10.1.3 古典概型-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

第十章概率。 规健方阔 “3件产品中至少有1件次品”，则下列 辨析互斥事件与对立事件的思路 结论正确的是 1.从发生的角度看 A.F与G互斥 (1)在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发 B.E与G互斥但不对立 生，也可能有一个发生，但不可能同时发生， C.E,F,G任意两个事件均互斥 (2)两个对立事件必有一个发生，但不可能同时 D.E与G互为对立 发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥， 未必对立，对立事件是互斥事件的一个特例. 课堂小结 2.从事件个数的角度看 知识落实 技法强化 互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的 概念只适用于两个事件. (1)事件的包含关系与相等 [触类旁通] 关系 互斥事件和对立事件 (2)并事件和交事件」 之间的关系易混淆. 3.已知100件产品中有5件次品，从这 (3)互斥事件和对立事件. 100件产品中任意取出3件，设E表示 事件“3件产品全不是次品”，F表示事 件“3件产品全是次品”，G表示事件 请完成「谍后案】学业评价（三十九） 10.1.3 古典概型 学业标准 素养目标 1.结合具体实例，理解古典概型。 1.通过古典概型的判断，培养逻辑推理等核心素养. 2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.2.通过应用古典概型的概率计算公式对古典概型计 (重点、难点) 算，提升数学运算、逻辑推理等核心素养」 必备知识 课前案·自主学习 素养韧成 >教材梳理 问题3问题2中事件A的概率是多少？ 导学 古典概型的概率 掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面 向上 ◎结论形成 问题1这个试验共有哪几种结果？样本点 1.概率的含义 的总数是几？ 对事件发生 的度量（数值）》 称为事件的概率. 2.古典概型的定义 问题2事件A={恰有一次正面向上〉包 试验具有如下共同特征： 含哪些试验结果？ (1)有限性：样本空间的样本点只有 个 (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 151 ●数学·必修第二册（配RUA版） 我们将具有以上两个特征的试验称为古典 (3)用古典概型的概率公式可求“在线段 概型试验，其数学模型称为古典概率模型， [0,5]上任取一点，此点小于2”的概率. 简称古典概型. () 3.古典概型的概率计算公式 (4)从甲地到乙地共n条路线，且这n条路长 一般地，设试验E是古典概型，样本空间2 短各不相同，求某人任选一条路线正好选中 包含n个样本点，事件A包含其中k个样 最短路线的概率是古典概型问题.() 2.(多选题)下列关于古典概型的说法中正确 本点，则定义事件A的概率P(A)= 的是 ,其中n(A)和n(2)分别表 A.试验中所有可能出现的样本点只有有 示事件A和样本空间2包含的样本点 限个 个数. B.每个事件出现的可能性相等 基础自测 C.每个样本点出现的可能性相等 D.样本点的总数为n,随机事件A若包含 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） k个基本事件，则P(A)=E (1)古典概型中每个事件发生的可能性相同. 3.从含有3件正品和1件次品的4件产品中不 ( 放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件 (2)古典概型有两个重要条件：①样本空间 是次品的概率为 中样本点总数是有限的，每次试验只出现 4.从三男三女共6名学生中任选2名（每名 其中的一个结果；②各个样本点的出现是 同学被选中的概率均相等)，则2名都是女 等可能的. 同学的概率等于 关健能力 课堂案·互动探究} 素养提升 题型一 古典概型的判断 规健方法 判断一个试验是古典概型的依据 例1下列概率模型是古典概型吗？为什么？ 判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住 (1)从区间[1,10们]内任意取出一个实数，求 古典概型的两个特征一一有限性和等可能性，二 取到实数2的概率； 者缺一不可. (2)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求正面朝 [触类旁通 上的概率； 1.下列试验是古典概型的是 ( (3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意 A.口袋中有2个白球和3个黑球，从中任 取出一个整数，求取到偶数的概率. 取一球，基本事件为{取中白球}和{取 [自主解答 中黑球》 B.在区间[一1,5]上任取一个实数x,使 x2-3.x+2>0 C.抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正 面或反面 D.某人射击中靶或不中靶 152 第十章概率。 题型二较简单的古典概型问题 题型三 较复杂的古典概型的概率 例2某学校有初级教师21人、中级教师 一题多变 14人、高级教师7人，现采用分层随机抽 例3某儿童乐园在“六一”儿童 指钊 样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工 节推出了一项趣味活动.参加 资情况进行调查. 活动的儿童需转动如图所示 (1)求应从初级教师、中级教师、高级老师 的转盘两次，每次转动后，待 中分别抽取的人数； 转盘停止转动时，记录指针所指区域中的 (2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中 数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则 随机抽取2名教师做进一步数据分析，求 如下： 抽取的2名教师均为初级教师的概率. ①若xy≤3，则奖励玩具一个： [自主解答 ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小 亮准备参加此项活动 (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概 率的大小，并说明理由 工自主解答] 规律团法 求解古典概型“四步”法 实)反复阅读通月，收集燕理海日中的各种信息 列判断试验是香为占典概烈 [母题变式] 列求舟诚验约样本空阿和所求帝件所包合的样本点的个氨 1.在例3中求小亮获得玩具或水杯的概率. 算计算出专英枫型的棍率，对应附商还要作咎 [触类旁通] 2.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无 放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上 的数字之积是4的倍数的概率为( A.5 c号 n号 153 ●数学·必修第二册（配RUA版） 2.在例3中奖励规则改为①若3≤x+y≤5， [触类旁通] 则奖励玩具一个：②其余情况没有奖，求小 3.先后抛掷两枚质地均匀的骰子 亮获得玩具的概率. (1)求点数之和为7的概率； (2)求掷出两个4点的概率： (3)求点数之和能被3整除的概率 [素养聚焦]借助古典概型的计算，把数学抽象与 数学运算等核心素养体现在解题过程中。 规健方法 课堂小结 解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特 点和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧 知识落实 技法强化 性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题： (1)古典概型的定义。 在列举样本点的个数 (1)试验必须具有古典概型的两大特征一有限 (2)古典概型的概率公式. 时，要按照一定的顺 性和等可能性 (3)概率与统计相结合. 序，做到不重、不漏。 (2)计算基本事件的数目时，需要做到不重不漏，常借 助坐标系，表格及树状图等列出所有基本事件。 请完成「课后案1学业评价（四十） 10.1.4 概率的基本性质 学业标准 素养目标 1.通过对概率性质的学习，培养学生数学抽象素养. 1.通过实例，理解概率的性质.（难点） 2.通过利用随机事件概率的运算法则求解随机事件 2.掌握随机事件概率的运算法则.（重点、难点） 的概率，培养学生数学运算素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 >教材鹼理 ○结论形成 概率的基本性质 导学 概率的基本性质 性质1对任意的事件A,都有P(A) ？问题设事件A发生的概率为P(A),事 性质2必然事件的概率为1，不可能事件 件B发生的概率为P(B),那么事件AUB 的概率为0，即P(2)= ,P(0)= 发生的概率是P(A)+P(B)吗？ 性质3如果事件A和事件B互斥，那么 P(AUB)= 154“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”,即事件B与事件C!3.解析 设3件正品为A,B,C,1件次品为D,从中不放回地任 可能同时发生,故B与C不是互斥事件. 取2件, (5)由(4)的分析可知,事件E“一种报也不订”仅仅是事件C 试验的样本空间(AB,AC,AD,BC,BD.CD),共6个.其中恰 的一种可能,事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是 有1件是次品的样本点有AD,BD,CD,共3个,故P一 互斥事件. [触类旁通] 1.C 根据互斥事件的定义判断. 答案 甲站排头与乙站排尾可以同时发生,不互斥,4人站队,甲站排 头与乙不站排尾可以同时发生,不互斥,甲站排头与乙站排头 4.解析 用A,B,C表示三名男同学,用a,b.c表示三名女同学, 不可能同时发生,4人站队,甲不站排头与乙不站排尾可以同 则从6名同学中选出2人的样本空间AB,AC,Aa,Ab,Ac 时发生,因此只有C是互斥事件,故选C. BC.Ba,B,Bc,Ca,C,Cc.ab,ac.bc.其中事件“2名都是女同 [例2 解析 在投掷般子的试验中,根据向上出现的点数有 6种基本事件,记作A-(出现的点数为i)(其中i一1,2,..1,6). 则A-A.,B-AUA.C-AUAUA,D-A.UA.UA. 答案 。 (1)事件A与事件B互斥,但不对立,事件A包含于事件C,事 件A与D互斥,但不对立; 课堂案·互动探究 事件B与C不是互斥事件,事件B与D也不是互斥事件 [例1][解析](1)不是古典概型,因为区间[1,10]中有无限 事件C与D是互斥事件,也是对立事件. 多个实数,取出的实数有无限多种结果,与古典概型定义中 (2)AOB-,AUB-AUA.UA-出现点数1,3或4). “样本空间的样本点只有有限个”矛盾. AUD-A.UAUAUA.-出现点数1,2,4或6. (2)不是古典概型,因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面 BD一A.-出现点数4. 朝上”发生的可能性不相等,与古典概型定义中“每一个样本 BUC-AUA.UA.UA-出现点数1,3,4或5. 点发生的可能性相同”矛盾。 [母题变式] (3)是古典概型,因为在试验中样本点是有限的,而且每个整 1.解析 AOC-A,AUC-C-{出现点数1,3或5),BOC-A= 数被抽到的可能性相等。 出现点数3. [触类旁通] 2.解析 BUD-{出现点数2,3,4或6 1.C 根据古典概型的两个特征进行判断.A中两个基本事件不 -A.UAUA.UA.. 是等可能的,B中基本事件的个数是无限的,D中”中犯”与“不 CUD-(出现点数1.2,3,4,5.6 中躯”不是等可能的,C符合古典概型的两个特征. -A.UA.UA.UA.UA.UA. [例2 [解析] (1)由分层随机抽样知识得应从初级救师、中 [触类旁通] 级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1. 2.解析 (1)BCA.C二A,ECA,且A-BUCUE (2)在分层随机抽样抽取的6名教师中,3名初级教师分别记 (2)A0D一有正面向上,也有反面向上, 为A,A,A2名中级教师分别记为A,A,高级教师记为 BUC一(1次正面向上或2次正面向上). A..则从中抽取2名教师的样本空间为2一(A.,A。),(A.. AD-BUC A).(A.A).(A.A).(A.A).(A.A).(A.A).(A. [例3][解析](1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不 A.).(A,A).(A.A).(A.A).(A,A).(A,A).(A. 可能同时发生,所以它们是互斥事件,当恰有2名女生时它们 A.).(A,A。)),即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为 都不发生,所以它们不是对立事件. 初级教师(记为事件B)的样本点为(A,A。),(A,A),(A。, (2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同 A),共3种. 时发生,所以它们不是互斥事件。 (3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所 以它们是互斥事件,由于它们必有一个发生,所以它们是对立 [触类旁通] 事件。 2.C 无放回随机抽取2张方法有12,13.14.15,16,23,24,25 (4)当选出的是1名男生、1名女生时,“至少有1名男生”与 26.34.35,36,45,46,56共15种,其中数字之积为4的倍数的 “至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件。 触类旁通 3.D 由题意得事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件; [例3][解析] 用数对(r,y)表示儿童参加活动先后记录 事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;当事件F发 的数, 生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件, 则样本空间2与点集S-((x,y)lxN.yN,1x4,1< 故A,C不正确;事件E与事件G中必有一个发生,所以事件 3二一一对应。 E与事件G互为对立,故B不正确,D正确. 因为S中元素的个数是4×4-16,所以样本点总数n-16. 10.1.3 古典概型 (1)记“xv3”为事件A,则事件A包含的样本点个数共5个 课前案·自主学习 即A-((1.1).(1,2),(1,3),(2.1).(3,1)). [教材梳理] 所以P(A一 导学 [问题1][提示]共有正正、正反、反正、反反四种结果,样本 (2)记“xy一8”为事件B,“3<ry8”为事件C. 点总数是4 则事件B包含的样本点共6个,即B一((2,4),(3.3),(3,4). [问题2][提示]正反、反正。 (4.2).(4.3).(4,4).所以P(B)-63. 6_3 [问题3][提示] . 事件C包含的样本点个数共5个,即C一(1,4),(2,2),(2,3) 结论形成 (3.2).(4.1). 1.可能性大小 2.(1)有限(2)相等 _ 获得饮料的概率。 [母题变式 [基础自测] 1.解析 用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则样本 1.(1)X(2)(3)×(4) 空间2与点集S-((x,y)l:N.yN.1<x4,1y4)一 2.ACD 根据古典概型的特征与公式进行判断,A,C,D正确,B _对应。 不正确. 因为S中元素的个数是4×4一16,所以样本点总数n-16. 记“小亮获得玩具或水杯”为事件E,则事件E包含的样本点 课堂案·互动探究 个数共11个, [例1] [解析] 解法一 (1)从12个球中任取1球得红球有5 即E-(1,1),(1,2),(1,3).(2,1),(3,1),(2,4),(3,3),(3,4). 种取法,得黑球有4种取法,得红球或黑球共有5十4一9种不 (4.2).(4,3).(4,4)). 同取法,任取1球有12种取法。 '任取1球得红球或黑球的概率为P一 93 2.解析 用数对(工,y)表示儿童参加活动先后记录的数, (2)从12个球中任取1球得红球有5种取法,得黑球有4种取 则样本空间0与点集S-((r,y)lxN,yN,1<x<4,l<y 法,得白球有2种取法,从而得红球或黑球或白球的概率为 <4一一对应。 因为S中元素的个数是4×4-16,所以样本点总数”-16 12 解法二(利用互斥事件求概率) 记“3 x+v 5”为事件D,则事件D包含的样本点个数共 记事件A一任取]球为红 9个, 球,A一任取1球为黑球), 即D-(1,2),(2,1).(2,2).(1,3),(3.1).(1,4),(4,1). A.一任取1球为白球),A一(任取1球为绿球), 一 (2,3).(3.2)).所以P(D)一 则P(A)-,P(A)-4,P(A)- [触类旁通] __ 3.解析 如图所示,从图中容易看出样本点与所描点一一对应, 共36个,且每个样本点出现的可能性相等。 根据题意知,事件A,A。,A,A. 彼此互斥,由互斥事件概率 7810112 公式,得 ##A行 (1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A.UA。)一P(A)十 781011 5678、910 (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 67 4 8.9 45678 11. 24 57 解法三(利用对立事件求概率) (1)由法二知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球 第二次掷得向上的点数 为白球或绿球,即AA.的对立事件为AUA,所以取得1 (1)记“点数之和为7”为事件A,从图中可以看出,事件A包含 球为红球或黑球的概率为P(AUA。)-1-P(A UA.)-1- 一行行。 的样本点共有6个,分别为(6,1).(5,2),(4,3).(3,4).(2,5). P(A)-P(A.)-1一 # (1,). #### (2)A.UA.UA. 的对立事件为A.,所以P(A.UA.UA) (2)记“掷出两个4点”为事件B,从图中可以看出,事件B包 含的样本点只有1个,即(4,4). [触类旁通] 1.解析 记“射击一次,命中k环”为事件A.(-7,8,9,10). 故P(B)-. 36 (1)因为A。与A。互斥,所以P(A。十A。)=P(A。)十P(A。) (3)记”点数之和能被3整除”为事件C,则事件C包含的样本 -0.28+0.32-0.60. (2)记“至少命中8环”为事件B. B-A。十A。十A。,又A 点共12个,分别为(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4).(4,2). A.,A两两互斥, (3.3).(3.6).(6.3).(4.5),(5.4).(6,6),故P(C)-12-1. 363 所以P(B)-P(A)+P(A )+P(A)-0.18+0.28+0.32 10.1.4 概率的基本性质 0.78. (3)记“命中不足8环”为事件C.则事件C与事件B是对立 课前案·自主学习 事件. [教材梳理] 所以P(C)-1-P(B)-1-0.78-0.22. 导学 [例2] [解析] 将A,B,C.D四位贵宾就座情况用下面图形 [问题][提示] 不一定,当事件A与B互斥时,P(AUB)= 表示出来: P(A)+P(B);当事件A与B不互斥时,P(AUB)=P(A)十 P(B)-P(AOB). C结论形成 >0 1 0 P(A)+P(B)1-P(A)1-P(B) P(A)+P(B)-P(AOB) [基础自测] 1.(1)×(2)V(3)×(4)× 2.解析 乙不输表示为打平或获胜, 答案。 3.解析 记甲队胜为事件A,则P(A)-1--1-5. 43-12 答案 4.解析 因为P(AUB)=P(A)+P(B)一P(AOB). 所以P(AOB)=P(A)+P(B)-P(AUB)-0.4+0.6- 0.7-0.3. 答案0.3