学业评价(七-八) 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 平面向量数乘运算的坐标表示-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册课后案·学业评价（人教A版2019）

⑧ 9.BCD选项B错误，这样的a只能与e,e在同一平面内，不 (2)解析设c=ma十b(m,n∈R), 能是空间任一向量：选项C错误，在平而a内任一向量都可表 则3e1一e.=m(e1一2e)+n(e+3e) 示为入e十1e,的形式，故入e,十A2e一定在平面a内：选项 =(+n)e+(-2m+3u)e, D错误，这样的入，，入是唯一的，而不是有无数对， 10.D连接CD,OD(图略)， 嘴以巴-1P 点C,D是半圆孤AB的两个三等分点， 所以e=2a+b. .AC-BD. (3)解析由4e,-3e=a十h, ∴CD∥AB,∠CAD=∠DAB=30, 得4e1-3e=a(e1-2e:)+a(e+3e,) ,OA=OD,∴·∠ADO=∠DAO=30°， =(a+r)e+(-2x+3)ee, .∠CAD=∠ADO=30°， .AC∥DO, 所以效之这 四边形ACID)为平行四边形， 故所求，：的值分别为3和1. AD-AO+AC. 学业评价（七）平面向量的正交分解及坐标表示 AO-7AB-78.AC-b. 平面向量加，减运算的坐标表示 1.D2.C3.D4.A :A市=之a+b 5.-1-26.(-18,18)7.(-3,-5) 8.解析由长方形ABCD知，CBLx轴，CD⊥y轴， 11,解析因为P0-=AQ-AP=xAi-yAD, 因为AB=4,AD=3, 由P夜∥B正，可设P=ABE。 所以AC=i+3j, 即x店-yA市-(C正-C)-A(-号店+市 所以AC=(4,3): 又BD-BA+AD=-AB+AD. 合店+AA市，所以 所以BD=一4i+3对 y=-λ， 所以BD=(一4,3). 答案司 9,ABD由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相 等的向量，故C错误」 12.解析设AO=1AC(a∈R), 10.D由P(,1).得P(2cos若，2sin) 则AO=(A市+DC)=A(i+号A】 ”将向量O币绕点0按递时针方向旋转受后得到向量O应， =AA市+之A, Q(2a(看+)2sim(管+)）片 因为D.0.B三点共线，所以X+之X=1, 所以号， os(看+受)=-m=- 所以0-号A市+号A店=景+号 .Q(-13).故选D. 答案号a+b 11,解析过A分别作AM,AN垂直于x轴y轴，垂足为M,N 13.(1)解析Di=A正-A市=AB+B配-A市 易知AM=1,AN=3, A(-3,1),∴OA=(-3,1) -a+jb-b-a-jb. 答秦(-3,1) (2)证明连接AC,BD交于O,则Cd=2C, 12.解析AB=(2.4)-(1.3)=(1.1). AB=a. ,E,F分别是BC,DC的中点， .G是△CBD的重心， :+3=1解得= 心-号i-号×i=i, 答案1 析如图，正三角形ABC的 又C为公共点，∴A,G,C三点共线 yi 14.解析如图，以OA,OB所在射线为邻边，OC为对角线作 □OMCN,使得M在射线OA上，N在射线OB上， Ac---.------- O(A) ∴O=OM+ON,又OC=AOA+uOB. 则顶点A(0,0),B(2,0),C(2c0s60°，2sin60), ∴.OM=AOA,ON=uOB. i.c)(). 在Rt△OCM中， 1O=25. AB=(2,0),AC=(13) ∠COM=30°，∠OCM=90°. BC=(1-2,5-0)=(-1W3). MCI=2.10MI=4...OM=40A. 励-（号-2-）(-是) 又1ON1=1MC1=2,∴.ON=2OB, 14.解析因为A(1,1),B(2,3),C(4,5) ∴.=4μ=2， .十u=6. 所以AB=(1,2),AC=(3,4), 答案6 又当OA=(知y),0B=(x)时， 15.(1)证明若a,b共线，则存在a∈R,使a=h,则e1一2e,= .1 (入=1， Sas=2工当-4 ae+由66不共我，得2名，所以 3, 所以5。w=名×1X4-3X21=1 入不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底 答案1 44 15.解析设点D的坐标为(x,y), 由B,P,D三点共线可得DP=入DB=(5A,4A). (1)当平行四边形为ABCD时，A正=D式， 又因为CP-DP-DC=(5x-4,4). .(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y), 由CP与CA共线得.(51-4)×6+12a=0. y=-1, .D(0,-1); 解得A=号所以币=(x-1)=(9,9） (2)当平行四边形为ABDC时，同(1)可得D2,一3)： 所以工= 27 (3)当平行四边形为ADBC时，同(1)可得D6,15). 综上可知点D可能为(0，一1)或(2，一3)或(6,15). 所以点P的坐标为（贸，） 学业评价（八）平面向量数乘运算的坐标表示 1A2DA4B56,)6号元.(1.-号) 答案 (99) 8.解析(1)国为a=(2,1),b=(1,1), 15.解析设P(xy) 所以a十b=(2,1)十(1,1)=(3,2). 则P户=(x一y-y),PF=(xx为-)， (2)因为b=(1,1),c=(5,2), 由P,P=APP 所以m=b十e=A(1,1)+(5,2)=(A+5,a十2). 得(x一xy-y)=A(x一x,为一y), 又因为a=(2,1),且a与m平行， 所以2（λ十2）=λ十5，解得λ=1. 于是-五=A(,-x, y-为=a(为一y), QB由a/b,可得1in01+n0)号=0，唧cos0=士号， 固为≠一1， +Ar 而0是锐角，故0=45°. t= 所以 1十x 10.ACA选项，CB+D元=AB-AC+AC-AD=AB-AD y 业十 (a,1)-(1)=(A-1,1一)，A选项正确： 1十 B选项，若A店/A市.到A·=1,故色可取X=3g=子，B选 所以点P的坐指为（佰受，受）》 项错误： 学业评价（九）平面向量数量积的坐标表示 C选项，若A是BD的中点，则AB=-AD 即（入，1）=(-1，-)→1=4=-1， 1D2A3A4BD546.号7-9 所以AB-AC=(一1,1)，所以B,C两点重合，C选项正确： 8.解析(1)若a⊥b,则a·b=(1,x)·(2x+3,一x) D选项，由于B,C,D三点共线，所以BC∥BD: =1×(2x+3)+x(-x)=0, BC=AC-AB=(-1,1)-(a,1)=(-1-A,0), 即x2-2.x-3=0,解得x=一1或x=3 BD=AD-AB=(1,)-(a,1)=(1-A4-1). (2)若a∥b,则1×（一x)-x(2x十3）=0 即x(2x十4)=0，解得x=0或x=一2. 则(-1-A)×(4-1)=0X(1-1)→1=-1或=1， 当x=0时，a=(1,0),b=(3,0), 所以D选项错误. 11.解析由题意得，点B的坐标为(3×2-1,1×2+2)= 1a-b=1(1,0)-(3,0)1=|(-2,0)=2 (5,4),则AB=(4,6). 当x=-2时，a=(1,一2)，b=(-1,2), 又A店与a=(1A)共线，则4以-6=0，则入=是 a-b1=1(1,-2)-(-1,2)1=1(2.-4)川=25 9.C设b=(x,y),则2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以 答案 g+is解释2 6+y=18, 12.解析P户=（号-3y-2）=(-号y-2）小 故b=(-5,12). 丽-(-8-号8-)-（号3-小 片以co(e.b=)日治-是 且P,P=APP, 10,BD国为a,b是平面内来角为号的两个单位向量，所以设 (号-2)=(-号3-以 a=,0.(号号）设c=0又周为a(bc)=0,所 =17 5 以-=0，则=yR y-2=(3-y9.y=22 49 a+aJ(受)+（慢）】 =5≠1，故A错误： 答案 13.解析(1)设D(x,y), a--J(兮)'+（慢）-1，故B正确： 由AB=CD,得(2，一2)-(1,3)=(xy)-(4,-1), 即(1，-5)=(x-4,y+1), a-c=(1-,-y),(a-c)·b= 2(1-r)-3 J= 所以二1·。解得【=5， ,所以(a-c)·b不一定等于0，故C错误： 3 y+1=-5, 1y=-6. 所以，点D的坐标为(5，一6). (2)因为a=AB=(2.-2)-(1.3)=(1,-5), e=VF+可√行+少≥2故D正确，故选BD b=BC=(4,-1)-(2,-2)=(2,1), 11.解析由已知可得(a十b十c)产=0，展开化简后可得结果. 所以加-b=k(1.-5)-(2,1)=(k-2,-5k-1), 由已知可得(a十b+c)=a+6十e+2(a·b+b·c+c·a)= a+3b=(1.-5)+3(2,1)=(7,-2). 9+2(a·b+b·c+c·a)=0, 由ka一b与a+3b平行， 得(k-2)×(一2)-(-5k一1)×7=0. 国光ab叶bc中e…a=一是故答案为一号 所以=一子 答案一昌 14.解析设P(x,y),则DP=(.x-1,y),Di=(5,4),CA 12.解析以A为原点，AB,AD所在直线为x轴，y轴建立如图 (-3,6),DC=(4,0. 所示的平面直角坐标系. 45O数学·必修第二册（配RJA版）》 学业评价（七） 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 [必备知识·基础巩固] [关键能力·综合提升] 1.设i,j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正 9.(多选题)给出下面几种说法，正确的有 ( 方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若 A.相等向量的坐标相同 OA=4i+2j,OB=3i+4j,则2OA+OB的坐 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 标是 ( C.一个坐标对应于唯一的一个向量 A.(1,-2) B.(7,6) D.平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的 C.(5,0) D.(11,8) 向量一一对应 2.已知向量0A=(3,一2)，OB=(-5,-1),则向量 10.在平面直角坐标系中，点P(W3,1),将向量O驴 AB的坐标是 ( 绕点0按逆时针方向旋转受后得到向量00，则 A(-4,2） B(,-2) 点Q的坐标是 C.(-8,1) D.(8,1) A.（-√2,1) B.(-1,w2) 3.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5,一1)， C.(-3,1) D.(-1,√3) B(-1,7),C(1,2),则顶点D的坐标为 ( 11.已知O是坐标原点，点A在第二象限，1OA|=2 A.(-7,0) B.(7,6) ∠xOA=150°，则向量OA的坐标为 C.(6,7) D.(7,-6) ! 12.若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与AB相等，已知 4.已知两点A(4,1),B(7,-3),若AB+AC=0,则 A(1,3),B(2,4),则x= 点C的坐标是 ) 13.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标 A.(1,5) B.(-3,4) 原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC C.(-1,-5) D.(4,-3) 的中点，分别求向量AB,AC,BC,BD的坐标. 5.已知A(2,0),a=(x十3，x-3y-5),若a=OA, 其中O为原点，则x= ,y= 6.已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10), 则AC+BC的坐标是 7.如图，在口ABCD中，AC为一 [学科素养·探索创新] 条对角线，若AB=(2,4), AC-(1,3),则BD= 14.小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时 8.已知长方形ABCD的长为4、宽为3，建立如图所 有如下研究成果：若OA=(x1,为)，OB= 示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量， j是y轴上的单位向量，试求AC和BD的坐标. (x2y),则SA0B= z%一x,试用上述 成果解决问题：已知A(1,1),B(2,3),C(4,5), 则SAABC= ! 15.已知平面上三个点坐标为A(3,7),B(4,6), C(1,一2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成 A(O 平行四边形的四个顶点。 10 学业评价（八） 平面向量数乘运算的坐标表示 [必备知识·基础巩固] 10.(多选题)已知A,4∈R,AB=(,1),AC= (-1,1),AD=(1,),那么 1.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b= ( A.(1,-2) B.(1,2) A.CB+DC=(a-1,1-) C.(5,6) D.(2,0) B若A店/Ai,则A=2,g= 2.已知两点A(2,一1)，B(3,1),则与AB平行且方 C.若A是BD的中点，则B,C两点重合 向相反的向量a可以是 () D.若点B,C,D共线，则4=1 A.(1,-2) B.(9,3) 11.已知点A(1,-2),若线段AB的中点坐标为(3,1)， C.(-2,4) D.(-4,-8) 且AB与向量a=(1,A)共线，则入= 3.已知向量e1=(x,1),e2=(x-2,3)共线，则x= 12.已知两点P,(3,2),P,(-8,3),点P(2y小，且 A.-1 B.0 PP=λPP2,则A= ,y= C.1 D.2 13.设A,B,C,D为平面内的四点，且A(1,3), 4.如果向量a=(k,1),b=(4,k)共线且方向相反， B(2,-2),C(4,-1). 则k等于 (1)若AB=CD,求点D的坐标； A.士2 B.-2 (2)设向量a=AB,b=BC,若ka-b与a十3b平 C.2 D.0 行，求实数k的值. 5.已知点A(-1,-5)和向量a=(2,3),若AB 3a,则点B的坐标为 6.已知向量a=(2,5),b=(a,4),若a∥b,则a= 7.已知A(2,40,B(-4,6),若AC=号A店，BD 等Bi,则C市的坐标为 8.已知向量a=(2,1),b=(1,1),c=(5,2),m= [学科素养·探索创新] b+c(入为常数). 14.如图所示，在四边形ABCD (1)求a+b: 中，已知A(2,6),B(6,4), (2)若a与m平行，求实数入的值. C(5,0),D(1,0),则直线 AC与BD的交点P的坐标 为 15.直线l上有两点P1,P2,在l上取不同于P1,P 的任一点P,存在一个实数A,使P户=入PP (a≠一1)，入叫做点P分有向线段P,P2所成的 比.设P(x1y),P2(x2,y2),点P分有向线段 P,P,所成的比为A(a≠一1)，求点P的坐标 [关键能力·综合提升] 9.已知向量a=(1-sin0,1),b= (2,1+sin0）,且 a∥b,则锐角0= A.30 B.45 C.60° D.75 11