10.3.1 频率的稳定性-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

=[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]·P(C)+ 张，四张，或者都不中奖，所以B不正确：10张票中有1张奖 P(A)P(B)[1-P(C)] 票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸 =(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9× 到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确. 0.8×(1-0.85)=0.329,. [例2门[解析](1)①表中依次填入的数据为：0.80,0.95， 所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329 0.88,0.92.0.89,0.91. [触类旁通] ②由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次， 3.解析用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B表 击中靶心的概率约是0.89. 示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C表示“抽得的两件 (2)①填入题表中的数据依次为1.000,0.800,0.900,0.857， 产品中恰有一件是正品”，用D表示“抽得的两件产品中至少有 0.892,0.910,0.913,0.893.0.903. 一件正品”，.则C=(AB)UAB),D=CU(AB). 填表如下： (1)由题意知，A与B是相互独立事件P(B)=1一P(B)=1一 每批 0.05=0.95,P(A)=0.96. 10 130 700 15002000 3000 粒数 所以两件都是正品的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.96×0.95=0.912. 发芽的 11663713701786 2709 (2)由于事件AB与AB互斥，所以恰有一件是正品的概率为 粒数 P(C)=P[(AB)U(AB)]=P(AB)+P(AB) 发芽的 =P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.96×0.05十0.04×0.95= 1.0000.8000.9000.8570.8920.9100.9130.893 频率 0.903 0.086. (3)由于事件AB与C互斥， ②由①估计该油莱好发芽的概率釣为0.900. 所以P(D)=P[(AB)UC]=P(AB)+P(C) 触类旁通 =0.912+0.086=0.998. 2.解析(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 10.3频率与概率 由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为 10.3.1频率的稳定性 60+50=0.55,故P(A)的估计值为0.5. 200 课前案·自主学习 (2)事件B发生当且仪当一年内出险次数大于1且小于4. 「教材梳理] 由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为 导学 30+30 =0.3,故P(B)的估计值为0.3. 「问题1]「提示]不对. 200 [问题2] [提示]对. (3)由所给数据得 [问题3][提示]可能有20个，也可能一个也没有 保賣0.85a a 1.25a1.5a1.75a2a ⊙结论形成 1.稳定于 频率0.300.250.150.150.100.05 [思考][提示](1)区别：在相同的条件下重复n次武验，观 调查的200名续保人的平均保费为 察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数1 0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+ 为事件A出现的频教，称事件A出现的比例厂，(A)=为事 1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a. n 图此，续保人本年度平均保费的估计值为1.19254. 件A出现的频率. 「例3]「解析]该方案是公平的，理由如下： (2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量. 各种情况如表所示： (3)频率是一个变量，随着试验次的变化而变化，概率是一 和 个定值，是某事件的因有属性， 4 5 6 7 联系：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率∫，(A) 随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率∫(A) 5 6 来估计概率P(A). 2 6 7 8 9 基础自测门 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 3 7 10 2.D因为在一次试险中，随机事件A可能发生也可能不发生，所 由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数宇之和 以随机事件A的颜率满足0区≤1.故选D. 为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的 3.B次品率为2%，故次品约8000×2%=160（件），故合格品 极奉卫=吕-？(2)班代表获胜的概率B=昌-号， 6 的件数可能为7840. P,=P,,机会是均等的，所以该方案对双方是公平的。 4.解析标准尺寸是40.00mm,并且误差不超过0.03mm,即 [母题变式] 直径需落在[39.97,40,03)范围内.由频率分布表知，所求频 率为0.20十0.50十0.20=0.90，所以直径误差不超过 1解析不公平.周为来积出现奇载的概率为音=了而出现 0.03mm的概率约为0.90. 答案0.90 %货的气本为器一子 课堂案·互动探究 2.解析(1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B.猜“不是4的整 [例1][解析]A中掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的 概率都是，故A正确：B中“出现1点”是随机事件，故B错 数倍”，这是调为“不是4的整数倍“的概率为哥=0,8，超过了 0.5,故为了尽可能获胜，选择方案B. 误：C概率是容规存在的，不因为人的意念而放变，故C错误： (2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A,这是因为方案 D连续撕3次，每次都出现最大点数6，则三次之和为18，故D A是猜“是奇数”和“是偶数“的概率均为0.5，从而保证了该游 正确.故选AD. 戏的公平性. [答案]AD [触类旁通] [触类旁通] 1,D一对夫妇生两个小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男）， 3.B对于AC,D,甲胜、乙胜的概牵都是2，游戏是公平的：对 (女，女)，所以A不正确：中奖概率为0.2是说中奖的可能性 于B,点数之和大于7和，点数之和小于7的概率相等，但点数 为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三 等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平， 39第十章概率© [触类旁通] (3)至少有一件正品的概率， 3.某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床 的正品率是0.96，乙机床的次品率是 0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取 一件，试求： (1)两件产品都是正品的概率； 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)相互独立事件的判断. 理解中对事件是否相 (2)恰有一件是正品的概率； (2)相互独立事件概率的 互独立判断易出现错 计算. 误，相互独立事件与 (3)相互独立事件的综合 互斥事件易混淆。 应用. 请完成[课后案」学业评价（四十二）》 10.3 频率与概率 10.3.1 频率的稳定性 学业标准 素养目标 1.通过对频率和概率联系和区别的学习，培养学生数 1.理解频率与概率的区别和联系.（难点） 学抽象素养。 2.结合实例，会用频率估计概率.（重点） 2.通过利用随机事件的频率估计其概率，培养学生数 学运算素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 问题2这100个品牌的食用油可能有20 个不合格，对吗？ 导学频率的意义 经市场抽检，质检部门得知市场上的食用 油合格率为80%，现将对市场上的100个 品牌的食用油进行检查 问题3以你对合格率的理解，这100个品 问题1这100个品牌的食用油一定有20 牌的食用油，不合格的应有多少个？ 个不合格，对吗？ 163 O数学·必修第二册（配RUA版）】 ◎结论形成 2.随机事件A的频率满足 1.频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离 A.m=0 B.=1 概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率 f.(A)会逐渐 事件A发生的概率 C.">1 n D.0<%<1 P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳 3.设某厂产品的次品率为2%，估算该厂 定性 8000件产品中合格品的件数可能为() 2.频率稳定性的作用 可以用频率f,(A)估计概率P(A) A.160 B.7840 【思考】频率和概率有什么区别和联系？ C.7998 D.7800 4.某制造商今年3月份生产了一批乒乓球， 随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓 >基础自测 球的直径（单位：mm),将数据分组如下： 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 分组 频数 频率 (1)频率是客观存在的，与试验次数无关 [39.95,39.97) 10 0.10 ( [39.97,39.99) 20 0.20 (2)概率是随机的，在试验前不能确定。 [39.99,40.01) 50 0.50 ( ) [40.01,40.03) 20 0.20 (3)随着试验次数的增加，频率一般会越来 合计 100 1.00 越接近概率」 () (4)某射击运动员射击20次，恰有18次击中 若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球 目标，则该运动员击中目标的概率是0.9. 的直径为40.00mm,则这批乒乓球的直径 ( 误差不超过0.03mm的概率是 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 规健方法 题型一 频率与概率的区别和联系 理解概率与频率应关注的三个方面 例1（多选题）投掷一枚普通的正方体骰子， (1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随 正确的见解有 ( 机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是 A.出现“点数为奇数”的概率等于出现“点 大量重复试验中事件A发生的频率的近似值. 数为偶数”的概率 B.只要连掷6次，一定会“出现1点” (2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在 C.投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果 次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律 “出现6点”的可能性就会加大 性，而概率就是其规律性在数量上的反映. D.连续投掷3次，出现的点数之和不可能 (3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与 等于19 联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待，而 [素养聚焦]借助频率与概率之间的关系，把数学 不是局限于某一次试验或某一个具体的事件. 抽象与数学运算等核心素养体现在解题过程中 164 第十章概率© [触类旁通] 规健方法 1.下列说法正确的是 ( ) (1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n A.由生物学知道生男生女的概率约为 的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身 0.5,一对夫妇先后生两个小孩，则一定 是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值 为一男一女 附近摆动，这个稳定值就是概率. B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸 (2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依 次计算频率，然后用频率估计概率. 5张票，一定有一张中奖 C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先 [触类旁通] 摸则谁摸到奖票的可能性大 2.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购 D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论 买该险种的投保人称为续保人，续保人本 谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1 年度的保费与其上年度出险次数的关联 如下： 题型二用随机事件的频率估计概率 上年度出险次数 0 1 2 3 ≥5 例2(1)某射手在同一条件下进行射击，结 保费 0.85aa1.25a1.a1.75a2a 果如下表所示 随机调查了该险种的200名续保人在一年 射击次数n 10 20 50100 200500 内的出险情况，得到如下统计表： 击中靶心次数m 8 19 44 92178455 出险次数 0 1 4 ≥5 击中靶心的频率四 频数 60 50 30 30 20 10 ①填写表中击中靶心的频率； (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费 ②这个射手射击一次，击中靶心的概率约 不高于基本保费”，求P(A)的估计值； 是多少？ (2)记B为事件：“一续保人本年度的保费 (2)某种油菜籽在相同条件下的发芽试验 高于基本保费但不高于基本保费的 结果如下表。 160%”.求P(B)的估计值； 每批粒数 51070130700150020003000 (3)求续保人本年度平均保费的估计值， 发芽的粒数 24960116637137017862709 发芽的频率 ①请完成上述表格（保留三位小数）； ②该油菜籽发芽的概率约为多少？ [自主解答] 165 ●数学·必修第二册（配RUA版） 题型三游戏的公平性 一题多变 2.若在例3中，转盘被平均分 成10等份（如图所示），转动 例3某校高二年级(1)(2)班准备联合举行 转盘，当转盘停止后，指针指 晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策 向的数字即为转出的数字 划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个 游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方 节目开始时，两班各派一人先进行转盘游 案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转 戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节 盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获 目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字 胜，否则甲获胜.猜数方案从以下两种方案 1,2,3,4,5,6,7的两个转盘（如图所示）， 中选一种： 设计了一种游戏方案：两人同时各转动一 A.猜“是奇数”或“是偶数”； 个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数 B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数 时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该 倍数”. 方案对双方是否公平？为什么？ 请回答下列问题： (1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪 种猜数方案？ (2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪 [自主解答] 种猜数方案？ [母题变式] 1.在例3中，若把游戏规则改为：两人各自由 转动转盘一次，转盘停止后，两个指针指向 的两个数字相乘，如果是偶数，那么(1)班 代表获胜，否则(2)班代表获胜.游戏规则 公平吗？为什么？ 规健方法 游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说， 获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公 平，否则就是不公平的。 (2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜 概率，再进行比较， 166 第十章概率© [触类旁通] D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或 3.甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是 同偶则甲胜，否则乙胜 ( ) 课堂小结 A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲 知识落实 技法强化 胜，向上的点数为偶数则乙胜 (1)频率与概率的区别与联系. B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之 (2)用随机事件的频率估计频率与概率的关 和大于7则甲胜，否则乙胜 概率。 系不清。 (3)游戏的公平性。 C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张， 扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 请完成[课后案】学业评价（四十三) 10.3.2 随机模拟 学业标准 素养目标 1.了解随机数的意义。 1.通过对利用随机模拟的方法估计事件的概率，培 2.会用模拟方法（包括计算器产生随机数进行模拟） 养学生数学建模素养 估计概率.（重点） 2.通过学习事件概率的计算，培养学生数学运算 3.理解用模拟方法估计概率的实质.（难点） 素养 必各知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 2.蒙特卡洛方法 利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛 导学 随机模拟试验 方法. ？间题用频率估计概率时，需做大量的重 基础自测 复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 性.有没有其他代替试验的方法？ (1)随机数是用计算机或计算器随便按键 产生的数. () (2)用计算器或计算机产生的随机数是伪 随机数 () (3)不能用伪随机数估计概率.() ⊙结论形成 (4)随机模拟方法只适用于试验结果有限 1.产生随机数的方法 的试验 ( (1)利用计算机或计算机软件产生随机数， 2.利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面 (2)构建模拟试验产生随机数. 表示产生的随机数为1，出现反面表示产 167