10. 1.2 事件的关系和运算-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

第十章概率© (1)写出这个试验的样本空间； 课堂小结 (2)求这个试验样本点的总数； 知识落实 技法强化 (3)写出“第1次取出的数字是2”这一事 件的样本空间。 (1)随机试验， (2)有限样本空间. 在列举样本点时，要 (3)随机事件、必然事件与按照一定的顺序，做 不可能事件。 到不重、不漏 (4)随机事件的含义. 请完成[课后案】学业评价（三十八） 10.1.2 事件的关系和运算 学业标准 素养目标 1.通过对随机事件的并、交与互斥的含义的学习，培 1.了解随机事件的并、交与互斥的含义， 养学生数学抽象素养】 2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.（重点、 2.通过随机事件的并、交运算，培养学生数学运算 难点) 素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 >教材梳理 问题3若事件C发生，那么事件E会发生 吗？事件C,D,E又有何关系？ 导学事件的关系和运算 一袋中有2个红球、2个白球，从中摸出两 个球，记“摸出的两球是红球”为事件A, 问题4事件A与事件B能同时发生吗？ “摸出的两球是白球”为事件B,“摸出的两 事件A与事件E能同时发生吗？事件A 球是一红一白”为事件C,“摸出的两球至 与事件E的并事件是什么事件？交事件 少有一个红球”为事件D,“摸出的两球至 又是什么事件？ 少有一个白球”为事件E. 间题1若事件A发生，事件D发生吗？它 们是什么关系？ ◎结论形成 事件的关系和运算 (1)包含关系 问题2若事件C发生，则事件D会发生吗？ 一般地，若事件A发生，则事件B 事件A,C,D之间有何关系？ 定义 我们就称事件B包含事件A(或事件A 包含于事件B) 147 O数学·必修第二册（配RUA版） 续表 (4)互斥（互不相容） 含义 A发生导致B发生 般地，如果事件A与事件B 也就是说 是一个不可能事件， 符号 定义 B A(或AB) 即 ,则称事件A与事件B互斥 表示 (或互不相容) 图形 含义 A与B不能同时发生 表示 符号 表示 特殊 如果事件B包含事件A,事件A也包含 情形 事件B,即B2A且A2B,则称事件A 图形 相等 与事件B ,记作 表示 (2)并事件（和事件） (5)互为对立 般地，事件A与事件B 发 生，这样的一个事件中的样本点或者在 一般地，如果事件A与事件B在任何一 定义 事件A中，或者在事件B中，我们称这 次试验中有且仅有一个发生，即AUB= 个事件为事件A与事件B的并事件（或 定义 2,且 ,那么称事件A与事件B 和事件) 互为对立.事件A的对立事件记为 含义 A与B至少一个发生 含义 A与B有且仅有一个发生 符号 (或 符号 表示 表示 图形 图形 表示 表示 (3)交事件（积事件） 基础自测 般地，事件A与事件B 发生， 这样的一个事件中的样本点既在事件A 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“X”) 定义 中，也在事件B中，我们称这样的一个事 (1)若A,B表示随机事件，则A∩B与 件为事件A与事件B的交事件（或积事 AUB也表示事件. () 件) (2)若两个事件是互斥事件，则这两个事件 含义 A与B同时发生 是对立事件， () 符号 (或) (3)若两个事件是对立事件，则这两个事件 表示 也是互斥事件， () 图形 (4)若事件A与B是互斥事件，则在一次 表示 2 试验中事件A和B至少有一个发生， () 148 第十章概率© 2.从装有3个红球和4个白球的口袋中任取 A.恰有一个偶数和恰有一个奇数 3个小球，则下列选项中两个事件是互斥事 B.至少有一个奇数和两个数都是奇数 件的为 C.至少有一个奇数和两个数都是偶数 A.“都是红球”与“至少一个红球” D.至少有一个奇数和至少有一个偶数 B.“恰有两个红球”与“至少一个白球” 4.袋中装有9个白球、2个红球，从中任取 C.“至少一个白球”与“至多一个红球” 3个球，则①恰有一个红球和全是白球； D.“两个红球，一个白球”与“两个白球，一 ②至少有一个红球和全是白球；③至少有 个红球” 一个红球和至少有2个白球；④至少有一 3.(多选题)从1,2，…，9中任取两数，在下列 个白球和至少有一个红球.在上述事件中， 各对事件中，不是对立事件的为 ( 是对立事件的为 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 规健方法 题型一 事件关系的判断 判断事件间关系的方法 例1某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅， (1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还 记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少 是互斥、对立其发生的条件都是一样的。 订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事 件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也 (2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用 不订”.判断下列事件是否是互斥事件，如 Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部 果是，判断它们是否是对立事件. 结果，再进行分析 (1)A与C:(2)B与E;(3)B与D:(4)B与C; [触类旁通] (5)C与E. 1.甲、乙、丙和丁四个人站成一排，下列事件 [自主解答] 互斥的是 A.“甲站排头”与“乙站排尾” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排头” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 题型二事件的运算 一题多变 例2在投掷骰子试验中，根据向上的点数可 以定义许多事件，如：A={出现1点}，B= {出现3点或4点}，C={出现的点数是 奇数}，D={出现的点数是偶数}. [素养聚焦]借助事件间关系的判断，把逻辑推理 (1)说明以上4个事件的关系； 等核心素养体现在解题过程中. (2)求A∩B,AUB,AUD,B∩D,BUC. 149 ●数学·必修第二册（配RJA版）】 [自主解答] [触类旁通] 2.抛掷相同硬币3次，设事件A={至少有 1次正面向上}，事件B={1次正面向上， 2次反面向上，事件C={2次正面向上， 1次反面向上}，事件D=(至少1次反面向 上}，事件E=〈3次都正面向上. (1)试判断事件A与事件B,C,E的关系； (2)试求事件A与事件D的交事件，事件 [母题变式] B与事件C的并事件，并判断二者的 1.在例2的条件下，求A∩C,AUC,B∩C. 关系. 2.用事件A={出现的点数为}（其中i=1,2, …,6)表示下列事件： ①BUD:②CUD. 题型三 互斥事件与对立事件 例3某小组有3名男生和2名女生，从中任 选2名同学参加演讲比赛.判断下列每对 事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们 是不是对立事件. (1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； (2)“至少有1名男生”与“全是男生”； (3)“至少有1名男生”与“全是女生”； (4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生” [自主解答] 规律方法 事件间运算的方法 (1)利用事件间运算的定义：列出同一条件下的试 验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进 行事件间的运算 (2)利用Venn图：借助集合间运算的思想，分析同 一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结 果在图中列出，进行运算， 150 第十章概率© :规健方法 “3件产品中至少有1件次品”，则下列 辨析互斥事件与对立事件的思路 结论正确的是 ( 1.从发生的角度看 A.F与G互斥 (1)在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发 B.E与G互斥但不对立 生，也可能有一个发生，但不可能同时发生， C.E,F,G任意两个事件均互斥 (2)两个对立事件必有一个发生，但不可能同时 D.E与G互为对立 发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥， 未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例. 课堂小结 2.从事件个数的角度看 知识落实 技法强化 互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的 概念只适用于两个事件。 (1)事件的包含关系与相等 [触类旁通] 关系。 互斥事件和对立事件 (2)并事件和交事件」 3.已知100件产品中有5件次品，从这 之间的关系易混淆。 (3)互斥事件和对立事件. 100件产品中任意取出3件，设E表示 事件“3件产品全不是次品”，F表示事 件“3件产品全是次品”，G表示事件 请完成[课后案】学业评价（三十九） 10.1.3 古典概型 学业标准 素养目标 1.结合具体实例，理解古典概型 1.通过古典概型的判断，培养逻辑推理等核心素养. 2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.2.通过应用古典概型的概率计算公式对古典概型计 (重点、难点) 算，提升数学运算、逻辑推理等核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 问题3问题2中事件A的概率是多少？ 导学 古典概型的概率 掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面 向上 ©结论形成 问题1这个试验共有哪几种结果？样本点 1.概率的含义 的总数是几？ 对事件发生 的度量（数值） 称为事件的概率. 2.古典概型的定义 问题2事件A={恰有一次正面向上}包 试验具有如下共同特征： 含哪些试验结果？ (1)有限性：样本空间的样本点只有 个 (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 151⑧ 章末整合提升 4.解析(1)根据频率分布直方图，成绩不低于80分的频率为 [深化提升]—题组 10×(0.025+0.010)=0.35. 1.解析 小学中抽取30×150+75+25 150 18所学校：从中学中 由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计慈体的思 抽取30×150十5十5=9所学校. 想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为 答案189 600×0.35=210. 2,解析设C产品的样本数量为n,则A产品的样本数量 为n十10， (2)由图可知敦学成绩在80分以下所占比例为1一10X 、由题意知”十”十10十130一1。。，解得=80. (0.025十0.010)=0.65. 3000 故C产品的数量为80÷10-80（件）， 数学成绩在90分以下所占比例为1一10×0.010=0.9， 因此，80%分位数一定在[80,90)之间，设该较高一年级数学 答案800 3.解析 高三年级学生人数为430-160-180=90， 成绩的80%分位数为x: 设高三年级渤取工人，由分层随机抽样可得品-品解 由0.65+0.025(x-80)=0.8可得x=86, 得x=16. 估计该校高一年级数学成绩的80%分位数为86. 答案16 第十章 概率 10.1随机事件与概率 (4)“xy=4”包含以下3个样本点：(14)，(2,2)，(4,1)： 10.1.1有限样本空间与随机事件 “x=y”包括以下4个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4). 课前案·自主学习 触类旁通] 2.解析(1)这个试险的样本空间2={(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)， [教材梳理] (2,0),(2,1). 导学 (2)易知这个试脸的样本点的总数是6， [问题][提示](1)确定会发生：(2)骑定不会发生：(3)可能 (3)记“第1次取出的数字是2”这一事件为A.则A={(2,0). 发生也可能不发生 (2,1)} ©结论形成 10.1.2事件的关系和运算 1.(1)随机现象(2)①重复②明确可知 2.每个可能的基本结果创Ω《四，…四，》 课前案·自主学习 3.子集一个样本点都不会 教材梳理 [基础自测门 导学 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ [问题门[提示]事件A发生，则事件D一定发生，它们是包 2.ACDB是必然事件，其余都是随机事件 含关系」 3.B①为必然事件：②③为随机事件. [问题2][提示]事件C发生，则事件D一定会发生：事件D 4.解析从数字1,2,3中任取两个数字，共有3个结果：12， 包含事件A和事件C两个事件 [问题3][提示]若事件C发生，苏么事件一定会发生：事 13,23, 件D、事件E均包含事件C. 所以2={12,13,23} [问题4门[提示]事件A与事件B不能同时发生：事件A与 答案12,13,23) 事件E也不能同时发生：AUE是必然事件：A∩E是不可能 ■课堂案·互动探究 事件 工例1][解析](1)胸买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖， 。结论形成 所以是随机事件 (1)一定发生。C相等A=B (2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件， (2)至少有一个AUBA+B (3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无 (3)同时A∩BAB 法生存，所以是不可能事件」 (4)不能同时发生A∩BA∩B=A∩B= (4)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是 (5)A∩B=0AA∩B=⑦AUB=2 随机事件. 「基础自测] (5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出 :1.(1)/(2)×(3)/(4)× 现，所以是不可能事件 2.DA,B.C中两个事件是包含与被包含关系，只有D,两个事 [触类旁通] 件不可能同时发生，是互斥事件， 解析由必然事件、不可能事件，随机事件的定义即可得到： 3.ABD从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶 答案 共三种互斥事件，所以只有C中的两个事件才是对立事件. 答案③⑤④①② 4,解析①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥 [例2][解析](1)这个试验的样本空间Q={(正，正，正)， 事件 (正，正，反)，（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正， 答案② 反)，（反，反，正），（反，反，反）} 课堂案·互动探究 (2)样本点的总数是8. [例1][解析](1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲 (3)“恰有两枚正面向上“包会以下3个样本点：（正，正，反）. 报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥 (正，反，正)，（反，正，正） 事件 [母题变式] (2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能 解析(1)0={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2， 同时发生的，故事件B与E是互斥事件，由于事件B和事件E 3).(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3), 必有一个发生，故B与E也是对立事件. (4,4). (3)事件B至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订 (2)样本，点的总数为16。 甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不 (3)“x+y=5”包含以下4个样本点：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1) 是互斥事件， “x<3且y>1"包含以下6个样本点：(1,2)，(1.3)，(1,4)，(2,2)， (4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙 (2,3),(2,4) 报”订甲、乙两种报”，事件C“至多订一种报”中有3种可能： 34 “一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”，即事件B与事件C:3,解析设3件正品为A,B,C,1件次品为D,从中不放回地任 可能同时发生，故B与C不是互斥事件， 取2件， (5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C 试验的样本空间{AB,AC,AD,BC,BD,CD),共6个.其中拾 的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是 有1件是次品的样本点有AD,BD,CD,共3个，故P= 互斥事件】 [触类旁通] 6=2 1.C根据互斥事件的定义判断」 答案 甲站排头与乙站排尾可以同时发生，不互斥，4人站队，甲站排 头与乙不站排尾可以同时发生，不互斥，甲站排头与乙站排头 4.解析月A,B,C表示三名男同学，用a,b,c表示三名女同学， 不可能同时发生，4人站队，甲不站排头与乙不站排尾可以同 则从6名同学中选出2人的样本空间{AB,AC,Aa,Ab,Ac, 时发生，因此只有C是互斥事件，故选C BC,Ba,Bb,Be,Ca,Cb,Ccab,ac,bci,其中事件“2名都是女同 工例2][解析]在投掉骰子的试验中，根据向上出现的点数有 学”包含样本点的个载为3，故所求的概率为是= 1 6种基本事件，记作A=（出现的点数为（其中i=1,2,…,6) A=A,,B=A,UA,,C=A UA:UA:.D=A:UA,UA. 答案 (1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C,事 5 件A与D互斥，但不对立： 课堂案·互动探究 事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件： 例1][解析(1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限 事件C与D是互斥事件，也是对立事件 多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中 (2)A∩B=☑，AUB=A UA,UA.={出现点数1,3或4}， “样本空间的样本点只有有限个”矛盾 AUD=A,UA.UA,UA={出现，点数1,2,4或6. (2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面 B∩D=A,=(出现点数4). 朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每一个样本 BLUC=AUA2UA,UA={出现，点数1,3,4或5} 点发生的可能性相同”矛盾： 母题变式] (3)是古典概型，因为在试验中样本点是有限的，而且每个整 1.解析A∩C=A,AUC=C=(出现点数1,3或5}，B∩C=A,= 数被抽到的可能性相等」 (出现，点数3). 「触类旁通] 2.解析BUD={出现，点数2,3,4或6 根据古典概型的两个特征进行判断.A中两个基本事件不 =A.UA,UA.UA. 是等可能的，B中基本事件的个数是无限的，D中“中靶”与“不 CUD={出现点数1,2,3,4,5,6 中靶”不是等可能的，C符合古典概型的两个特狂。 =A UAUA,UA,UA:UA.. 例2][解析](1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中 [触类旁通] 级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1. 2.解析(1)B二A,C三A,EA,且A=BUCUE (2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记 (2)A∩D={有正面向上，也有反面向上}， 为A,,A2,A2名中级教师分别记为A1,A,高级教师记为 BUC=(1次正面向上或2次正面向上}， A。,则从中抽取2名教师的样本空间为口={(A,,A),(A,, A∩D=BUC A),(A1A),(A1,A）,(AA),(AA1）,(AA）,(A2 [例3][解析](1)因为“给有1名男生”与“恰有2名男生”不 A),(AA。),(AA）,(A1A),(A,A),(A,A）,(A1 可能同时发生，所以它们是互斥事件，当恰有2名女生时它们 A。),(A,A)},即料本点的总数为15，抽取的2名教师均为 都不发生，所以它们不是对立事件. 初级教师（记为事件B)的样本点为(A1,A2),(A,A),(A2, (2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同 A）,共3种 时发生，所以它们不是互斥事件. (3)图为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所 所以P(B)一 1 以它们是互斥事件.由于它们必有一个发生，所以它们是对立 触类旁通 事件 2.C无放回随机抽取2张方法有12,13,14.15,16,23,24,25 (4)当选出的是1名男生、1名女生时，“至少有1名男生”与 26,34,35,36,45,46,56共15种，其中数宇之积为4的倍数的 “至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件. [触类旁通] 是14,24,26,34,45,46共6，P-号-号故选C 3.D由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件： [例3][解析]用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录 事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件：当事件F发 的数， 生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件， 则样本空间n与点集S=(x,y)lx∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤ 故A,C不正确：事件E与事件G中必有一个发生，所以事件 3y≤4}一一对应 E与事件G互为对立，故B不正确，D正确. 因为S中元素的个数是4×4=16，所以样本，点总数n=16. 10.1.3古典概型 (1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的样本，点个数共5个， 课前案·自主学习 即A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)} 「教材梳理] 导学 所以P(A)=6,即小亮获得玩具的概率为G [问题门[提示]共有正正、正反，反正，反反四种结果，样本 (2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C. 点总教是4 则事件B色含的样本点共6个，即B={(2,4),(3,3),(3,4), [问题2][提示] 正反、反正. 3 4,2.(43),(4,4儿.所以P(B)=6=8 [问题3][提示] 2 事件C包含的样本点个数共5个，即C={(1,4),(2,2),(2,3), 。结论形成 (3,2),(4,1). 1.可能性大小 2.(1)有限(2)相等 所以P(C)=最国为是>语，所以小亮茂得水杯的概奉大于 a克-出 获得饮并的概率。 母题变式] 「基础自测] 1.解析用数对（江，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本 1.(1)×(2)/(3)×(4)/ 空间n与点集S=((x,y)x∈N,yEN,1≤x≤4,1y≤4}一 2.ACD根据古换概型的特征与公式进行判断，A,C,D正确，B 一对应 不正确. 因为S中元素的个数是4×4=16，所以样本点总数n=16. 35