学业评价(三-四) 向量的减法运算 向量的数乘运算-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册课后案·学业评价（人教A版2019）

学业评价(三) 向量的减法运算 10.(多选题)若a,b为非零向量,则下列命题正确 [必备知识·基础巩固] 的是 1.在平行四边形ABCD中,AB+CB-DC= A.若lal十lbl-a十bl,则a与b方向相同 A.BC B.AC B.若lal+b=a-b,则a与b方向相反 C.D D.BD C.若al+b=a-b,则la=b D.若la-b=a-bl,则a与b方向相同 2.在边长为1的正三角形ABC中,AB-BC= $1.在△ABC中,|AB|=|B[C|=|CA|=1,则 ) 7 AB-BCl-_. A.1 B.2 C# 12.已知lOA|-a,OB|-b(a→),AB|的取值范 D.3 围是[5,15],则a= 3.点D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中 13.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,AB=a 点,则AF-DB等于 AD-b.求: ( ) A.FD B.FC C.FE D. 4.(多选题)下列式子中正确的有 。_ _ A.a-0-a B.a-b--(b-a) (1)当a,b满足什么条件时,a十b与a一b垂直; C.AB+BA0 D.AC-DC+AB+BD (2)当a,b满足什么条件时,la十bl-a-bl. 5.若a,b为相反向量,且lal=1,b|=1,则la+b ,a-b= 6.在△ABC中,D是BC的中点,设AB-c,AC-b. BD-a,AD-d,则a-a- ,d十a= 7.如图,在梯形ABCD中,AD/ BC,AC与BD交于O点,则 B-B-OA+OD+DA- [学科素养·探索创新] 14.已知非零向量a,b满足al=b=a-bl,则 [关键能力·综合提升] la十bl la-b 8.已知非零向量a,b,c,如图所示, 15.已知△ABC是等腰直角三角形,ACB-90*, 作出向量: M是斜边AB的中点,CM-a,CA-b. (1)a-b+c; (2)a-b-c. 求证:(1)la-bl-lal; (2)la+(a-b)|-|bl. 9.在平面上有A,B,C三个不同的点,设m=AB+ BC,n-AB-BC,若m与n的长度恰好相等,则 有 ( ) A.A,B,C三点必在一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形且 B为顶角 C.△ABC必为直角三角形且B为直角 D.△ABC必为等腰直角三角形 5 ·数学·必修 第二册(配RJA版) 学业评价(四) 向量的数乘运算 10.如图,在平行四边形ABCD [必备知识·基础巩固 中,点E为BC的中点; 1.1[1(a+$b)-(4a-2b)]- EF-2FD,若AF-AB+ A. 2a-b yAD,则3x十6y等于( B. 2b-a ) D.a-b A.#7 C.b-a C.-6 D.6 $.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-$ $ $1.若|AB =2|BC,且AB=$BC,则 = 则 A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 12.在△OAB中,已知OA-a,OB-b,且la|= C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 3.(多选题)已知向量a,b是两个不共线的向量,且 l$=4, AOB=60{*,则la-bl= 向量ma-3b与a十(2一m)b共线,则实数m的 13.已知e,f为两个不共线的向量,若四边形ABCD 值可以是 满足AB=e+2f,BC=-4e-f,CD= B.③ C.4 A.-1 D.3 -5e-3f. 4.在△ABC中,已知D是AB边上的一点,若CD= (1)用e,/表示AD; 1CA+^CB,则等于 C (2)证明:四边形ABCD为梯形 ) A.# B. C . .3}# AB. 6.如图所示,在正方形ABCD中,E为BC的中点,F为 [学科素养·探索创新 AE的中点,则DF= .(用AB,AD表示) 14.(多选题)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三 D ( 角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形 E 的外心、垂心和重心都在同一直线上,而且外心 和重心的距离是垂心和重心距离之半,”这就是 著名的欧拉线定理,设△ABC中,点O,H,G分 7.设a,b是两个不共线的向量,若向量a十2b与 别是外心、垂心和重心,下列四个选项中结论正 确的是 ( 8a十b的方向相反,则一 ) A.G-20G 8.已知O,A,M,B为平面上四点,且OM=aOB+ (1-)OA(EB:去1,去0) B.GA+GB+GC-。 (1)求证:A,B,M三点共线; CO-O+OB+O (2)若点B在线段AM上,求实数入的取值范围 D.OA-OB-OC 15.如图,已知△OCB中,点A是 BC的中点,D是将OB分成 2.1的一个内分点,DC和OA 交于点E,设OA-a,OB-b. [关键能力·综合提升] (1)用a,b表示向量OC,DC 9.(多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列 (2)若OE-xOA,求入的值 四个条件中,一定能使a,b共线的是 ( ) A.2a-3b-4e且a+2b--2e B.存在相异实数入,,使a一b一0 C.xa十b=0(其中实数x,y满足x十y=0) D.已知梯形ABCD,其中AB-a,CD-b __ 6学业评价（三）向量的减法运算 (2)因为M是韩边AB的中点， 1.C2.D3.D4.ABD5.026.cb7.CA 所以AM=MB, 8.解析如图所示 所以a+(a-b)-CM+(Ci-CA) -CM+AM=CM+MB-CB. 因为Ci=1CB,所以a十(a-b)川=b. 学业评价（四）向量的数乘运算 1B2.B3AD4B5号6A店-￥A舫7-4 8.(1)证明因为OM=1OB+(1一A)O八， 所以OM=AOB+OA-AO八， -b 所以OM-Oi=AO店-1OA,即AM=1AB. 又1∈R,A≠1，A≠0，且AM,AB有公共点A, 所以A,B,M三点共线 (2)解析由(1)知AM=AAB,若点B在线段AM上，则AM, A同向，且|AM>|AB|(如图所示)，所以>1. 9.C以BA,BC为邻边作平行四边形ABCD,则m=A店+B武 =AC,n=AB-B-AB-AD=Di,由m,n的长度相等，可 书7 知AC=Bd1,因此平行四边形ABCD是矩形，故选C. 10.解析当a,b方向相同时，有a+|b1=la十b, 8AB对于A可解得a=号c,b=一号e,故a与b共找：对 |a-b|=a-b:当a,b方向相反时， 于B,由于1≠红.故入，不全为0，不妨设A≠0则由0一b=0 lal+bl=la-bl,lal-1bl1=la+bl. 得a=b,故a与b共线：对于C,当r=y=0时，a与b不一 故A,B,D均正确 答案ABD 定共线：对于D,精形中漫有条件AB∥CD,可能AC∥BD,故 11.解析如图，在△ABD中，AB=BD=1,∠ABD=120°， a与b不一定共线. 10.D AF-AD+DE-AD+(DC+CE)-AD+3DC+ 君成=+名A店-言心-B+名A成 60° AF=xAB+yAD. 120 ∴r店+i=号A店+君A市 (-号)成=（告-） D 又AB与AD不共线， AB-BC-AB+CB=AB+BD=AD. ∴x- 易求得AD=, =0且 y=0,故=号 ∴.3x+6v=6. 脚1AD1=√5. 11.解析(1)当点C在线段的是长线上时，如图 所以AB-BC=√3 答案√ A 12.解析因为a-b=11OA1-1O11≤1O成-OA1≤1O1+ 则A店=2B武，则A=2 |OB=a十b, (2)当点C在线段上时，如图. 所以a-b≤AB≤a+b,因为AB的取值范国是[5,15]， A C R 所以：士二5解得 a=10. 则Ai=一2BC,即A=-2.综上，A=±2. a-b=5. 答案士2 答案105 12.解析a=b,∴OA=OB. 13.解析(1)若a十b与a一b垂直，即平行四边形的两条对角 又∠AOB=60°，∴.△AB)是等边三角形， 线互相垂直，则四边形ABCD为菱形，所以a,b应该满足a .BA=4, =1b, .la-b1=0A-0B=IBA=4. (2)a十b|=|a一b|表示平行四边形的两条对角线长度相 答案4 等，这样的平行四边形为矩形，故a,b应互相垂直. 13.(1)解折AD=AB+BC+CD=(e+2f)+(-4e-f)+ 14.解析如图，设OA=a,OB=b, (-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f. 则OC=OA+OB=a+b,BA=OA (2)证明因为AD=一8e-2f=2(-4e-∫)=2BC,所以 OB=a-b, ,a=b|=a-b, a+b AD与BC方向相同，且AD的模为BC的模的2倍，即在四边形 ABCD中，AD∥BC,且AD≠BC,所以四边形ABCD是 ..BA=OA=OB, 梯形. ∴△OAB为等边三角形. 14,ABC如图所示，根据欧拉线定理可知，点O,H,G共线，且 设其边长为1， GH=20G. 到1a-1--1,a+b1-2x号-5 答案3 15,证明因为△ABC是等腰直角三角形， ∠ACB=90°. 所以CA=CB.又M是外边AB的中点， 所以CM=AM=BM. 对于A,因为GH=2OG,所以Gi=20G,故A正确： (1)周为CM-CA=AM. 对于B,取BC的中点为D,则GA+GB+G=GA+2GD=0,故 又|AM=|CM,所以a-b=la. B正确： 42 @ 对于C.0i=30元=3(AG-A0)=3(号AD-A0)= 综上1的取值范国为1>-子且1≠3，即（一子3）U3, 2AD-3AO-2(A0+0D)-3A0-20D-A0-0B+0C 十0). +OA,故C正确： 答案（子3）U(8.+) 对于D,OA=Oi=O心是然不正确，故选ABC. 13.解析(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a2-4a·b-3b=9. 15.解析(1)由A是BC的中点， 即16-4a·b一3=9， 则有Oi=号(O成+0元). 从而0元=2OA-Oi=2a-b: ab=1.ms0=8治-号 由D是将OB分成2：1的一个内分点， 又0e[0,1.0- 得0市=号0成。 (2)a+b12=a+2a·b+b=7, 即a+b=√7. 从而DC-0元-0亦=(2a-b)-号b=2a-号6 设a与a十b的夹角为a,e是与a十b同向的单位向量， 则向量a在a十b上的投影向量为 (2)由于C,E,D三点共线，则EC-4DC, EC=OC-OE=(2a-b)-a=(2-A)a-b. amsm=ax688。结. a+b D元-2a-号b. 从而(2-0a-b=r(2a-号b小， 14,B取AB的中点D,连接CD(图略)， 因为∠C=90,|AB|=6, 12-1=2μ， 又ab不共度则-号。每得及吉 所以1C市=号1A=3。 学业评价（五）向量的数量积 设P心与C方的夹角为a, 则PA·Pi=(P式+CA)·P元+Ci) 1.A2.D8D4.AB5116272号0 =P心+P心，(Ci+CB)+CA,CB 8.解析(1)由题意：(2a一b)·(a十2b)=2a2十3a·b =P心+P心·(Ci+CB) 2b=2+3×1×2Xc0%0-8=-3, =2+PC.2CD 得c0s0=2,又0≤0≤x,国此0=5 =4+2|P元||Ci1cosa =4+2×2×3cosa=4+12co8a, (2):12a+b=4a+4a·b+6=4+4X1×2×2+4=12,国 当a=0时，P入·PB取得最大值，为16.故速B. 15.解析(1)周为四边形ABCD是矩形， 此|2a十b=23. 所以AD·DC=0, 9.D如图，过点O作OD⊥AB于D,可知 C=2P币.得D=}D元.C币=号币=-号心 AD=7AB=3. 所以AP.B驴=(AD+D币)·(BC+C币) 则A0,AB=(AD+O)·A店 =AD·AB+D0.AB =(市+D)·(市-心) =3×6+0=18,故选D. 10.AD由平面向量a,b,c两两的夹角相 =市-号市.成-号心 等，得夹角为0°或120°， -36-号×81=18. 当夹角为0时，a十b+c=√(a+b+c) =√a+2a·b+b+2e·a+2b·c+e (2)由题意，A市=AD+D币=A+D心 =/14十4十6十12=6，选项D正确： =A市+A店， 当夹角为120°时，|a+b+c|=√(a+b+c) =√a+2a·b+b+2e·a+2b·c+c 丽-BC+C币-武+号Ci-A-名A店， =14一2一3-6=√3，选项A正确.故选A,D. 11.解析因为3a十mb十7c=0, 所以A市.丽=(AD+A)·(市-号A) 所以3a+b=一7c, =A市-号A店：A市-号A成 所以(3a十mb)2=(-7c)2得 9+m+60·b=49, =36-号A店·A市-18=18-号A:Ad 又a·b=lallblcos6o=号 又Ap.B=6, 所以m+3m-40=0. 所以18-号A店，A市=6， 解得m=5或m=一8. 答案5或-8 所以AB,AD=36. 12.解析因为a,b的夹角为锐角， 又Ai.AD=AiAD1cos0=9×6×cos0 所以a·b>0,且a,b不共线， =54c0s0, 当a·b>0时， (3e,+2e)·(1e1+2ez)=3ei+(6+2t)e1·e+4e=31+ 所以540s0=36,即cos0= 3 2(6+2)+4>0, 所以与市失角的余孩值为号 得>-子 学业评价（六）平面向量基本定理 当a,b共线时，存在唯一的实数入，使a=b, 1hD2A3C4.BD536a+b7号 即30+2%，-m,+2a,.所以经-2 8.解析因为a在基底{p,q)下的坐标为（一2,2）， 所以a=一2p+2q=(2,4), 每释： 令a=zm+3m=(-x十y,x+2y), 所以当1≠3时，a,b不共线， 所以即2 所以a在基底{m,n}下的坐标为(0,2). 43