教考衔接1 解三角形中的热点问题-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

●数学·必修第二册（配RUA版） 衔接 解三角形中的热点问题 一、真题展示 三、类法探究 (2024·新课标I卷)记△ABC的内角 解三角形依赖于内角和定理、正弦定理、余 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC= 弦定理、三角形面积公式等，在三角形三个 2cos B,a2+62-c2=2ab. 角、三条边、三个心、三定理之间建立联系， (1)求B: 挖掘关系，一旦对给定关系式的结构判断 不准确，转化不到位，求解思维痛点就会产 (2)若△ABC的面积为3十3，求c. 生，卡壳点增加.解三角形问题时需要对其 解析(1)由余弦定理，得 进行以下分析：一是从“形”上分析：二是从 cos C-atb-_/2 “数”上分析.三角形中基本元素有六个（三 2ab 2 边、三角)，相关元素有四线（中线、角平分 又0<C<π，∴C=π 41 线、中垂线、高)及其性质有三定理（内角 和定理、正弦定理、余弦定理)，有多个公式 2cos B=sin C osB= 2 (三角形面积公式、海伦公式等)，还有多种 又0<B<π，B=T」 三角变换（倍角公式等），它们之间有着千 3 丝万缕的联系. (2)由(1)得A=π-B-C=5 -12 类型一利用正余弦定理解三角形 由正弦定理4 例1在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 sin A sin C' 得 a=1+3 别为a,b,c,且asin B=bsin(+）月 =C 2+62 2c. (1)求角A的大小； (2)若AB=3,AC=1,∠BAC的平分线 △ABC的面积S= 2amB=12× 交BC于点D,求AD的长 工自主解答] 3=3+8, 2 得c=22. 二、真题溯源 [教科书第54页习题6.4第22题 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的 对边，且acos C.+3 asin C-b-c=0. (1)求A: (2)若a=2,则△ABC的面积为3，求 b.c. 42 第六章平面向量及其应用。 凤思感悟 类型三解三角形中的最值（范围）问题 应用正弦、余弦定理的解题技巧 （1)求边：利用正弦定理变形公式a=bsin小等或 例3在△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C sin B =sin Bsin C. 余弦定理a2=b2十c2-2 bccos A等求解； (1)求A: (2)求角：利用正弦定理变形公式sinA=asin B等 (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值. b 或余弦定理变形公式c0sA+a等求解： [自主解答] 2bc (3)利用式子的特点转化：如出现a2+b-c2=Aab 的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正 弦的齐次式用正弦定理。 类型二三角形中与面积有关的问题 例2(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知 ∠BAC=120°，AB=2,AC=1. (1)求sin∠ABC: (2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求 △ADC的面积. [自主解答 凤思感悟 求三角形面积的方法 (1)若已知三角形的一个角（角的大小或该角的 正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积： 反思感阔 (2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余 先利用正弦定理化边为角，再利用三角形内 弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代 角和定理和辅助角公式，将目标函数转化为只含 入海伦公式求面积.总之，结合图形恰当选择面积 一个角的三角函数，最后利用三角函数的性质 公式是解题的关键. 求解」 24444a… 43⑧ [触类旁通] 教考衔接】解三角形中的热点问题 2.B设建筑物的高为PO=h(m),用h表示PA,PB,PC,利用 cos∠PBA十Co8∠PBC=0结合余弦定理求出h的值，即可 [例】[解析]I)周为asin B=bsin(A+牙)由正弦定理 得解 如图所示： 得sin Asin B=sin Bsin(A+吾)： 国为sinB≠0，所以simA=sin(A+号) 30☑A 所以nA=言snA+ 2 cos A, 045> A=。 2 cos A. 60 所以tanA=3. C 因为AE0:x.所以A=子 设建统物的高为PO=h(m),则PA= sin 30=2h,PB= h (2)在△ABD中，由正弦定理得 h sin 45 PC-sin 60 2 BD AB sin∠BADsin∠ADB' 3 由余弦定理可得 在△ADC中，由正弦定理得 COs/PBA-PBAB-PA'_AB-2h DC AC 2PB·AB sin∠DAC sin∠ADC: 2AB×√2h 图为sin∠BAD=sin∠DAC,sin∠ADB=sin∠ADC, cos/PBC=PB+BC-PC 号+AB 所以肥 2PB·BC 2W2h×AB 因为∠PBA十∠PBC=π， 所以AD=A店+B币=A店+BC=A店+3(A花-AB) 故cos∠PBA+cOs∠PBC=cos∠PBA+cOs(r-∠PBA) =0, 即AB-2 :号+A 号+花 =0, 所以=（迹+刘=6部+号+是· 2AB×√2h22h×AB 可得h=5AB=5×06=0 -×9+品×1+号×8x1x号-需 2 2×9 3(m) 故选B. 所以AD=33 [例3][解析]由题意，知AB=5(3十3)(n mile), [例2][解析](1)由余弦定理可得 ∠DB1=90°-60°=30°. BC=a2=6+e2-2bc0sA=4+1-2X2X1Xcos120°=7， ∠DAB=90°-45=45°. .∴.∠ADB=180°-(45°+30)=105 则BC=√7， AB 在△DAB中，由正弦定理得 BD Tsin∠DAB sina∠ADB' cos ZABC-4t-&-7+4-15/7 2ac 2×2×714 即BD=ABsin∠DAB_5(3+3)sin45 sin∠ADB sin 105 加∠ABC-V-O ZABC-√-5-A 2814 5(3+3)sin45 sin 45 coscos5si6103(n mile). 1×ABXADXsin90 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°， (2)由三角形面积公式可得二吧一了 BC=203(n mile), 2XACXADXsin 30 ·在△DBC中，由余弦定理，得 =4. CD=√BD+BC-2BD·BCcos∠DBC -/300+120-2×103×20B×号 [例3][解析](1)由正弦定理和已知条件得BC一AC =30(n mile), AB=AC·AB.① 则教接船到达D点需要的时间为器-1， 由余孩定理得B=AC+AB-2AC·ABsA.@ [触类旁通] 由①②得c05A=一立· 3.解析设辑私船用th则有在D处 追上走私船，画出示意图， 因为0<A<元，所以A=织 31 则有CD=103r(n mile), 30 AB BC BD=101(n mile), 在△ABC中， 459 、(2)由正弦定理及1)得B-mCmA=2尽，从而 759 AC=2 3sin B,AB=23sin (-A-B)=3cos B-3sin B. .AB=(3-1)(n mile). AC=2(n mile).∠BAC=120°， A 故BC+AC+AB=3+√3sinB+3cosB=3+ ∴.由余弦定理，得BC=AB+AC-2AB·AC·Os∠BAC= 23sim(B+号）片 (3-1)2+2-2·(W3-1)·2·c0s120°=6. '.BC=√6(n mile), 又0<B<音，所以当B=音时，△ABC周长取得爱大值8计 且∠AC-瓷·snAC-是·9-号 23. 622 章末整合提升 ∴.∠ABC=45°，BC与正北方向成90°角. :∠CBD=90°+30°=120°，在△CD中，由正弦定理，得sn∠BCD [深化提升]一题组训练 BD·sin∠CBD_10tsin120°=1 : 1.B AM-DM+DB-AM+MD+DB-AD+DB-AB. CD ,10w32 在平行四边形ABCD中，AB=DC, ∴∠BCD=30°.即辑私船沿北偏东60°方向能最快追上走 所以AM-DM+DB=DC. 私船 故选B. 12