学业评价(九) 平面向量数量积的坐标表示+阶段测评(一) [6.1-6.3]-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册课后案·学业评价（人教A版2019）

O数学·必修第二册（配RJA版） 学业评价（九） 平面向量数量积的坐标表示 [必备知识·基础巩固] 10.(多选题)已知a,b是平面内夹角为的两个单 1.若向量a=(3,m),b=(2,一1)，a·b=0,则实数 位向量，向量c在该平面内，且a·(b一c)=0, m= ( 则下列结论正确的是 () A.|a+b=1 B.a-b=1 A-2 B C.2 D.6 C.(a-c)⊥b D.c的最小值为司 2.设向量a=(1,1),b=（-1,3),c=(2,1),且 11.已知向量a+b+c=0,a=1,|b=|c|=2, (a-b)⊥c,则λ= a·b+b·c+c·a= A.3 B.2 C.-2 D.-3 12.如图所示，在矩形ABCD中，D 3.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的 形状是 ( AB=√2，BC=2,点E在边CD ) A.直角三角形 B.锐角三角形 上，且DE=2EC,则AE·BE的 值是 C.钝角三角形 D.等边三角形 13.已知a,b,c是同一平面内的三个 4.(多选题)已知向量a=(2,1),b=(一3,1)，则 向量，其中a=(1,2). ( (1)若|c=2√5，且c∥a,求c的坐标； A.a⊥b B.a与a-b夹角的余弦值为25 (2)若1b1=,且a+2b与2a-b廉直，求a与b 5 的夹角0. C.向量a在向量b上的投影向量的模为0 2 D.若c=(停，-2)则aLc 5.已知a=(-1,1),b=(1,2),则a·(a+2b)= [学科素养·探索创新] 6.已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-b)⊥b,则 14.已知A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角， i= 向量p=(sinA,1),q=(1,一cosB),则p与q 7.已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a十b.若 的夹角是 ( a⊥c,则k= A.锐角 B.钝角 8.已知平面向量a=(1,x),b=(2x十3，-x), C.直角 D.不确定 x∈R. 15.已知OA-(4,0),0B-(2,23),OC-(1-)· (1)若a⊥b,求x的值； OA+λOB(2≠λ). (2)若a∥b,求|a-b. (1)求OA·OB及OA在OB上的投影向量； (2)证明A,B,C三点共线，并在AB=BC时，求 入的值； (3)求OC的最小值. [关键能力·综合提升] 9.a,b为平面向量，已知a=(4,3),2a十b=(3,18), 则a,b夹角的余弦值等于 ( ) A品 D.-9 12 阶段测评（一） [6.1-6.3] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在： 7.(2024·广州期末)菱形ABCD中，AC=2, 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 BD=4,点E在线段CD上，则AB·AE的取值 求的 范围是 () 1.化简OP+P5-O应的结果等于 ( A.[2,3] B.[0,1] A.SP B.OQ C.[0,2] D.[-3,2] C.SQ D.QS 8.已知P为△ABC内任意一点，若满足PA+ 2.向量a=(x,2),b=(1,-2),若a∥b,则x= 2丽+3元-0则 ( A.4 B.2 A号 C.1 D.-1 3.已知向量a,b,其中|a=3,|b1=1,(a,b)=60°， c号 D若 则|a+十b1= ( ) 二，选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在 A.√13 B.4 每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 C.0 D.2 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 4.设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD,则 0分 ( 9.设a,b,c是任意的非零向量，则下列结论不正确 的是 () A.A市=-}A+等AC A.0·a=0 BA茄=店-号戒 B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·b=0→a⊥b C.A市=号A+}d D.(a+b)·(a-b)=|a|2-l1bl2 10.石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六 D.A市-A店-}A花 边形，正六边形ABCDEF为其中的一个六元 5.已知a·b=15,|a=5,|b=3,则b在a上的投 环，设AB=1,P为正六边形ABCDEF内一点 影向量为 ( (包括边界)，则下列说法正确的是 () A 06 6.如图，设Ox,Oy是平面内相交成 0角(0<0<x)的两条数轴，e1,e2 分别是与x轴、y轴正方向同向 A.AD=4AB+4AF 的单位向量.若向量OQ=xe1十 B.AC·AD=3AB 0/ ye2,则称有序实数对(x,y)为向 e C.AD在AB上的投影向量为AB 量OQ在坐标系Oxy中的坐标，已知在该坐标系 D.A市.A的取值范围为[-合·] 下，向量OM=(1,2),ON=(2,1),若OM⊥ON, 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 则cos0= 11.如图，在平行四边形ABCD中， A-号 B号 E和F分别是边CD和BC的中 点，若AC=AAE+uAF,其中 c-是 D. A,∈R,则入+a= 13 O数学·必修第二册（配RJA版） 12.已知□ABCD中，E是线段CD上靠近D的三等分：16.(15分)已知m>0,n>0,如图，在△ABC中，点 点，若B正=λAB十AD,则A十μ= M,N满足AM=mAB,AN-nAC,D是线段 13.在边长为3的等边三角形ABC中，CD=2DB, BC上一点，Bi=号BC,点E为AD的中点，且 则AB·CD等于 M,N,E三点共线. 14.已知△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点D是 AC的中点.若M为BC的中点，则MC·MD为 ,若M为BC上的动点，则MC·MD的 取值范围为 四、解答题：本题共2小题，共28分.解答应写出文 B D 字说明、证明过程或演算步骤 (1)求3m十6n的最小值； 15.(13分)已知非零向量a,b满足|a|=1,且 (2)若点0满足2A0-OB+OC,证明： (2a+b)(2a-b)=3. OE∥BC. (1)求|b: (2)当a·b=一合时，求2a十b1和向量b与 2a+b的夹角0的值. 1415.解析设点D的坐标为(x,y), 由B,P,D三点共线可得DP=入DB=(5A,4A). (1)当平行四边形为ABCD时，A正=D式， 又因为CP-DP-DC=(5x-4,4). .(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y), 由CP与CA共线得.(51-4)×6+12a=0. y=-1, .D(0,-1); 解得A=号所以币=(x-1)=(9,9） (2)当平行四边形为ABDC时，同(1)可得D2,一3)： 所以工= 27 (3)当平行四边形为ADBC时，同(1)可得D6,15). 综上可知点D可能为(0，一1)或(2，一3)或(6,15). 所以点P的坐标为（贸，） 学业评价（八）平面向量数乘运算的坐标表示 1A2DA4B56,)6号元.(1.-号) 答案 (99) 8.解析(1)国为a=(2,1),b=(1,1), 15.解析设P(xy) 所以a十b=(2,1)十(1,1)=(3,2). 则P户=(x一y-y),PF=(xx为-)， (2)因为b=(1,1),c=(5,2), 由P,P=APP 所以m=b十e=A(1,1)+(5,2)=(A+5,a十2). 得(x一xy-y)=A(x一x,为一y), 又因为a=(2,1),且a与m平行， 所以2（λ十2）=λ十5，解得λ=1. 于是-五=A(,-x, y-为=a(为一y), QB由a/b,可得1in01+n0)号=0，唧cos0=士号， 固为≠一1， +Ar 而0是锐角，故0=45°. t= 所以 1十x 10.ACA选项，CB+D元=AB-AC+AC-AD=AB-AD y 业十 (a,1)-(1)=(A-1,1一)，A选项正确： 1十 B选项，若A店/A市.到A·=1,故色可取X=3g=子，B选 所以点P的坐指为（佰受，受）》 项错误： 学业评价（九）平面向量数量积的坐标表示 C选项，若A是BD的中点，则AB=-AD 即（入，1）=(-1，-)→1=4=-1， 1D2A3A4BD546.号7-9 所以AB-AC=(一1,1)，所以B,C两点重合，C选项正确： 8.解析(1)若a⊥b,则a·b=(1,x)·(2x+3,一x) D选项，由于B,C,D三点共线，所以BC∥BD: =1×(2x+3)+x(-x)=0, BC=AC-AB=(-1,1)-(a,1)=(-1-A,0), 即x2-2.x-3=0,解得x=一1或x=3 BD=AD-AB=(1,)-(a,1)=(1-A4-1). (2)若a∥b,则1×（一x)-x(2x十3）=0 即x(2x十4)=0，解得x=0或x=一2. 则(-1-A)×(4-1)=0X(1-1)→1=-1或=1， 当x=0时，a=(1,0),b=(3,0), 所以D选项错误. 11.解析由题意得，点B的坐标为(3×2-1,1×2+2)= 1a-b=1(1,0)-(3,0)1=|(-2,0)=2 (5,4),则AB=(4,6). 当x=-2时，a=(1,一2)，b=(-1,2), 又A店与a=(1A)共线，则4以-6=0，则入=是 a-b1=1(1,-2)-(-1,2)1=1(2.-4)川=25 9.C设b=(x,y),则2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以 答案 g+is解释2 6+y=18, 12.解析P户=（号-3y-2）=(-号y-2）小 故b=(-5,12). 丽-(-8-号8-)-（号3-小 片以co(e.b=)日治-是 且P,P=APP, 10,BD国为a,b是平面内来角为号的两个单位向量，所以设 (号-2)=(-号3-以 a=,0.(号号）设c=0又周为a(bc)=0,所 =17 5 以-=0，则=yR y-2=(3-y9.y=22 49 a+aJ(受)+（慢）】 =5≠1，故A错误： 答案 13.解析(1)设D(x,y), a--J(兮)'+（慢）-1，故B正确： 由AB=CD,得(2，一2)-(1,3)=(xy)-(4,-1), 即(1，-5)=(x-4,y+1), a-c=(1-,-y),(a-c)·b= 2(1-r)-3 J= 所以二1·。解得【=5， ,所以(a-c)·b不一定等于0，故C错误： 3 y+1=-5, 1y=-6. 所以，点D的坐标为(5，一6). (2)因为a=AB=(2.-2)-(1.3)=(1,-5), e=VF+可√行+少≥2故D正确，故选BD b=BC=(4,-1)-(2,-2)=(2,1), 11.解析由已知可得(a十b十c)产=0，展开化简后可得结果. 所以加-b=k(1.-5)-(2,1)=(k-2,-5k-1), 由已知可得(a十b+c)=a+6十e+2(a·b+b·c+c·a)= a+3b=(1.-5)+3(2,1)=(7,-2). 9+2(a·b+b·c+c·a)=0, 由ka一b与a+3b平行， 得(k-2)×(一2)-(-5k一1)×7=0. 国光ab叶bc中e…a=一是故答案为一号 所以=一子 答案一昌 14.解析设P(x,y),则DP=(.x-1,y),Di=(5,4),CA 12.解析以A为原点，AB,AD所在直线为x轴，y轴建立如图 (-3,6),DC=(4,0. 所示的平面直角坐标系. 45 ⑧ AB=2,BC=2, ∴.A(0,0),B(2,0),C(2,2), 所以S匹35度 3 S△ S△AM 61 D(0,2), :点E在边CD上， 故选D. 9,AB由a,b,e是任意的非零向量， 且DE=2EC, 对于A,0·a=0,故A错误： (2g22) 对于B,(a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线 的向量，而a,e不一定共线，故B错误： -(2)-（号2小 对于C,国为a,b非零向量，若a·b=0,则a⊥b,故C正确； 对于D,(a十b)·(a一b)=a°一b=a一b,故D正确.故 成-音+4-器 选AB. 9 : 10.BCD如图，以，点A为坐标原，点建立平面直角坐标系， 苦案号 13.解析(1)由a=(1,2),得a=√+2=√5， 又lc=2w5,所以1c=2|al 又因为c∥a,所以c=士2a, 所以c=(2,4)或c=(一2，一4) (2)因为a+2b与2a-b垂直， 所以(a+2b)·(2a-b)=0, : 即2a|2+3a·b-2b2=0, 则A0,0,B(号，-号）C(毫-9)D2,0) 将a=5,b=9代入得ab一 2 a·b E()F() 所以cos0=ai6=-1: 又由0∈[0，π]，得0=π， 可得=（号-）花-（受，-号） 即a与b的夹角为π. 14.A因为△ABC是锐角三角形， =(2.0).-(分号) 新以A+B>受 对于A,因为4AB+4AF-(4,0),则AD≠4AB+4AF,故 A错误： 即0<登-B<A<受， 对于B.花.i=受×2+(-）×0=3=3A店，故B 因为画教y=simx在(0，受)上单调递增， 正确： 所以sinA>sin(受-B）=osB, 对于C,周为(AB,AD)=60°， 所以p·q=sinA-cosB>0, 剩1 (A.店A=2x号=1 设p与g的夫角为0.所以m0=吕>0： 所以市在店上的投影向量为 -=AB,故C正确： 因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角. AB 15.解析(1)O0i·OB=8,设Oi与OB的夹角为0， 对于D,分别过C,F作直线AB的磨线，垂足分别为M,N, 则cos0=Oi·Oi 81 则BM=AN=号，可得市在店上的投影的取值范国 1OA11O4×42' 设e为与O丽网向的单位向量，则e=(,号） 为[] 所以OA在O店上的投影向量为 且丽=1，所以币，A的取雀范国为[之·]，故D 正确：故选BCD. oAlcos &-4x7e=2e-(13). 11.解析设AB=a,AD=b. (2)AB=Oi-OA=(-2,23) 则店=之4+6，亦=a+6, BC=0元-Oi=(1-λ)OA-(1-)Oi=(x-1)AB,图为 又：AC=a+b. AB与BC有公共点B,所以A,B,C三点共线. 当AB=BC时，A-1=1,所以1=2. A=号(AE+AF, 3 (3)10C2=(1-A)O+2x(1-A)Oi.Oi+Oi 即以--号十- 16x-16a+16=16(a-2）'+12. 答案 所以当=2时，0心取到最小值2. ! 12.解析因为E是线段CD上靠近D的三等分点，所以CE 阶段测评（一）[6.1一6.3] 1.D2.D3.A4.A5.A6.A7.D 8.D分别取AC,BC的中点E,F,连接PF,PE,FE 所以丽=成+C求-AD+号C市--是A+A市. PA+2 PB+3 PC=(PA+PC)+2(PB+PC)=2 PE+ 又B配=AA店+：AD,且AB与AD不共线， 4PF=0. 则PE=一2PF,即点P为线段EF靠近F的一个三等分点 所以公·所以+=一号+1= =1 答案司 13.解析由题意可得(A店，CD》=交，Ai=3CD=2, ∴Ai.i=1.Gios.D)=3x2x号=3 答案3 46 14,解析以B为原点，BC所在的y1 10.C假设BC的中点是O,则AC-A店=(C+AB)·(C 直线为？轴建立如图所示的平 而直角坐标系， AB)=2AO·BC=2AM·BC,即(AO-AM)·BC=MO· 则B(0,0),C(8,0),A(4,3),故 BC=0,所以MOLBC,所以动点M在线段BC的垂直平分线 D(6,) 上，所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心， 11解析FD=d+OD.FE=F⑦+OE,且OD=-O元，所以 当M为BC中点时，M(4,0), 光时M=(4,0.M市=(2.号)： Fi.i=(Fò+Oò·(Fò+O)=F亦-O亦=号-1 8 故M心.MD=8. 9· 当M为BC上的动点，设M(t,0),0≤1≤8， 8 此时M心=(8-t0).M方=(6-t,号)， 答案一9 12.解析5A下=AC+2AB. 故M花.MD=2-14+48=(1-7)-1, 2AP-2AB-AC-A市-2A产. 周为0≤1≤8，故一1≤(1-7)”-1≤48， -2(PA+PB)=PC,如图所示，以PA,PB 故MC·MD的取值范国为[-1,48]. 为邻边作☐PAEB, 答案8[-1,48] 则C,P,E三点共线，连接PE交AB于点 15,解析(1)由已知得4a2-b=3. O,则P元-2Ep-4O币， p4×12-1b2=3,1b=1. (2)2a+b=4a+4a·b+b=4-2+1=3..12a+b 所以3地=m20p=一 =3. 答案1：2 b·(2a+b)=2a·b+6=2×(-号）+12=0. 13.证明(1)建立如图所示的平面直角坐标 系，设正方形的边长为1.BP=入， cos0=b,（2a+h2=0=0, b2a+b 3 则A01.P(号 :0e[0,所以0=受 E(1.)F(停o小 16.(1)解析由道可知A心=A+B币=A店+BC=AB+ i-(号1- B(O) 寻（心-A-号+号花， 因为点E为AD的中点， 成-（停-1-）小 所以A正=A=专店+号A记 国为i-(-)+(1-)=-@+1 AM=mAB.AN=nAC. 正=+ =(-)）+(-)=-a+1 所以PA2=E,故PA=EF 国为MN,E三点共线，所以品十品=1 (2)因为P耐·E亦= （-)(竖-)+ ÷3m+6m=(3m+6m)(+动)=2+（别+册）≥2+ 2=4. (1-号(-)-0 、2 当且仅当m=号=号时，等号成立。 所以PA⊥EF,故PA⊥EF. 2 所以3m十6n的最小值为4. 14解析新休m的位移大小为1=7≈(m,则支持 (2)证明由2AO=OB+OC,则 力对物体m所微的功为W,=F·5=F1·scos90° 2A)=()A+AB+()A+AC,即 0(J):重力对物体m所做的功为W,=G·s=G1scos53° AO=(AB+AC). ≈5×9.8×号×0.6=980. O=-Aò=（号A+ 答案098 15,解析(1)设AB=a,AC=b. 君A⊙）-青店+AC)=2店& 剥A市=A店+市=A店+}武=成+(A花-A店) -是心-成. 号+-=号a+宁6 所以OE∥CB,又E,C,B三点不共线， 所以11-A亦=（号a+b)=号。+2×号a·b+ 所以OE∥BC. 学业评价（十）平面几何中的向量方法 吉=号×9+2x号×3X3Xm12+号×9=8 向量在物理中的应用举例 故AD=3. 1.D2.C3.A4.C5.16.年7.30 (2)设∠DAC=0,则0为向量AD与AC的夹角. 8.证明设AD=a,AB=b, (号a+3)小·b 则成=正-市=花-。=子b子a, 因为cos0= AD.AC IADIACI w3×3 成=A店-亦=b心=b是 1 所以D正=FB,且D,E,F,B四点不共线，所以四边形DEBF 3w3 3w3 是平行四边形。 所以0=90°，即∠DAC=90 9.C设鹰的飞行速度为？，鹰在地面上的影子的速度为，别 学业评价（十一）余弦定理 ”=40(m4s),因为虎的运动方向是与水平方向成30°角向 下，故r=-803(ms,故选C. .C2.C3.C4.BD5.26.7.38 3 2 33 8解折D因为c0sA=2os号-1,2o2号+cosA=0, 2 47