10.2 事件的相互独立性-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

数学·必修 第二册(配RJA版) 10.2 事件的相互独立性 学业标准 素养目标 1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的 1.通过学习两个随机事件独立性的含义,培养学生 含义. 数学抽象素养. 2.结合古典概型,利用独立性计算概率,(重点、 2.通过利用随机事件的独立性计算概率,培养学生 难点) 数学运算素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 【思考】 I教制梳理 (1)事件A与B相互独立可以推广 到n个事件的一般情形吗? 导学 相互独立事件 甲箱里装有3个自球、2个黑球,乙箱里装 有2个白球、2个黑球,从这两个箱子里分 (2)公式P(AB)-P(A)P(B)可以推广到 别摸出1个球,记事件A三“从甲箱里摸出 一般情形吗? 白球”,B一“从乙箱里摸出白球”. 问题1 事件A发生会影响事件B发生的概 率吗? 基础自测 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) 问题2 试求P(A),P(B),P(AB).并判断 (1)不可能事件与任何一个事件相互独立 三者有什么关系 ( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立 ( ) 结论形成 (3)“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A 1.相互独立事件的定义 B相互独立”的充要条件 ( ) 对任意两个事件A与B,如果P(AB)三。 (4)互斥事件是相互独立事件 ) 成立,则称事件A与事件B相互独 2.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回 立,简称为独立. 2.相互独立事件的性质 地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用 当事件A,B相互独立时,则事件 B表示“第二次摸得白球”,则A与B是 与事件 相互独立,事件 ) 与事件 A.互斥事件 相互独立,事件 B.相互独立事件 与事件 相互独立. C.对立事件 D.不相互独立事件 160 第十章 概率 3.甲、乙两班各有36名同学,甲班有9名三 4.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达 好学生,乙班有6名三好学生,两班各派 标的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三人都 1名同学参加演讲活动,派出的恰好都是 达标的概率是 ) ( 三好学生的概率是 ,三人中至少有一 A.24. 2 B. 人达标的概率是 课堂案·互动探究 关键能力 素养提升 题型一 事件独立性的判断 [触类旁通] 1.一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回 例1一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩 地摸球中,用A;表示第一次摸得白球,A 和生女孩是等可能的,令A一(一个家庭中 表示第二次摸得白球,则事件A.与A。是 既有男孩又有女孩),B一一个家庭中最 ( ) 多有一个女孩),对下列两种情形,讨论 A.相互独立事件 B.不相互独立事件 A与B的独立性 C.互斥事件 D.对立事件 (1)家庭中有两个小孩; 题型二 相互独立事件概率的计算 (2)家庭中有三个小孩 一题多变 [自主解答] 例2 甲、乙、丙3位大学生同时应骋某个用 人单位的职位,3人能被选中的概率分别 231 (1)求3人同时被选中的概率; (2)求3人中至少有1人被选中的概率 [自主解答] 规霍厉法 判断两个事件是否相互独立的两种方法 (1)定义法:根据定义,看一个事件的发生是否影 [母题变式] 响另一事件的发生,若没有影响,则两个事件就是 相互独立事件. 1.条件不变,求三人均未被选中的概率 (2)公式法:通过式子P(AB)一P(A)P(B)来判断 两个事件是否独立,若上式成立,则事件A,B相 互独立. [注意] 若A,B两事件互斥,则A,B不独立;若 A,B两事件独立,则A,B不互斥. 161 数学·必修 第二册(配RJA版) 23 (1)两人都能破译的概率; (2)恰有一人能破译的概率; 1”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概 (3)至多有一人能破译的概率 概率. 题型三 相互独立事件的综合应用 例3 某学生语、数、英三科考试成绩,在一次 考试中排名全班第一的概率:语文为0.9 数学为0.8,英语为0.85.问一次考试中; (1)三科成绩均未获得第一名的概率是 多少? (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是 多少? [自主解答] [素养聚焦] 通过相互独立事件的计算,把逻辑推 理与数学运算等核心素养体现在解题过程中, 规m万法 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤 (1)用恰当的字母表示题中有关事件, 规律万法 (2)根据题设条件,分析事件间的关系. 求较为复杂事件的概率的方法 (3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘 (1)列出题中涉及的各事件,并且用适当的符号 积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之 过表示, 间必须满足相互独立). (2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对 (4)利用乘法公式计算概率. 立,或者是相互独立),列出关系式 [触类旁通] (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行 2.甲、乙两人破译一密码,他们能破译的概率 _过计算。 (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时, 可先间接地计算对立事件的概率,再求出符合条 立,求两人破译时,以下事件发生的概率。 件的事件的概率. 162 第十章 概率 [触类旁通] (3)至少有一件正品的概率 3.某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床 的正品率是0.96,乙机床的次品率是 0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取 一件,试求: (1)两件产品都是正品的概率; 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)相互独立事件的判断 理解中对事件是否相 (2)恰有一件是正品的概率 (2)相互独立事件概率的 互独立判断易出现错 过计算. 误,相互独立事件与 (3)相互独立事件的综合 互斥事件易混淆 过应用. 请完成[课后案]学业评价(四十二) 10.3 频率与概率 10.3.1 频率的稳定性 学业标准 素养目标 1.通过对频率和概率联系和区别的学习,培养学生数 1.理解频率与概率的区别和联系.(难点) 学抽象素养. 2.结合实例,会用频率估计概率.(重点) 2.通过利用随机事件的频率估计其概率,培养学生数 学运算素养. 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 数材梳理 问题2这100个品牌的食用油可能有20 个不合格,对吗? 导学 频率的意义 经市场抽检,质检部门得知市场上的食用 油合格率为80%,现将对市场上的100个 品牌的食用油进行检查 问题3以你对合格率的理解,这100个品 问题1这100个品牌的食用油一定有20 牌的食用油,不合格的应有多少个 个不合格,对吗? 16310.2 事件的相互独立性 (1)3人同时被选中的概率 课前案·自主学习 [教材梳理] 导学 (2)3人中有2人被选中的概率 [问题1] [提示]不影响。 P-P(ABCUABCUABC)-$3x(-+$ [问题2][提示] P(A)-.P(B)-#,P(AB)-3×2 ($-)#+(-)#××寸--3 3人中只有1人被选中的概率 结论形成 P=P(ABCUABCUABC) 1.P(A)P(B) #$×(-)x×(1-)+(1-)(××(1- 2.A B A B A B (-)#×(1-)×-# [思考] (1)[提示] 对于n个事件A.,A,...,A.,如果其中任何一个 故3人中至少有1人被选中的概率为 事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响,则称事件 P+P+P-10+60+12-10 1.2359 A.,A.....A.相互独立. (2)[提示] 公式P(AB)一P(A)P(B)可以推广到一般情形: [母题变式] 如果事件A,A....,A.相互独立,那么这n个事件同时发生 1.解析 解法一 三人均未被选中的概率 的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(AA。...A。)一 =$AB)-(-)x(1-)x(1--1o P(A.)P(Ao)...P(A.). [基础自测] 解法二 由典例(2)知,三人至少有1人被选中的概率为。 1.(1)(2)(3)(4)× _1--0 2.D 根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知,A 与B不是相互独立事件. 2.解析 设甲被选中的概率为P(A),乙被选中的概率为P(B). 3.C 两班各自派出代表是相互独立事件,设事件A,B分别为 甲班、乙班派出的是三好学生,则事件AB为两班添出的都是 4.解析 由题意可知三人都达标的概率为P-0.8×0.6×0.5= 0.24;三人中至少有一人达标的概率为P-1一(1-0.8)×(1- 0.6)×(1-0.5)-0.96. P(B)-.(或P(A)-.P(B)-) 答案 0.24 0.96 课堂案·互动探究 故恰有2人被选中的概率 [例1] [解析] (1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为 0一((男,男).(男,女),(女,男),(女,女)》. [触类旁通] 它有4个基本事件,由等可能性知概率都为士. 2.解析 记事件A为“甲独立地破译出密码”,事件B为“乙独立 这时A一((男,女),(女,男)),B一(男,男),(男,女),(女, 地破译出密码”. 男). (1)两个人都破译出密码的概率为 AB一(男,女),(女,男)), 于是P(A)-,P(B)-,P(AB)-. (2)恰有一人破译出密码分为两类:甲破译出乙破译不出,乙 由此可知P(AB)去P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立. 破译出甲破译不出,即AB十AB, (2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 '.P(AB+AB)=P(AB)+P(AB) 一P(A)P(B)+P(A)P(B) 0一((男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女, ##(#)+(1#-)#-# 男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女). 由等可能性知这8个基本事件的概率均为-,这时A中含有 (3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码, .共概来为1-P(AB)-1-1-11 6个基本事件,B中含有4个基本事件,AB中含有3个基本 事件。 [例3] [解析] 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一 的事件为A,B,C,则A,B,C两两相互独立且P(A)-0.9 P(B)-0.8,P(C)-0.85. (1)“三科成绩均未获得第一名”可以用ABC表示 显然有P(AB)-3-P(A)P(B)成立. P(ABC)-P(A)P(B)P(C) -[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)] 从而事件A与B是相互独立的 -(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)-0.003 [触类旁通] 所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003 1.A 由题意可得A。表示“第二次摸到的不是白球”,即A:表示 (2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用 “第二次摸到的是黄球”,由于采用有放回地摸球,故每次是否 (ABC)U(ABC)U(ABC)表示. 摸到黄球或白球互不影响,故事件A,与A。是相互独立事件。 由于事件ABC,ABC和ABC两两互斥, [例2] [解析] 设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A,B.C. 根据概率加法公式和相互独立事件的意义,所求的概率为 P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) -P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) -[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]·P(C)+ 张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖 P(A)P(B)[1-P(C)] 票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,揽 -(1-0.9)×0.8×0.85+0.9x(1-0.8)×0.85+0.9$ 到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确. 0.8×(1-0.85)-0.329. [例2] [解析](1)①表中依次填入的数据为:0.80,0.95, 所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329. 0.88,0.92.0.89.0.91. [触类旁通] ②由于频率稳定在常数0.89附近,所以这个射手射击一次, 3.解析 用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”,用B表 击中犯心的概率约是0.89. 示“从乙机床生产的产品中抽得正品”,用C表示“抽得的两件 (2)①填入题表中的数据依次为1.000,0.800,0.900,0.857 产品中恰有一件是正品”,用D表示“抽得的两件产品中至少有 0.892.0.910.0.913,0.893,0.903 一件正品”,则C-(AB)II(AB),D-CI(AB). 填表如下: (1)由题意知,A与B是相互独立事件P(B)-1一P(B)-1 每t 700 15002000 70 130 10 2 0.05-0.95.P(A)-0.96. 3000 拉数 所以两件都是正品的概率头 P(AB)-P(A)P(B)-0.96×0.95-0.912 爱芽的 2 637 13701786 60 9 11 2709 (2)由于事件AB与AB互斥,所以恰有一件是正品的概率为 粒数 P(C)-P[(AB)U(AB)]-P(AB)+PCAB) 发芽的 1. 0000. 8000. 9000. 8570. 8920.910o. 9130. 893 -P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.96X0.05+0.04X0.95= 0.903 频率 0.086. (3)由于事件AB与C互斥. ②由①估计该油菜籽发芽的概率约为0.900. 所以P(D)-P[(AB)UC]-P(AB)+P(C) [触类旁通] -0.912+0.086-0.998. 2.解析 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 10.3 频率与概率 由所给数据知,一年内出阶次数小于2的频率为 60+50_0.55.故P(A)的估计值为0.55. 10.3.1 频率的稳定性 200 课前案·自主学习 (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4 [教材梳理] 由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 导学 30+30-0.3.故P(B)的估计值为0.3. [问题1][提示] 不对。 200 对。 [问题2] [提示] (3)由所给数据得 [问题3][提示] 保费 可能有20个,也可能一个也没有 0.85a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 结论形成 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 1.稳定于 0.05 [思考] [提示](1)区别:在相同的条件下重复n次试验,观 调查的200名续保人的平均保费为 察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数” 0.85a×0.30+x0.25+1.25a×0.15+1.5x0.15+ 为事件A出现的频数,称事件A出现的比例f.(A)-为事 1.75a×0.10+2a×0.05-1.1925a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a 件A出现的频率. [例3][解析] 该方案是公平的,理由如下: (2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量 各种情况如表所示: (3)频率是一个变量,随着试验次数的变化而变化,概率是一 个定值,是某事件的固有属性. ) 5 6 联系:对于给定的随机事件A.由于事件A发生的频率/.(A) 5 6 随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率f.(A) 1 7 8 来估计概率P(A). 2 6 [基础自测] 7 1.(1×(2)×(3)/(4) 7. 0 10 2.D 因为在一次试验中,随机事件A可能发生也可能不发生,所 由表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和 以随机事件A的频率“满足0<<1.故选D 为偶数的有6种,为奇数的也有6种,所以(1)班代表获胜的 3.B 次品率为2%,故次品约8000×2%一160(件),故合格品 的件数可能为7840. P.一P.,机会是均等的,所以该方案对双方是公平的. 4.解析 标准尺寸是40.00mm,并且误差不超过0.03mm,即 直径需落在[39.97,40.03)范围内,由频率分布表知,所求频 [母题变式 率为0.20十0.50十0.20-0.90,所以直径误差不超过 0.03mm的概率约为0.90. 的机率为## 答案 0.90 课堂案·互动探究 2.解析(1)为了尽可能获胜,乙应选择方案B.猜“不是4的整 [例1] [解析] A中掷一枚毂子,出现奇数点和出现偶数点的 概率都是。,故A正确;B中“出现1点”是随机事件,故B错 0.5,故为了尽可能获胜,选择方案B. 误;C概率是客观存在的,不因为人的意念而改变,故C错误; (2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A,这是因为方案 D连续掷3次,每次都出现最大点数6,则三次之和为18,故D A是猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游 正确,故选AD. 戏的公平性。 [答案] AD [触类旁通] [触类旁通] 1.D一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男), 3.B 对于A,C,D.甲胜、乙胜的概率都是士,游戏是公平的;对 (女,女),所以A不正确:中奖概率为0.2是说中奖的可能性 于B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等,但点数 为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三: 等于7时乙胜,所以甲胜的概率小,游戏不公平. 30