学业评价(十八) 棱柱、棱锥、棱台-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册课后案·学业评价（人教A版2019）

学业评价（十八） 棱柱、棱锥、棱台 7.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为 [必备知识·基础巩固] 上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱 1.下列几何体中棱柱有 将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的 平面图形，则标“△”的面的方位是 上东 8.根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的 4 名称： A.5个 B.4个 (1)由6个平行四边形围成的几何体； C.3个 D.2个 (2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余 2.有两个面平行的多面体不可能是 6个面都是有一个公共顶点的三角形； A.棱柱 B.棱锥 (3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是 C.棱台 D.以上都错 相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯 3.设集合M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直 : 形的腰延长后能相交于一点. 四棱柱}，Q=(正方体〉，则这四个集合之间的关 系是 ( A.PNMQ B.Q年MN￥P C.P车M军NQ D.QN军M军P 4.（多选题)下列选项中，正确的是 A.棱锥的各个侧面都是三角形 B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由 这些面围成的几何体是棱锥 C.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D.棱锥的各侧棱长相等 5.下列几何体中， 是棱柱， 是棱锥， 是棱台（仅填相应序号）. ④ ⑤ ⑥ 6.如图，将装有水的长方体水槽固定底 面一边后将水槽倾斜一个小角度，则 倾斜后水槽中的水形成的几何体的 形状是 29 O数学·必修第二册（配RJA版） [关键能力·综合提升] [学科素养·探索创新门 9.一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥一定：14.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=VC=4, 不是 ( ) ∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°，过点A作截面 A.三棱锥 B.四棱锥 AEF,则△AEF周长的最小值为 C.五棱锥 D.六棱锥 10.(多选题)下列说法正确的是 ( A.在棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B.由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 C.棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 D.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可 能有4个 15.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD- 11.一个棱台至少有 个面，面数最少的棱 ! A,B,CD1容器中灌进一些水，将容器底面一边 台有 个顶点，有 条棱。 BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度 12.一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为 的不同，水的形状形成如下图(1)(2)(3)三种形 60cm,则每条侧棱长为 状（阴影部分）.请你说出这三种形状分别是什 cm. 13.如图，在正方形ABCD中， 么名称，并指出其底面. D D E,F分别为AB,BC的中 点，现在沿DE,DF及EF把 △ADE,△CDF和△BEF折 起，使A,B,C三点重合，重 E 合后的点记为P. (2 (3) 问：(1)依据题意知该几何体是什么几何体？ (2)这个几何体有几个面构成，每个面的三角形 是什么三角形？ 30为a,b都是实数，所以由ae十2b=(a+2z)产，得 11.解析 -2-=-29+ 2i(1+i) 但十动-d.解得a=-2或a=-4,对应得6=-1或 1-i 1-i 2i(1+i) =-i(1十i)=1-i,所以它的虚部为一1. b=2,所以所求实数为a=-2,b=-1或a=-4,b=2. 2 14.A欧拉公式e=cosx十isin x(x∈R), 答案 -1 12.解析 根据题意可得z=m十2+(m十3)i(m∈R), 因为x为纯虚数，所以m十2=0且m十3≠0，得m=一2， 2 则z=i,z=一i,所以x的虚部为一1. 根据共轭复数定义可知：=一-马. 答案一2一1 22 13.解析由实系数的一元二次方程的虚根成对出现， 可得实系数一元二次方程x十p江十q=0的两个虚根分别为 15.解析=1+D:1+D(a十b0 -4十3i,-4-3i, 1-i 则一4十3i十（一4一3i)=一p,故p=8. =2i·i(a+bi)=-2a-2bi 答案8 由x=4,得a2+6=4,① 复数0，，z对应的点构成正三角形， 14解折由复数的选第法，可得二号昌二昌 |x-=|z. 把x=一2a一2bi代入化简得|b=1.② 又x对应的点在第一象限，.a<0,b<0. 根据三个式子的结构特征厦上式的计算结果，可以得到编 由①②得a=一5， =i, b=-1. 证明如下： 故所求值为a=一√3，b=一1. 阶段测评（三）[7.1一7.2] 由会-名+器-a++D-g+=i (b-ai)(6+ai) a+8 a+8 1.A2.B3.C4.D5.B6.A7.B 答案i a十i=i b-ai 8.C由e“=cosx+isin, 可得c=cos乏十isin受=i,是统虚数，故A错误： 15特折0-中-3二3p-1 -3i. e=cos1+isin1,对应的，点的坐标为(cos1,sin1),位于第一 象限，故B错误： (2)由题意得OA=(-1,一3)，OB=(2,-1), e-sin x++icos x=cos a+isin x-sin x+icosx=(cosx- 则AB=OB-OA=(3,2), sinx)十(cosx十sinx)i, 所以向量AB对应的复数为3十2i, ,.|e"-sinx十icos zl 16.解析(1)由复数x=(m2十5m一6)十(m一1)i,m∈R是纯 =(cos r-sin r)+(cos z+sin x)il 虚数， =√(cosx-sinx)十(cosx十sinx)=√2，故C正确： 可得（计090解得=-6 e-√3-i=(cosx-√3)+(sinx-1)i, (2)当m=2时，复数=8+i, .le"-√3-il=|(cosx-√3)+(sinx-1)il 由复数满足w一。=1可知，u一(8十i》=1, =V(cos-3)+(sin z-1)2 即复数四所对应的点在以(8,1)为圆心，半径为1的圆上， 故|w的最大值为√8+1下+1=√65+1. =√cosx+sim'x+4-2sinx-2√3cosx 学业评价（十八）棱柱、棱锥、棱台 1.D2.B3.B4.AC5.①③④⑥⑤6.四棱柱7.北 8.解析(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧而也是 平行四边形的四棱柱， =√5-4sim(x+)小， (2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底，其余的三角形面是 ∴Ie-√3-i的最大值为3，故D错误.故选C 侧面. (3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余 9.AD因为二2=2+i,所以1-2互=2+i, 三个梯形面是侧面。 -2i -21-D=-2i+2登=-1-1，的虚部为 9.D由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角 所以x=1+Q+D1一D 均为60°，如果是六棱锥，因为6X60°=360°，所以顶，点会在底 2 面上，因此不是六被锥， 一1，故A正确： 10.ABDA项，由棱柱的定义知A正确：B项，由四个平面围成 z=√(-1)+(-1)7=√2，故B错误； 的封闭图形是四面体，也就是三棱单，故B正确；C项，如图 x在复平面内对应的点的坐标为（一1，一1），在第三象限，故C (1),四棱锥被△ACP所在的平面戴成的两部分都是棱锥，故 错误； C错误：D项，如图(2)，在长方体ABCD-A,B,CD1中取四 因为x2=(一1一)2=1十2i+=2i,所以z=(x2)3=(2i)3= 棱锥A1-ABCD,则此四棱维的四个侧面都是直角三角形， 一8i,故D正确.故选AD. 故D正确. 10.ACDA选项：复平面内表示复数x=一1+2i的点（一1,2） 位于第二象限，故A正确； B选项：若=i,则z2=一1∈R,但xR,故B错误： C选项：若复数之=a十i(a,b∈R),则a=0且b≠0时z为纯 虚数，故C正确； D选项：根据复数加法的几何意义可知，设g=a十i(a,b∈R), 则1z+√3-il=|(a+3)+(b-1)il=√(a+3)+(b-1) =1, 图(1) 图(2) 所以(a+√3)2+(b-1)2=1, 面效最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9 所以复数z对应的点(a,b)的集合为圆心为（一√3,1），半径 条校 为1的圆， 答案569 12.解析该校柱为五被柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等， 所以z|m=√(-√3)2+12+1=3，故D正确. ,,每条侧棱长为12cm. 故选ACD. 答案12 53 @ 13.解析(1)三校维. (2)这个几何体由四个面构成，即面DEF,面DFP,面DEP, ∴A,B,=号·2r=x对=10x(cm. 面EFP.由平面几何体知识可知DE=DF,∠DPE=∠EPF 过点Q作QS⊥AA:于点S, =∠DPF=90°，所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△DEP 在Rt△PQS中，PS=80-40-30=10(cm), 为直角三角形，△EFP为等腰直角三角形， 14.解析将三枝锥沿侧枚VA剪开，并将其侧面展开平铺在一 QS=A1B1=10π(cm). 个平面上，如图，线段AA,的长即为所求△AEF周长的最 ∴.PQ=√Ps+QS=10√R+1(cm. 小值. 即妈蚁爬过的最短路径长是10√π+1cm 14.AD一个圆柱挖去一个圆维后，剩下的几何体被一个整直 的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廉 是三角形除去一条边或抛物线的一部分， 15.解析(1)圃维S0的底面半径R=5,高H=12, ∴.圆维S0的母线长l=√日十R=13. (2)作出圆维、圆柱的轴截面如图所示， '∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°， '.∠AVA1=90. 又VA=VA1=4,.AA1=4√2 ',△AEF周长的最小值为4√2 答案4√2 15.解析(1)是四枚柱，底面是四边形EFGH和四边形AB- CD:(2)是四校柱，底面是四边形ABFE和四边形DCGH: (3)是三棱柱，底面是△EBF和△HCG. 0 学业评价（十九）圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体 其中SO=12,OA=OB=5,OO=h(0<h<12) 1D2B3c4B5.②06,2E1,9 设圆底面半径为，则号-， 12 8.解析如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴戴 面，设圆台的高为hcm,裁得该圆台的圆锥 即，=5(12-h) 12 的母线为xcm,由条件可得圆台上底半径r= 2cm,下底半径r-5cm. 设国桂00的轴藏西面积为S,则S=2·h=名（12h-) (1)由勾段定理，得h=√12-(5-2)=3√15 (cm). ②南三角形相似，得-号，解得x=20 -号[-h-6+36]0<A<12. ∴.当h=6时，S有最大值，最大值为30. x (cm). 学业评价（二十）立体图形的直观图 即圈台的高为3√百cm,载得此圆台的固锥的母线长为 1.ACD2.A3.D4.A5.46.227.矩形8 20cm, 8.解析(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E,如图①所示，画出对 9.C如图所示，设底面半径为r,若矩形的长8恰好为卷成圈柱 应的x轴、y轴，使∠xOy'=45°，如图②所示. 底面的周长，则2π=8，所以r三：同理，若矩形的宽4恰好 y 为卷成圆柱的底面周长，则2=4，所以r=名.所以选C D y D'/ D C C BEx0”B' 10.A国为圆雏的侧面展开图是直径为a的半圆面，所以國锥 图① 图② 图③ 的底面国的直径为号，母线长也为受，所以此圆维的轴栽面 (2)如图②所示，在x'轴上取点B',E,使得OB=OB,OE= 是等边三角形. OE:在y轴上取一点D,使得OD'=之0D:过E作EC∥y轴，使 11.解析设圆台的高为h, 则h=√(3√/10)2-(5-2)2=9， EC-EC. 轴我面面积5=24+10)×9=63. (3)连接B'C',CD',并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线， 如图③所示，四边形OB'CD'就是所求的直观图」 答案63 12.解析由题意知△ACD1是等边三角形，球与三边的中点都 9.D过点B作B'C∥y抽，交x轴于点C',如图， 相切，平面ACD1截球O所得的戴面即为△ACD1的内切 国，三角形的边长为厄，所以内切圈的半径r=是X× B 31 2 巨=侣，所以围的面软为行 0'C A 答案日 在△0B'C中，∠B'0C'=30°，∠B'C'0=135°，0B'=2, O'B' 13.解析将圆柱侧面沿母线AA,展开，得如图所示矩形 由正弦定理得B'C sin 30 sin 135' A B A 于是得B'C'= 2以立- 故在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是2√2，故选D. 10.B如图所示，过△OB'C的顶点C',作CD'∥y轴，CA'⊥ x轴， 54