第六章 数学探究 用向量法研究三角形的性质-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

2.C国为AP+2B驴+3C币=2B, AB,AC的单位向量， 所以3PC=AP+2(BP-BA)=AP+2AP=3A市， 即PC=AP, 如需+恶+含☑C,∠C 所以点P为AC中点 所以点P的轨迹必过△ABC的内心， 故选C, 答案内 3.C因为BC=2Ci. 所以A市=A店+BD=A店+BC=A店+名(A花-AB 2.解析 AB 由条件，得A币=Acos BA花cosC, -号+号心 从.成-（恶） 故选C. 4.A因为△ABC为直角三角形，且B=60°，AB=2,所以BC -Axi,1-∠m+Ax,成asC-. =4, ABlcos B IACleos C 且(AB,BC=120°， 得A市⊥B式，则动点P的轨证一定通过△ABC的垂心. 所以A店.BC=Ai1·1B×c0s120°=2×4×(-) 答案垂 3.解析由条件，得 -4. AB AC 故选A 0i+0c=入\cos B40， 0币- 5.C图为M是BC的中点： 2 所以PB+PC=2PM=AP 即前+C市 AB AC 又因为AM=2,AP=2PM, 2 ACIcos C 所以1可=号=青 成-（惑感）- 2 所以P.(P店+P心)=P,A市=-A=-6故选C 9 即市+乎.市-市=0. 2 6.D依题意1BC=3,AB1=2 得B驴-C市，B驴1=C序. ABl·cosB=1, 所以动点P的轨迹一定通过△ABC的外心 由于P是边AC上的动点，所以0°≤∠PBC≤60,2 答案外 cos∠PBC≤1， [例2][解析]延长OB至B,使BB=OB,延长OC至C, 所以A×号≤B·os∠PBC≤B×1,即1<· 使CC,■2OC,如图所示。 cos∠PBC≤3， 所以B元.BP=BC1·BP1·cos∠PBC∈[3,9]. 7.BCD因为m=(-1.3),n=(1,2), 所以m-2n=(-1,3)-2(1,2)=(-3,-1), 则|m-2n|=√(-3)+(-1)=V10,故A错误： B (m-2n)·m=-1×(-3)+3×(-1)=0,所以 (m-2n)⊥m,故B正确： 尉0B=2O成.OC=3O元，由条件， km十n=k(-1,3)十(1,2)=(-k十1,3k十2)， 得OA+OB,+OC=0, 又(m一2n)∥(m+n),所以一1×(-k十1)=一3× 所以，点O是△ABC的重心， (3k+2),解得=一2，故C正确： 从而5ar,=55m=5m,=号5. 又m=√(-1)+3=√10，n=√+2=5，m·n =1×(-1)+2×3=5, 其中S表示△AB,C,的面积， 片以m-品x后号 5 又(m,n》∈[0，，所以(m:m》=平，故D正确. 故选BCID. 8.D因为a与b的夫角0是纯角，所以co80=a·6 a·b =12：3. 3A-10 <0,且 3A-10 ≠一1， [例3][解析]对于空问两点A,B来说，满足MA+M店=0 √+4·9+25 √+4·√9+25 的点M是线段AB的中点：对于空间三点A,B,C来说，满足 解得且≠- MA+M店+M心-0，可认为是先取AB中点G,再连接CG,在 5 CG上取点M,使MC=2MG,则M满足条件，且唯一：对于空 数学探究用向量法研究三角形的性质 [例1门[解析]由原等式，得O币-OA=(AB+AC), 间四点A,B,C,D来说，满足Mi+M店+M心+M心=0.可先 即AP=A(AB+AC), 取△ABC的重心G,再连接GD,在GD上取点M,使DM 根据平行四边形法则，知AB+AC是△ABC的中线所对应向 3MG,则M满足条件，且唯一，不坊也称为重心G:与此类似， 量的2倍， 对于空间五点A,B,C,D,E来说，满足MA+M店+MC+ 所以点P的轨迹必过△ABC的重心」 M市+M亦=0，可先取空间四边形ABCD的重心G,再连接 [答案]重 GE,在GE上取点M,使EM=4MG,则M满足条件，且唯一， 变式训练] [答案]B 1.解析 条-成-（高十惑） [变式训练] 4.C设AB边的中点为D, 附o币=12(O+Oi+1+2元 3 3 13 ⑧ =21,-00市+1+2%元. 3 3 6,解析设BC的中点为M,则 OB+OC 2 =O成应，结合已知条件， 而20-0+1+2以=1. 得O市=OM+AA户，即M亦-AA产， 3 3 ∴.P点的轨连一定通过△ABC的重心 所以得到P,D,C三点共线， 答案重 所以P的轨迹一定过△ABC的重心，故选C 7,解析固为Ai=Aò+Oi=O成+O心. 5.解析由正弦定理，得ABIsin B=AClsin C-k, 所以Ai.B元=(Oi+O心)·(O元-Oi)=0, 所以原等式即为A护-之(+A心. 所以Ai⊥BC,同理B方⊥AC,C方⊥AB. 所以P点的轨迹一定通过△ABC的重心， 别，点H为△ABC的垂心. 答案重 答案垂 第七章 复数 7.1复数的概念 [触类旁通] 7.1.1数系的扩充和复数的概念 1.(1)解析对于复数a十i(a,bER),若a=0,b=0,则a十bi为 课前案·自主学习 实数0，若b=0,则a十i=a为实数，故A错误，B正确：若 [教材梳理] a∈R,则a十1≠0，所以(a+1)i是纯虚数，故C正确：显然D 正确 导学1 问题1][提示]没有. 答案BCD 问题2][提示] 有解(x=士)，但不在实数范国内. (2)解析①当：为实教时，m需要满足m-1=0,解得 O结论形成 1m>0. 1.虚数单位 -1 {a+ila,b∈R n=1. 2.实部虚部 ②当：为虚教时，m需要满足{m一1≠0， 3.a=c且b=d 1m>0, 导学2 解得m>0且m≠1. [问题1][提示]b=0. ③当x为纯虚数时，m需要满足 [问题2][提示]RC lgm=0,无解， 基础自测门 m2一1≠0， 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 即不存在m使：为纯虚数 2.A3i-2的虚部为3,3+②i=-3+√②i的实部为-3，故 [例2][解析](1)：x2-y+2.ryi=2i. 选A. 3.解析易知a=1,b=一2，所以a2+b=5. 0解得 y=1 y=-1. 答案5 (2)设方程的实数根为x=m, 4.解析(1)若复数g=一1一m+(2m一3)i为实数， 则3m-受m-1=（10-m-2mi 3 则2m-3=0,所以m= (2)若：为纯虚数，则一1一m=0, 3m-受m-1=0·解得4=11或a=- 5 所以n=一1. 10-m一2m2=0, [触类旁通] 答案1)2 (2)-1 2.解析因为m∈R,31=, 课堂案·互动探究 所以(2m+7)+(m一2)i=(m一8)+(4m+3)i [例1门(1)[解析]对于A,当∈R时，：≥0成立，否则不成 由复数相等的充要条件得 2m+7=m-8, 立，如=i,2=一1<0，所以A为假命题： m2-2=4m+3, 对于B,2i一1=一1十2i,其虚部是2，不是2i,B为假命题： 解得m=5. 答案5 对于C,2i=0+2i,其实部是0，C为真命题. 对于D,因为a+bi是实数，所以共虚部b=0, 7.1.2复数的几何意义 所以D是真命题.故选CD. 课前案·自主学习 [答案]CD 教材梳理 (2)[解析]①当m十3≠0， 导学 1m2-2m一15≠0， [问题1门 [提示] 一一对应 即m≠5且≠一3时，：是虚数. 「问题2]「提示 一一对应 1m2-m-6=0, 「问题3][提示] 由问题1、问题2可知能一一对应. ②当 ○结论形成 m+3 m2一2m一15≠0， 1.复平面实轴虚轴 即m=3或m=一2时，g是纯虚数. 3.la+i√/a+bi [母题变式] 4.(1)相等互为相反数(2)a一例 上解折当十015=0。 基础自测] 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 即m=5时，g是实数. 2.B=1十2=一2十i,.实部小于0，虚部大于0，故复数x对应 2.解析因为>0，所以：为实数，需满足 的点位于第二象很. m-m6>0,解得m=5, 3.A:复数z=(a2-2a)十(a2-a-2)i对应的点在虚轴上，∴.a- m十3 2a=0,∴.a=0或a=2 m一2m一15=0， 4.解析1=√(-1)+2=5. 3.解析，g是虚数， 答案⑤ .l0g1(3-m)≠0，且1十m>0, 课堂案·互动探究 13-m>0. 例1][解析](1)若：对应的点在实轴上，则有 即3-m≠1..-1<m<2或2<m<3. 1+m>0, 2a-1=0,解得a=2 .m的取值范国为（一1,2）U(2,3). (2)若g对应的点在第三象张，则有第六章平面向量及其应用© …)数学探究用向量法研究三角形的性质 在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年试题中，总 会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了学生分析问题、解决问题的能力.现 就“四心”作如下介绍 一、“四心”的概念与性质 二、向量法探究“四心”证明问题 1.重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到 探究1探究三角形三边的垂直平分线交 三角形顶点距离与该点到对边中点距离之 于一点 比为2：1；在向量表达形式中，设点G是 [证明]如图，在△ABC △ABC所在平面内的一点，则当点G是 中，取三边AB,BC,CA △ABC的重心时，有GA+GB+GC=0或 的中点D,E,F,作OD AB,OE⊥BC交于点O, PG=(PA+PB+P心（其中P为平面 连接OF,只要证明OF⊥CA 内任意一点)；反之，若GA+GB+G元=0， 因为OD⊥AB,OE⊥BC, 则点G是△ABC的重心. 所以O元·AB=0,O元·BC=0, 在向量的坐标表示中，若G,A,B,C分别 即(OF+FA+AD)·AB=0, 是三角形的重心和三个顶点，且分别为 (OF+FC+CE)·BC=0, G(,y),A(),B(z2,2),C(zs,ys), 由(O+2Ci+2A)·A店=0， 有x=十十西，y=为十业十为 3 O+2AC+2C)·BC=0, 2.垂心：三角形三条高线的交点叫垂心.它与 得(O+2C)·A店=0， ① 顶点的连线垂直于对边；在向量表达形式 中，若H是△ABC的垂心，则HA·HB= O+2AB)·BC=0. ② HB·H元=HC·HA或HA+B心= 由①+②，得OF.AB+OF.BC=0, HB十CA2=H心+AB,反之，若 即O示.(AB+BC)=0,所以O币.AC=0, HA.HB=HB·H心=H元·HA,则 于是OF⊥CA,得证， H是△ABC的垂心. 探究2探究三角形的三条高线交于一点 3.内心：三角形三条内角平分线的交点叫内 [证明] 如图，在△ABC 心.内心就是三角形内切圆的圆心，它到三 中，作高线AH⊥BC, 角形三边的距离相等.。 4.外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外 BH⊥AC, 心.外心就是三角形外接圆的圆心，它到三 连接CH,只要证明CH⊥AB. 角形的三个顶点的距离相等；在向量表达 因为AH⊥BC,BH⊥AC, 形式中，若点O是△ABC的外心，则 所以Ai⊥BC,Bi⊥AC, (OA+OB)·BA=(OB+OC)·CB=(OC+ OA)·AC=0或OA1=OB1=|OC,反之， 得A立.BC=0,Bi·AC-0. 若1OA1=OB|=1OC,则点O是△ABC 于是Ai·(Bi+HC)=0, ① 的外心 Bi·(AH+HC)=0. ② 47 O数学·必修第二册（配RUA版） 由①一②，得 规律方法 Ai.H元-Bi.H元=0， 本例可推广为：已知△ABC内一点O满足关 (Ai-B)·HC=0, 系入1OA+X2Oi+OC=0,则SAB0c:S△c0A: 得AB.H元=0，所以CH⊥AB,得证. S△A0B=入1：A2:A3: 三、“四心”的应用 例3设A1,A2,A3,A,,A,是平面上给定的 例1已知O是平面上的一定点，A,B,C是 平面上不共线的三个动点，若动点P满足 5个不同点，则使MA+MA,+MA+ OP=OA+1(AB+AC),A∈(0，十∞)，则 MA,+MA,=0成立的点M的个数为 点P的轨迹一定通过△ABC的 心. [变式训练] A.0 B.1 1.若动点P满足O市-Oi+x(A店 C.5 D.10 [变式训练] A ,λ∈(0，十∞)，则P点的轨迹一定 4.已知A,B,C是平面上不共线的三点， 通过△ABC的 心 O为△ABC的外心，动点P满足OP= (1-A)0A+(1-1)OB+(1+2)0C 2.若动点0满足OP=OA+( AB ABl cos B AC (λ∈R),则P的轨迹一定过△ABC的 )，λ∈(0，十∞)，则动点P的轨 IACI cos C ( 迹一定通过△ABC的 心 A.内心 B.垂心 3.若动点P满足O-O成，O元+A AB C.重心 D.AC边的中点 2 ABl cos B 5.O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线 AC ),A∈(0，十∞)，则动点P的 lACI cos C 的三个点，动点P满足OP=OA十 轨迹一定通过△ABC的 心 AB AC ABI sin B'ACI sin C )，A∈(0，十∞)，则 例2已知△ABC内一点O满足关系OA+ P点的轨迹一定通过△ABC的 心 2Oi+3OC=0,试求S△c:S△amA 6.O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共 SAAOB的值. [自主解答] 线的三个点，动点P满足O=O觅+O心， 2 AAP,入∈(0，十∞)，则P的轨迹一定通过 △ABC的 心 7.在△ABC中，O为外心，H为△ABC所在 平面内一点，且Oi=OA+OB+OC,则点 H为△ABC的 心 48