精品解析：重庆市涪陵第一中学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

涪陵一中2025年春期第一次月考 高一下数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 复平面内，复数表示的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 已知向量，，若，则实数m等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3. 一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，，，则原梯形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 4 4. 已知单位向量的夹角为与垂直，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于(　　) A. B. C. D. 6. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. 74m B. 60m C. 52m D. 91m 7. 在中，点，在边上，且，为边上的三等分点（其中为靠近点的三等分点），且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. B. C. z的共轭复数为 D. z的虚部为 10. 设向量， ，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 与垂直 11. 在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（ ） A. 若是高，则 B. 若是中线，则 C. 若是角平分线，则 D. 若，则是线段的三等分点 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量与夹角为120°，且，那么的值为_________． 13. 已知球表面积为，点、、在球的球面上，且 ，则球心到平面的距离为______. 14. 已知正四棱锥的底面边长为2，现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为1：4，若截去的小棱锥的侧棱长为2，则此棱台的表面积为______________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数（其中虚数单位）. （1）求； （2）求 16. 已知在中，内角所对的边分别为.，求角和边. 17. 为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得，，，，同时测得海里. （1）求的长度； （2）求，之间的距离. 18. 已知一个圆锥的底面半径为，母线长为. （1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角; （2）若圆锥中内接一个高为的圆柱.求圆柱的表面积. 19. 已知向量与共线，其中是的内角． （1）求角的大小 ； （2）若，求的面积的最大值，并判断取得最大值时的形状． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 涪陵一中2025年春期第一次月考 高一下数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 复平面内，复数表示的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义求解即可. 【详解】在复平面内，复数表示的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D. 2. 已知向量，，若，则实数m等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，则，解得， 所以实数m等于. 故选：D 3. 一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，，，则原梯形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图可知其平面图形直角梯形，再计算面积即可得答案. 【详解】解：根据梯形直观图可得其平面图形为直角梯形，上底为，下底，高为， 所以原梯形的面积为. 故选：C 4. 已知单位向量的夹角为与垂直，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积定义求出，依题意可得，根据数量积的运算律计算可得； 【详解】因为单位向量、的夹角为，所以， 又与垂直，所以，即， 即，解得， 故选：C. 5. 已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i， 又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝. 故选：D. 6. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A. 74m B. 60m C. 52m D. 91m 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度. 【详解】在中，， ，， 在中，， 由，， 在中，. 故选：A 7. 在中，点，在边上，且，为边上的三等分点（其中为靠近点的三等分点），且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法线性运算即可求解. 【详解】， 所以，. 故选： 8. 如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理计算即可. 【详解】设，则 ， 又因为G是的重心，故， 所以有. 故选：A 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. B. C. z的共轭复数为 D. z的虚部为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则化简复数，结合复数的基本概念，复数的乘方及模的运算逐项判定即可. 【详解】， ，A错误； ，B正确； 的共轭复数为，C错误； 的虚部为，D正确； 故选：BD 10. 设向量， ，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 与垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算依次依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A选项错误； 对于B选项，又，故B选项错误； 对于C选项，显然与不共线，故C选项错误； 对于D选项，，，所以与垂直，故D选项正确． 故选：ABC 11. 在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（ ） A. 若是高，则 B. 若是中线，则 C. 若是角平分线，则 D. 若，则是线段三等分点 【答案】BC 【解析】 【分析】分别求CD为高线，中线，角平分线及等分线时CD的长. 【详解】由题，，所以， 若CD是高，，得，故A错误； 若CD是中线，，所以， 所以，故B正确； 若CD是角平分线，则， 即，得，故C正确； 若D为线段AB的三等分点，或， ，或， 所以或，故D错误. 故选：BC. 【点睛】根据D在AB的位置，可用，表示，用向量方法解决平面几何问题是常用思路. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析:因,故,故应填答案. 考点：向量的数量积公式及运用． 13. 已知球的表面积为，点、、在球的球面上，且 ，则球心到平面的距离为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用球的表面积公式计算可得，在所在的平面中利用正弦定理计算可得其外接圆的半径 ，利用勾股定理可得球心到平面的距离为1 【详解】 如图，根据球的表面积公式，可得 在所在的平面中， ，由正弦定理可得 ，所以 平面 在中，球心到平面的距离 故答案为：1 14. 已知正四棱锥的底面边长为2，现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为1：4，若截去的小棱锥的侧棱长为2，则此棱台的表面积为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据棱台的上、下底面的面积之比为1：4，利用相似比得到棱台的上、下底面的边长之比为1：2，再根据截去的小棱锥的侧棱长为2和正四棱锥的底面边长为2，得到棱台的底面边长和斜高，代入公式求解. 【详解】如图所示： 因为棱台的上、下底面的面积之比为1：4， 所以棱台的上、下底面的边长之比为1：2， 因为截去的小棱锥的侧棱长为2， 所以正四棱锥的侧棱长为4， 又因为正四棱锥的底面边长为2，即， 所以， 作，则， ， 所以此棱台的表面积为， 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数（其中为虚数单位）. （1）求； （2）求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据共轭复数的定义计算可得； （2）根据复数模的定义计算可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以. 16. 已知在中，内角所对的边分别为.，求角和边. 【答案】当时，，；当时，， 【解析】 【分析】 由正弦定理求得可得或，进而分类讨论，即可求解，得到答案. 【详解】由正弦定理，得，因为，所以或， 当时，，此时； 当时，，此时. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确计算是解答的关键，同时注意由正弦定理求得，得到或，防止丢解是解答的难点，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 17. 为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得，，，，同时测得海里. （1）求的长度； （2）求，之间的距离. 【答案】（1） （2）海里 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，再中，利用正弦定理，即可求解； （2）根据题意求得，中，由余弦定理求得，再在中，利用余弦定理求得，即可求解. 【小问1详解】 如图所示，在中，，，且海里. 可得， 又因为，所以， 由正弦定理，可得. 【小问2详解】 因为，且，， 可得，所以， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得， 即（海里）所以间的距离为海里. 18. 已知一个圆锥的底面半径为，母线长为. （1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角; （2）若圆锥中内接一个高为的圆柱.求圆柱的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆锥侧面展开图的定义计算； （2）由圆锥截面性质，在轴截面中得到相似三角形，由比例性质可得圆柱的底面半径后可得圆柱表面积． 【详解】（1） （2）如图所示，设圆锥的底面半径为,圆柱的底面半径为，表面积为, 则 易知 ，即 【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，考查圆柱表面积，考查圆锥的内接圆柱性质．解题关键是掌握圆锥平行于底面的截面的性质． 19. 已知向量与共线，其中是的内角． （1）求角的大小 ； （2）若，求的面积的最大值，并判断取得最大值时的形状． 【答案】（1）;（2）为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据两向量共线可得，再通过二倍角公式和辅助角公式化简为，最后求得三角形内角A的大小； （2）首先写出余弦定理,再利用基本不等式，可求得的最大值，以及基本不等式等号成立的条件时，判断三角形的形状. 【详解】（1）因为，∴， ∴，∴，∴， 又∵，∴，∴．∴． （2）由余弦定理得，， 而，，故（当且仅当“”时等号成立）， ∴，当的面积取最大值时，， 又，故此时为等边三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$