10.1.4 概率的基本性质-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

·数学·必修 第二册(配RJA版) 2.在例3中奖励规则改为①若3<x士v<5. [触类旁通] 则奖励玩具一个;②其余情况没有奖,求小 3.先后抛掷两枚质地均匀的般子, 亮获得玩具的概率 (1)求点数之和为7的概率; (2)求掷出两个4点的概率; (3)求点数之和能被3整除的概率 [素养聚焦 借助古典概型的计算,把数学抽象与 数学运算等核心素养体现在解题过程中 规厘万法 课堂小结 解古典概型问题时,要牢牢抓住它的两个特 知识落实 点和其计算公式,但是这类问题的解法多样,技巧 技法强化 性强,在解决此类题时需要注意以下两个问题; (1)古典概型的定义 在列举样本点的个数 (1)试验必须具有古典概型的两大特征一一有限 (2)古典概型的概率公式. 时,要按照一定的顺 性和等可能性。 (3)概率与统计相结合. 序,做到不重、不漏; (2)计算基本事件的数目时,需要做到不重不漏,常借 助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件, 提初 请完成[课后案1学业评价(四十) 10.1.4 概率的基本性质 学业标准 素养目标 1.通过对概率性质的学习,培养学生数学抽象素养 1.通过实例,理解概率的性质.(难点) 2.通过利用随机事件概率的运算法则求解随机事件 2.掌握随机事件概率的运算法则.(重点、难点) 的概率,培养学生数学运算素养 课前案·自主学习 必备知识 素养初成 I教材梳理 结论形成 概率的基本性质 导学 概率的基本性质 性质1 对任意的事件A,都有P(A) 2问题 设事件A发生的概率为P(A),事 性质2 必然事件的概率为1,不可能事件 的概率为0,即P(2)一 件B发生的概率为P(B),那么事件AB ,P()一 发生的概率是P(A)十P(B)吗? 性质3 如果事件A和事件B互斥,那么 P(AUB)一 154 第十章 概率 性质4 如果事件A与事件B互为对立事 (3)事件A与B的和事件的概率一定大于 事件A的概率。 ,P(A)一 件,那么P(B)三 1 ) 性质5 如果ACB,那么P(A) (4)事件A与B互斥,则有P(A) 1-P(B). P(B). ) 2.甲、乙两人打兵乓球,两人打平的概率是 性质6 设A,B是一个随机试验中的两 个事件,我们有P(AB) 基础自测 3. 甲、乙两队进行足球比赛,若两队战平的概率 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“×”) (1)任意事件A发生的概率P(A)总满足 0<P(A)<1. ( ) 4.若P(AUB)=0.7.P(A)=0.4,P(B) (2)若事件A为随机事件,则0<P(A)<1. 0.6,则P(AOB)= ( ) 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 规律方法 题型一 互斥事件、对立事件的概率公式 及简单应用 一题多解 互反事件、对立事件的概率公式的应用 (1)互斥事件的概率加法公式P(AUB)一P(A)十 例1 一盒中装有各色球12个,其中5个红 P(B)是一个非常重要的公式,运用该公式解题 球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随 时,首先要分清事件间是否互下,同时要学会把一 机取出1球,求: 个事件分拆为几个互斥事件,然后求出各事件的 (1)取出1球是红球或黑球的概率; (2)取出的1球是红球或黑球或百球的 概率,用加法公式得出结果, 概率. (2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时, [自主解答] 可间接地先计算出其对立事件的个数,求得对立 事件的概率,然后利用对立事件的概率加法公式 P(A)十P(B)一1,求出符合条件的事件的概率。 [触类旁通] 1.备战奥运会射击队的某一选手射击一次 其命中环数的概率如表 10环 9环 8环 命中环数 7环 概率 0.18 0.32 0.28 0.12 求该选手射击一次 155 ·数学·必修 第二册(配RJA版) (1)命中9环或10环的概率; [素养聚焦] 借助互斥事件、对立事件的综合应 (2)至少命中8环的概率; 用,把逻辑推理与数学运算等核心素养体现在解题 (3)命中不足8环的概率 过程中。 规律万法 1.当事件个数没有很明显的规律,并且涉及的样 本点又不是太多时,我们可借助树状图法直观 地将其表示出来,这是进行列举的常用方法,树 状图可以清晰准确地列出所有的样本点,并且 画出一个树枝之后可猜想其余的情况。 2.在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形 题型二 互斥事件、对立事件概率公式的 式,则可以把全体样本点用平面直角坐标系中 综合应用 一题多变 的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出 样本点的个数,故采用数形结合法求概率可以 例2 有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在 使解决问题的过程变得形象、直观,给问题的解 a,,c,d四个席位上,现在这四人均未留 决带来方便。 意,在四个席位上随便就座时; [触类旁通] (1)求这四人恰好都坐在自已的席位上的 2.袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球。 概率; 黄球、绿球共12个,从中任取一球,得到红 (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上 的概率. [自主解答] 5 12 得到黄球或绿球的概率也是 (1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率; (2)从中任取一球,求得到的不是红球也不 是绿球的概率 [母题变式 1.求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的 概率. 2.求这四人中至少有2人坐在自已的席位上 的概率. 156 第十章 概率· 题型三 概率与统计的综合问题 规律方法 解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关 例3 2019年,我国施行个人所得税专项附 的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件 加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大 和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计 病医疗、住房贷款利息、住房租金、赠养老 算公式进行计算. 人等六项专项附加扣除,某单位老、中、青 [触类旁通] 员工分别有72,108,120人,现采用分层随 3.学校将高二年级某班级50位同学期中考 机抽样的方法,从该单位上述员工中抽取 试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统 25.人调查专项附加扣除的享受情况 计,得到如图所示的频率分布直方图,观察 (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人? 图中信息,回答下列问题 (2)抽取的25人中,享受至少两项专项附 频率/组距 加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C, 0.028-.- 0.024----- D,E,F.享受情况如表,其中“。”表示享 0.020--- 受,“×”表示不享受,现从这6人中随机抽 取2人接受采访. 0来 员工 项目 D E E A (1)试估计该班级同学数学成绩的平均分 子女教育 X C Q C (2)现准备从该班级数学成绩不低于 继续教育 X X C 130分的回学中随初选出两人参加某活 大病医疗 x X 动,求选出的两人在同一组的概率 士 住房贷款利息 x C C C 住房粗金 C x x X X 7 瞻养老人 x 。 ①试用所给字母列举出所有可能的抽取 结果; ②设M为事件“抽取的2人享受的专项限 加扣除至少有一项相同”,求事件M发生 的概率。 课堂小结 [自主解答] 知识落实 技法强化 (1)概率的基本性质 (2)互斥事件概率公式的将事件拆分成若干个 应用. 互斥的事件,易重复 (3)对立事件概率公式的和遗漏 应用. 请完成[课后案]学业评价(四十) 157⑧ 记“小亮获得玩具或水杯”为事件E,则事件E包含的样本点 课堂案·互动探究 个数共11个， 例1门[解析]解法一(1)从12个球中任取1球得红球有5 即E={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),(2,4),(3,3),(3,4), 种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5十4=9种不 (4,2),(4,3),(4,4)}. 同取法，任取1球有12种取法 所以PCE)= “任取1球得红球或黑球的概率为P=2一 9_3 2.解析用数对(xy)表示儿童参加活动先后记录的数， (2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取 则样本空间n与点暴S=(x,y)x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y 法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为 4}一一对应. 5+4+2= 因为S中元素的个数是4×4一16，所以样本点总数n-16. 12 121 记“3≤x十y≤5”为事件D,则事件D包含的样本点个数共 解法二（利用互斥事件求概率）记事件A,={任取1球为红 9个， 球}，A={任取1球为黑球}， 即D=(1,2),(2,1).(2,2),(1,3).(3,1),(1,4),(4,1), A={任取1球为白球)，A,=(任取1球为绿球}， 2,3,3,2.所以PD)=0 则P(A)= 是PA)-PA,)-品 5 [触类旁通] 3.解析如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应， P(A)=2 共36个，且每个样本点出现的可能性相等. 根据题意知，事件A,A2,A,A,彼此互斥，由互斥事件规率 公式，得 第678⑨10112 (1)取出1球为红球或黑球的极率为P(A,UA:)=P(A:)十 5 43 6、789、1011 P(A)=12+12=4 4 56789、10 (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 2 456789 PA.UA.UA=PA+PA+PA)音+是+ 的2 ③45678 1 12 23467 解法三（利用对立事件求概率） (1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球 第二次掷得向上的点数 为白球或绿球，即AUA2的对立事件为AUA,所以取得1 (1)记“点数之和为7”为事件A,从图中可以看出，事件A包含 球为红球成黑球的概率为P(A,UA:)=1-P(AUA,)=1一 的样本点共有6个，分别为(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)， P(A)-P(A,)=1-222 2193 (1,6), 61 (2)A,UA,UA的对立事件为A,所以P(A,UAUA) 故P(A)=386=6 111 (2)记“掷出两个4点”为事件B,从图中可以看出，事件B包 1-PA,)=1-立2 [触类旁通] 含的样本点只有1个，即(4,4). 1.解析记“射击一次，命中k环”为事件A(k=7,8,9,10). 故P(B)=36 (1)因为A,与A。互斥，所以P(A,十A)=P(A,)十P(A1) (3)记“点数之和能被3整除”为事件C,则事件C包含的样本 =0.28+0.32=0.60. 点共12个.分别为(1,2)，(2,1)，(1.5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)， (2)记“至少命中8环”为事件B.B=A十A,十Ao,又A, AAn两两互斥， 33).(3,6.(63.4.56,4.(6,6),故P(C=号=3 所以P(B)=P(A.)十P(A.)+P(A)=0.18+0.28+0.32 0.78. 10.1.4概率的基本性质 (3)记“命中不足8环”为事件C,则事件C与事件B是对立 课前案·自主学习 事件. [教材梳理] 所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22. 导学 例2][解析] 将A,B,C,D四位贵宾就座情况用下面图形 [问题][提示]不一定.当事件A与B互斥时，P(AUB)= 表示出来： P(A)+P(B):当事件A与B不互斥时，P(AUB)=P(A)+ P(B)-P(A∩B) G回 dD ©结论形成 D一G D一G ≥010P(A)+P(B) 1-P(A)1-P(B) P(A)+P(B)-P(A∩B) 回回 回 [基础自测] 1.(1)×(2)√(3)×(4)× D国 D- 2解析乙不榆表示为打平或获胜， B-d A-C 故共概率为P=日十日= D- G国 -G-囚 答案吾 B一回 B-d 3.解析 记甲队胜为事件A,时PCA=1-号-号-昌 D-回 G-国 答案 5 4回 A-d 12 G B D 4.解析因为P(AUB)=P(A)+P(B)一P(A∩B), D囚 -G囚 所以P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(AUB)=0.4+0.6 A一回 囚一回 0.7=0.3. 答案0.3 ⑧囚 -B一囚 36 如上图所示，本题中的样本点的总数为24. (2)由频率分布直方图可知，数学成绩不低于130分的人数为 (1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”， 50×0.08+50×0.04=4+2=6.其中，分数在[130,140)的有 则享件A只包合1个样本点，所以PA)= 4人，分别记作a,b,c,d,分数在[140,150们的有2人，分别记作 (2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”， 从该班级数学成鲼不低于130分的同学中选出2人共有15个 则率件B包含9个样本点，所以P(B)=员-受 样本点， 母题变式] 试验的样本空间如下：2=((ab),(ac),(ad),(am),(an), 1.解析设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则 (b),(bl),(bm),(bm),(cd),(cm),(ct),(dn),(dn),(mn)}, 事件C色含8个样本点， 其中，选出的两人在同一组的有7个样本，点，分别是：(b), 所以P(C)=24=3 81 (ae),(ad),(r）,(bd),(cd),(mn), 7 2.解析解法一设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己 故选出的两人在同一组的概率P=· 的席位上”，事件E为“这四人中有2人坐在自己的席位上”， 教考衔接5古典概型 则事件E包含6个样本点，则D=A十E,且事件A与E为互 [例1门[解析](1)由题意知，从6个国家中任远2个国家，其 乐事件，所以P(D)=P(A+E)=PA)十P(E)=+ 一切可能的结果组成的基本事件有(A1,A2,{A,A,(A, B},A1,B},A1,B),{A:,A},AB1},《A:,B2},{A2 B},{A1,B1},A,B2},{A,B},{B1·B2},B,B1},{B2, 解法二设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位 B.共15个 上”，则D=B+C, 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有(A,, 所以P(D)=1-P(B+C)=1-P(B)-P(C) A},（A1A2},A2A1},共3个， 对所表事件的概率为P-品- 触类旁通] (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任进1个，其一初可能的结果 2.解析(1)从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球” 组成的基本事件有{A1,B,(A,B,{A1,B,(A2,B, “得到黄球”“得到绿球”分别为A,B,C,D,它们彼此互斥，则 A,B},{A2,B,A,B},{A,B},{A3,B1},共9个， P(A)-P(BUC)=P(B)+P(C)- 5 包括A1但不包括B,的事件所包含的基本事件有{A1,B}, (A,B},共2个， 5 P(CUD)-P(C)+P(D)-P(BUCUD)-P(B)+P(C) 则所求事件的概率为P=吕 +P(D)=1-P(A)=1- 12 31 [例2][解析](1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0. 3 008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82, P(B)+P(C)-1 所以后三组的频率为1一0.82=0,18， 人数为0.18×50=9， 则P(C)+P(D)=2 由频率分布直方图得第八组的顿率为0.008×5=0.04，人数 PB)+PO+PD)=号 为0.04×50=2，设第六组人数为m,则第七组人数为m一1， 又m十m一1十2=9，所以m=4,即第六组人数为4，第七组人 解得PB)=PC)=名，P(D)= 数为3，频率分别为0.080.06，频率除以组距分别等于 4 0.016,0.012,则完整的频率分布直方图如图所示. 故得到黑球黄球，绿球的概率分别为·。·子 ◆频率/组距 (2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件AUD,由(1)及互斥 事件的藏率加法公式得P(AUD)=PA)+P(D)=3 1 1 7 0.06 4=12 故得到的不是红球也不是绿球的概率 P=1-P(AUD)=1-2-i2 7 5 1.0M [例3][解析](1)由已知，老，中、青员工人数之比为 6:9:10,由于采用分层随机抽样从中抽取25位员工，因此应从 老、中，青员工中分别抽取6人，9人，10人： 0.016 (2)①从已知的6人中随机抽取2人，样本空间Ω=(A,B), 0.012 0.008 (A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E), (B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共 0V5516)16517017518)18510195身高m 15个样本点： ②由表格知，事件M={(A,B),(A,D),(A,E),(A,F), (2)由(1)知身高在[180,185)内的男生有四名，设为a,b,c,d. (B,D),(B,E),(B,F),(C,E),(C,F),(D,F),(E,F)},共 身高在[190,195]的男生有两名，设为A,B. 11个样本，点， 若x,y∈[180，l85),有ah,ac,ad,bc,bd,cd共6种情况： 所以，事件M发生的概率P(M)=5: 11 若x,y∈[190,195]，只有AB这1种情况： 若x,y分别在[180,185)，[190,195]内，有aA,bA,cA,dA, [触类旁通] aB,bB,cB,dB共8种情况， 3.解析(1)由频率分布直方图可知，所求数学成绩的平均分为 所以基本事件的总数为6十8十1=15， 85×0.06+95×0.1+105×0.24+115×0.28+125×0.2+ 事件x一y≤5包含的基本事件的个数为6十1=7， 135×0.08+145×0.04=113.6, 故该班级同学数学成绩的平均分约为113.6. 故所求概率为行 37