC知，吾-B<A<交， (2)在△CBD中.∠CDB=90°，BC=4√2(m), <A<登 所以DC=42sin75(m). 因为sin75°=sin(45°+30°)】 <A+<要 -sin 45'cos 30"+cos 45'sin 30 4 <m(a+号)号， 则DC=(2+2√3)(m). 所以CE=ED+DC=1.70+2+23≈3.70+3.464≈7.16(m). 即这棵桃树顶端点C离地而的高度为7.16m. 14.解析由题意得，在△ABC中， osA+mC的取值范因是（停，号）厂 AB-AC=1.5×8=12(km). 在△ACD中，AD-AC=1.5×20=30(km). 学业评价（十三）余弦定理、正弦定理应用举例 设AC=xkm, 1.C2.D3.A4.D5.326.20(3+3)7.302 则AB=(12+x)km,AD=(30十x)km. 8.解析如题图所示，在△ABC中， 在△ABC中，eos∠ACB=+400-(12+x) AB=40,AC=20,∠BAC=120°. 2×20×x 由余弦定理知， =256-24z=32-3x BC=AB+AC-2AB·AC·c0s120°=2800 40x 5. >BC=20√7(n mile). 在△ACD中，0s∠ACD=+1156-(30+x 2X34×x 由正黛定现，得CBnC BC -256-60z=64-15x 68x 17x· 49学业评价(十二) 正弦定理 [必备知识·基础巩固] (2)a-7,b-14,A-150* 1.在△ABC中,若A-60*,B-45^*,BC=3、\②,则$ AC- ( ) A.4③ B.23 # C.③ 2.在△ABC,a-15,b-10.A-45^*,则 cos B=( #A.#7# B.22 C7 D7# (3)a-9,b-10,A-60* 3.在△ABC中,a=bsinA,则△ABC一定是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.在△ABC中,A-60*},a=4③,-4v/②,则 A.B-45*或135” B.B-135* C.B-45* D.以上答案都不对 5.在△ABC中,若(sinA十sinB)(sin A-sinB)= sinC,则△ABC是 三角形 6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 bsinA十acos B-0,则B- . 7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 cosA- cosC 13,a-1,则sinB- b= [关键能力·综合提升] 8.不解三角形,判断下列三角形解的个数 9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 (1)a-5,b-4,A-120*; asin A-bsin B=4csin C,cos A--1 C ) A.6 B.5 C.4 D.3 10.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,则下列等式恒成立的是 ( ) A.a-b2+c2-2bccosA B. asin B-bsin A C. a-bcos C十ccos B D. acos B+bcos C-c 11.在△ABC中,若、/3a=2bsinA,则B= 12.在单位圆上有三点A.B,C,设△ABC三边长分别 ·数学·必修 第二册(配RJA版) 13.(2024·新课标II卷)记△ABC的内角A,B,C [学科素养·探索创新] 的对边分别为a,b,c,已知sinA十3cosA=2. (1)求A; 14.(2024·全国甲卷·理)在△ABC中,内角 (2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC的 周长. ( #.2 B##31 15.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且a=2bsinA,求cosA十sinC的取 值范围. 18