10.3.2 随机模拟-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

第十章 概率 [触类旁通] D. 甲、乙两人各写一个数字,若是同奇或 3.甲、乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是 同偶则甲胜,否则乙胜 ( __ 课堂小结 A.抛一枚毂子,向上的点数为奇数则甲 知识落实 技法强化 胜,向上的点数为偶数则乙胜 (1)频率与概率的区别与联系, B.同时抛两枚相同的般子,向上的点数之 (2)用随机事件的频率估计频率与概率的关 概率。 系不清。 和大于7则甲胜,否则乙胜 (3)游戏的公平性 C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张, 请完成[课后案]学业评价(四十三) 扑克牌是红色则甲胜,是黑色则之胜 10.3.2 随机模拟 学业标准 素养目标 1.了解随机数的意义. 1.通过对利用随机模拟的方法估计事件的概率,培 2.会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟) 养学生数学建模素养. 估计概率.(重点) 2.通过学习事件概率的计算,培养学生数学运复 3.理解用模拟方法估计概率的实质。(难点) 素养。 课前案·自主学习 必备知识 素养初成 教制梳理 2.蒙特卡洛方法 利用隔机模拟解决问题的方法为豪特卡落 导学 随机模拟试验 方法. ②问题 用频率估计概率时,需做天量的重 1基础自测 复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) 性,有没有其他代替试验的方法? (1)随机数是用计算机或计算器随便按键 产生的数. ( ) (2)用计算器或计算机产生的随机数是伪 随机数. ( ) (3)不能用伪随机数估计概率 ) 结论形成 (4)随机模拟方法只适用于试验结果有限 1.产生随机数的方法 的试验. 。 ) (1)利用计算机或计算机软件产生随机数 2.利用抛硬币产生随机数1和2,出现正面 (2)构建模拟试验产生随机数 表示产生的随机数为1,出现反面表示产 167 ·数学·必修 第二册(配RJA版) 生的随机数为2.小王抛两次,则出现的随 6.7,8,9表示手术成功;再以每3个随机 _ ) 机数之和为3的概率为 数为一组,作为3例手术的结果,经随机模 . 拟产生如下10组随机数;812,832,569. 683,271,989,730,537,925,907 由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为 ( ) 3.某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机 A.0.2 B.0.3 C.0.4 模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的 D.0.5 概率:先利用计算器或计算机产生0~9之 4.在利用整数随机数进行随机模拟试验中 间取整数值的随机数,由于成功率是0.6. 整数a到整数5之间的每个整数出现的可 能性是 故我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5, 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 一题多解 [触类旁通] 随机数的产生方法 1.某校高一年级共20个班,1200名学生,期 例1要产生1~25之间的随机整数,你有哪 中考试时如何把学生分配到40个考场 些方法? 中去? [自主解答] 规律方法 随机数产生的方法比较 用计算器或计算机 方法 抽签法 产生 优点 保证机会均等 操作简单,省时、省力 耗费大量人力、物 由于是伪随机数,故不 缺点力、时间,或不具有 能保证完全等可能 实际操作性 168 第十章 概率 题型二 简单的随机模拟试验的应用 题型三 较复杂的随机模拟试验的应用 一题多变 例2 某篮球爱好者做投篮练习,假设其每次 投篮命中的概率是60%,若该篮球爱好者 例3种植某种树苗,成活率为0.9,请采用 连续投篮4次,求至少投中3次的概率,用 随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好 随机模拟的方法估计上述概率 4棵成活的概率,写出模拟试验的过程,并 [自主解答] 求出所求概率 [自主解答] [素养聚焦 ]借助随机模拟试验的应用,把数学运 算等核心素养体现在解题过程中。 [母题变式 期万法 在例3中若树苗的成活率为0.8,则5棵 在设计随机模拟试验时,注意以下两点 树苗至少有4棵成活的概率是多少 (1)要根据具体的事件设计恰当的试验,使试验能 够真正地模拟随机事件。 (2)注意用不同的随机数来表示不同的随机事件 过的发生, [触类旁通] 2.盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑 规律方法 球,用随机模拟法求下列事件的概率 (1)任取一球,得到白球;(2)任取三球,都 利用随机模拟估计概率应关注三点 是白球. 用整数随机数模拟试验估计概率时,首先要 确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结 果,我们可以从以下三方面考虑: (1)当试验的基本事件等可能时,基本事件总数即 为产生随机数的范围,每个随机数代表一个基本 过事件。 (2)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方 法确定表示各个结果的数字个数及总个数。 (3)当每次试验结果需要个随机数表示时,要把 n个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组 中的随机数字能否重复。 169 ·数学·必修 第二册(配RJA版) [触类旁通] 课堂小结 3.通过模拟试验产生了20组随机数 知识落实 技法强化 6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 (1)随机数产生的方法 要确定随机数的 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 (2)简单的随机模拟试验的应用。 范围和用哪些数 6576 5929 9768 6071 9138 6754 (3)较复杂的随机模拟试验的代表不同的试验 如果恰好有三个数在1,2,3,4,5,6中,表 应用. 过结果。 示恰好有三次击中目标,则四次射击中恰 请完成[课后案]学业评价(四十四)、 提示 阶段测评(七) 好有三次击中目标的概率约为 章末整合提升 1知网络 随机试验一样本空间一有限样本空间 随机事件 事件的分类 必然事件 不可能事件 -包含、并事件、交事件 事件的关系或运算 互斥事件一P(AUB)=P(A)+P(B) 概率 -对立事件一P(B)=1-PCA) 有限性 特征 等可能性 古典概型 -计算公式一P(A)-n(A) n(2) 事件的相互独立性一定义一计算公式一P(AB)一P(A)P(B) 频率的稳定性 -频率与概率 随机模拟 17069801 66097 77124 22961 10.3.2 随机模拟 74235 31516 29747 24945 57558 65258 74130 课前案·自主学习 23224 37445 44344 33315 27120 21782 [教材梳理] 58555 70362 61017 44134 92201 导学 45241 83005 56173 34783 16624 30344 94976 [问题] [提示] 可以利用计算机进行随机模拟试验代替真正 01117 的试验,它可以在短时间内多次重复地来做试验,不需要对试 这就相当于做了30次试验,在这些数组中,如果恰有一个0. 验进行具体操作,可以广泛应用到各个领域. 则表示恰有4棵成活,共有9组这样的数,于是我们得到种植 [基础自测] 1.(1)×(2)(3)×(4) 2.A 抛掷硬币两次,产生的随机数的情况有(1,1),(1,2). [母题变式] (2.1),(2,2)共四种,其中随机数之和为3的情况有(1,2), 解析 利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的 随机数,我们用0和1代表不成活,2到9的数字代表成活,这 样可以体现成活率是0.8.因为是种植5棵,所以每5个随机 3.A 由10组随机数知,4~9中恰有三个的随机数有569,989两 数作为一组,例如,产生20组随机数: 2_0.2. 23065 37052 89021 34435 77321 33674 组,故所求的概率为P一 01456 6 12346 22789 02458 99274 22654 18435 90378 4.解析 [a,b]中共有b一a十1个整数,每个整数出现的可能性 3 39202 17437 相等,所以每个整数出现的可能性是--a十!' 63021 67310 20165 12328 这就相当于做了20次试验,在这些数组中,如果至多有一个 答案 是0或1的数组表示至少有4棵成活,共有15组,于是我们得 -1 到种植5棵树苗至少有4棵成活的概率近似为15一20 课堂案·互动探究 0.75. [例1] [解析] 解法一 可以把25个大小形状相同的小球分 [触类旁通] 别标上1,2,3,..1.24,25,放入一个袋中,把它们充分揽伴,然 3.解析 表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576 后从中摸出一个,这个球上的数就称为随机数,放回后重复以 6754.共5组数,而随机数总共20组,所以所求的概率近似为 上过程,就得到一系列的1~25之间的随机整数。 解法二 可以利用计算机产生随机数,以Excel为例: (1)选定A1格,键入“一RANDBETWEEN(1,25)”,按Enter 答案 0.25 键,则在此格中的数是随机产生的; 章末整合提升 (2)选定A1格,点击复制,然后选定要产生随机数的格,比如 [深化提升]题组训练 A2至A100,点击粘贴,则在A2至A100的格中均为随机产 1.解析(1)从袋中随机取两个球,可能的结果有6种,而取出 生的1~25之间的数,这样我们就很快就得到了100个1~25 的球的编号之和不大于4的事件有两个,1和2,1和3,所以取 之间的随机数,相当于做了100次随机试验。 [触类旁通] 1.解析 要把1200人分到40个考场,每个考场30人,可用计 (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中, 算机完成。 然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为”,所有(n,”)有 (1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机. 16种,而n一m十2有1和3,1和4,2和4三种结果,所以n (2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相 同). (3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列,可得到 2.解析 (1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,观众甲选出 1200名学生的考试号0001,0002...,1200.然后0001~0030 3名歌手的样本空间0-((1,3,4),(1,3,5).(1,4,5)),事件 为第一考场,0031~0060为第二考场,依次类推. A包含2个样本点,则P(A)一 [例2] [解析] 利用计算机或计算器产生0到9之间取整数 值的随机数,用1.2,3,4,5,6表示投中,用7,8,9.0表示未投 设B表示事件“观众乙选中3号歌手”,观众乙选出3名歌手 的样本空间2-((1,2,3),(1,2,4).(1,2.5).(1,3,4),(1,3,5) 中,这样可以体现投中的概率是60%,因为投篮4次,所以每 4个随机数作为1组.例如5727,7895,0123,..1,4560,4581 (1,4.5).(2,3,4).(2,3.5).(2,4,5).(3,4,5).事件B包含 4698,共100组这样的随机数,若所有数组中没有7,8,9,0或 只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为n,则至少投中3次 .事件A与B相互独立,A与B相互独立,则AB表示事件 “甲选中3号歌手,且乙没选中3号歌手”. [触类旁通] 'P(AB)-P(A)·P(B)-P(A).[1-P(B) # 2.解析 用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球. (1)步骤:①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机 即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率 数,每一个数一组,统计组数n; ②统计这n组数中小于6的组数m; (2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手” (2)步骤:①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机 数,每三个数一组(每组数字不重复),统计组数a: 依题意,A,B.C相互独立,A.B.C相互独立, ②统计这a组数中,每个数字均小于6的组数6; 且ABC,ABC,ABC,ABC彼此互斥. ③任取三球,都是白球的概率估计值是吾 # 又 P(X-2)-P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) [例3] [解析] 先由计算机随机画数RANDBETWEEN (0.9),或计算器的随机函数RANDI(0,9)产生0到9之间取 ##3)→^A)# 整数值的随机数,指定1至9的数字代表成活,0代表不成活, 再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果,经随机模拟 产生随机数,例如,如下30组随机数: