7.2.2 复数的乘、除运算+教考衔接2 复数-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

●数学·必修第二册（配RJA版】 7.2.2复数的乘、除运算 学业标准 素养目标 1.通过学习复数的乘法和除法，培养学生数学运算 1.结合多项式的乘法了解复数的乘法法则.（难点） 素养 2.理解共轭复数的概念.（重点） 2.通过学习复数乘法运算所满足的运算律，培养学 3.能进行复数的除法以及分母实数化.（重点） 生数学抽象素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 业教材梳理 导学2复数的除法 ?问题 如何规定两复数x1=a十bi,2= 导学1复数的乘法 c+di(a,b,c,d∈R,c+di≠0)相除？ 问题①两实数可以相乘，两复数可以相 乘吗？ ◎结论形成 复数的除法法则 问题2复数代数形式的乘法与多项式的乘法 (a+bi)(c+di)actbdbcad c2+d2 c2+d2 相类似吗？ (a,b,c,d∈R,十di≠0). 基础自测 问题3复数的乘法满足交换律、结合律、乘 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 法对加法的分配律吗？ (1)两个复数的积与商一定是虚数.() (2)两个共轭复数的和与积是实数.( (3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘 除，后加减。 ©结论形成 (4)(a+bi)(a-bi)=a2-b2. ( 1.复数的乘法 设之1=a十bi,2=c+di(a,b,c,d∈R)是 之.满足士=i近为虚数单位)的复数=（ 任意两个复数，则它们的积(a十bi)(c+di) B合 =ac+bci+adi+bdi?= 2.复数乘法的运算律 c.-+2 n-名- 对于任意1,2，∈C,有： 3.已知复数z=(2-ii,复数之=a十3i(a∈R), 交换律 318红= 若复数=k(k∈R),则a= 结合律 (3122）23= 4.设=4十2i,=3-i,且吃为纯虚数，则 乘法对加法的分配律 1（x2十3)= 实数a= 58 第七章复数。 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 复数的乘法运算 [触类旁通 1.(2022·新高考全国卷Ⅱ)(2十2i)(1一2i) 例1计算下列各题 ) (1)(1-i)(1+i)+(-1+i): A.-2+4i B.-2-4i (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. C.6+2i D.6-2i [自主解答 2.(多选题)若复数(1一i)(a+i)在复平面内 对应的点在第二象限，则实数a的值可以 是 ( A.1 B.-2 C.-3 D.-4 题型二 复数的除法运算 一题多解 例2 (1)3+i 1+i () A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i (2)(2024· 新课标1卷)若产=1十i,则 x= ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 规健方阔 1.两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式. (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数。 规律团团 (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将 1.两个复数代数形式乘法的一般方法 其化为复数的代数形式. (1)首先按多项式的乘法展开. 2.常用公式 (2)再将换成一1 (1) (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数 =-i2=i3-i 1- 的代数形式. [触类旁通 2.常用公式 3.(2022·新高考全国卷I)若i(1一x)=1, (1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,bER). 则之十z= (2)(a-bi)(a-bi)=a2+b2(a.bER). A.-2 B.-1 (3)(1土i)2=±2i. C.1 D.2 59 ●数学·必修第二册（配RUA版） 4.(2023·新课标I卷)已知之= +则 规健方法 解决复数方程问题的方法 之一之 ( 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相 A.-i B.i 等的充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与 C.0 D.1 系数的关系仍适用，但判别式“4”不再适用. 题型三在复数范围内解方程 一题多变 [触类旁通] 5.在复数集C内解方程z2一10x十30=0. 例3已知1+i是方程x2十bx十c=0的 个根(b,c为实数). (1)求b,c的值： (2)试判断1一i是否为方程的一个根。 [自主解答] [母题变式] 若将例3条件中的“1十i”改为“1十ai(a为 实数)”，判断a与c之间的关系. 课堂小绍 知识落实 技法强化 (1)复数的乘法及运算律. 分母实数化时忽视 (2)复数的除法运算。 =一1造成运算 (3)在复数范围内解方程， 错误 温 请完成「课后案]学业评价（十七人 提示 阶段测评（三） 60 第七章复数。 衔接 复数 一、真题展示 类型二 复数的四则运算 (2024·新课标Ⅱ卷)已知之=一1一i,则 3= ( 例2(1)已知复数1=2十ai,a∈R,2= A.0 B.1 1一2i,若为纯虚数，则x= () 2 C.√2 D.2 A.2 B.2② 解析|之|=|一1一i=√/(-1)2+(-1) =√2，故选C. C.5 D.25 答案C (2)(多选题)关于复数之及其共轭复数z, 二、真题溯源 下列说法正确的是 ()》 [教科书第73页习题7.1复习巩固第5题 A.z2=2 求复数，=3十4i及=号-②的模，并 B.|x2=1 C.x·x=|x|8 比较它们的模的大小. D.之一一定是纯虚数 三、类法探究 反思感悟 复数每年必考一小题，非常稳定，考查四则 复数代数形式运算的策略 运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较 类似于多项式的乘法，只要在所得的 小，考查代数运算的同时，主要涉及考查概 复数的 结果中把2换成一1，且把实部与虚 念有实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应 乘法 部分别合并 复平面的点坐标、复数运算等.无法直接计 算时可以先设之=a十bi. 复数的 分子、分母同乘分母的共轭复数，注 除法 意把ⅰ的幂写成最简形式 类型一复数的概念 类型三 复数的几何意义 例1 已知复数牛为纯嘘数，则实数a等于 例3 已知复数=，+2(1为虚数单位)，则 1-i A.-1 B.0 复数之在复平面内对应的点位于( C.1 D.2 A.第一象限 B.第二象限 凤反思感悟 C.第三象限 D.第四象限 解决复数概念问题的两个注意事项 反思感悟 求一个复数的实部与虚部，只需将已 注意 复数的几何意义体现了数形结合思想的运 知的复数化为代数形式g=a十i 事项 用，处理这类问题常用两种方法：一是利用复数的 (a,b∈R) 代数形式进行求解，即“化虚为实”，思路自然清 求一个复数的共轭复数，只需将已知 注意 晰，但运算较复杂：二是利用复数的几何意义进行 复数化为代数形式，实部不变，虚部 事项二 求解，显得简捷明快.另外，关于复数模的问题， 变为相反数 般可化为复平面内两点间的距离来解决。 61⑧ [触类旁通] 又此点在第二象限， 3.解析解法一设=a十i, =c+di(a,b,c,d∈R), 所以十10解得a<-1,所以选CD. 11-a>0, 1==|为1-=1， 0 [例2][解析] .a+b=c2+d2=1. 8+9二书-告-2-i 2 (a-c)+(b-d)2=1. ④ (2)解法-（解方程法）国为。子1+i.所以：-（一1） 由①②得2ac+2bl=1」 .l,+=√(a+c)+(b+d +i),即x=-1+i-,即i=1+i,所以=1中 =√a+c+6++2ac+2d=√5. (1十i0(一卫=1-i,故选C, 解法二设)为坐标原，点， i(-i) 1十对应的点分别为A,B,C “,x=l1=g1-2=1, 解法三（取斜载法）周为：音1+i所以号-中即1 ,.△OAB是边长为1的正三角形， 1-i ∴.四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且 2 2 :,十1是菱形的较长的对角线OC的长， =年1-i,故选C ∴.1十21=OC [答案](1)D(2)C =OAT+ACT-20AITACT cos 120*=3. [触类旁通] 7.2,2复数的乘、除运算 3.D 对原式两边同时乘以1得：一1=i,即之=1十i,所以： 课前案·自主学习 1一i,即：十g=2.故逸D [教材梳理] 导学1 4A国为--8得号-产- 2,所以 [问题1门[提示]可以. [问题2][提示]类似. - 故选A. [问题3][提示]满足. [例3][解析](1)：1+i是方程x2+bx十c=0的根， ⊙结论形成 .(1+i)3+b(1十i)十c=0, 1.(ae-bl)+(ad十bc)i 即(h+c)+(2+b)i=0. 2.2911(21）1十名 导学2 ÷+08解释22 问题][提示]通常先把(a十闭÷(c+di)写成“十的形式， (2)由(1)知方程为x2-2x十2=0，把1一i代入方程左边，得 再把分于和分母都乘：一i,化简后可得结果， (1一i)一2(1一i)+2=0,显然方程成立， (ali(e-di)(uc+b)+(had)i ,1一i也是方程的一个根. [母题变式] c+di (c+di)(c-di) c2+ 解析因为实系数复数方程的两根互为共轭复数， -ac+d+bc二ai(c+di≠0). 所以另一根为1一ai, c+d c+d 所以(1+ai)(1-ai)=c,即1+a=c. 基础自测门 故a与c之间的关系为1+a=c. 1.(1)×(2)/(3)/(4)× [触类旁通] 2.B由=，得计ii, 5.解析解法一配方，得(x一5)=一5， -i11 .:一5=5i或x-5=一5i 所以(1-iD:=-i,解得=立一2 ∴=5+所i浅x=5-5i. 3.解析依题意g,-1+2i,由2-k名1，得a十3i=(1+2i),即 解法二设=x十yi(x,y∈R), 有日-以北a-是 则(x+yi)2一10(x+yi)十30=0， 即(x2-y-10,r+30)+(2ry-10y)i=0, 答案是 1o0. 4.解析设1=i(bER且b≠0)，所以1=i·4, 解得F5我=5 y=5ly=-5. 即4+2i=i(3-4i)=4h+36i, ∴.：=5+√5i减g=5-√5i. 所以g二物：所以a=受 教考衔接2复数 2=3b, 答案 8 [例)[释折]周为侣得骨 课堂案·互动探究 _(a+1)士(1-a)i为绝虚教， 2 例1][解析](1)(1一i)(1+i)+(一1十i) =1--1+i=1+i. 所以a十1=0：解得a=-1.故造A 11一a≠0， (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i [答案]A =(-2+10i+i-5i)(3-4i)+2i [例2](1)[解析] =(3+11i)(3一4i)+2i 徐超意，-告-名*9+ (1-2i)(1+2i) =(9-12i+33i-442)+2i -2-2a+(a+4)i =53+21i+2i=53+23i. 5 [触类旁通] 1.D(2+2i)(1-2i)=2-4i十2i-4i=2-2i+4=6-2i,故 肉2方他盘数，将亿释释4=1：即=2+ 选D. 所以x1=√2+℉=/5. 2.BCD图为x=(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i, 故选C. 所以它在复平面内对应的点为(a十1,1一a), [答案]C 16 (2)[解析]对于A,设=i,测z2=1≠一1=z,故A不 6.BCD因为(-2)i=1+i 正确： 对于B,设=x十yi(x,y∈R),则=x-yi,从而=x2+ : 所以=1中+2=(1+i)(-D十2=3-A错误： y=x+(一y)=,故B正确； 所以=3十i,所以·*=(3一i)(3十i)=10,B正确： 对于C,设x=x十i(x,y∈R),则=x一3yi,从而·= (x十yi)·(x-yi)=x十y=2,故C正确： 所以在复平面内对应的向量为(3，一1)C正确： 设复数：在复平面上的对应点为P, 对于D,设=r十yi(x,y∈R),则=x一yi,从而之一交=2yi, 当y=0时，一=0是实数，故D错误. 图为：|=1，所以点P的轨迹为以原点为圈心，1为半径 故选BC. 的圆， [答案]BC 又复数在复平面上对应点Z的坐标为(3，一1)， [例】[解折]由题意：=答1+1+D= |一|的几何意义为点Z。,P的距离， 2 2 故复致：在复平面内对应的点（一宁·受）在第二象限，故 所以-|的最小值为√3+(-1)-1=/10-1， D正确. 选B. 故选BCD [答案]B 7.AD对A,|=(W3)2+1=2,故A正确： 章末整合提升 [深化提升门—题组训练 对B,1=3十i对应的坐标为(3，I),:=x十yi对应的坐标 为(x·y),因为OZ∥OZ,故3y-x=0,即x=3y,故B 2+i (2+i)×(2-i) 5 错误： 所以（得）+（号）-3 对C,若OZ1⊥OZ,则3x+y=0.即y=-3x,故1 51 1+i (1+i) (W3+i)(x一3.xi)=2√3x-2xi≠0.故C错误： 2.C圈为1-D=1+i,所以x一ad+D=i,所以 对D,若2十1≤5，即1(x十3)十(y十1)il≤，其几何意 这=一i. 义为(xy)到（一3，一1）的距离小于等于5，又4一2的几 3,BD由题意得= 221+D=1+i, 2 何意义为(x,y)到(0,2)的距离，故|4一2i的最大位为 故2=(1+i)2=2i,故A错误： √/(-√3-0)2+(-1-2)2+√5=33，故D正确， x=√1+1=√2，B正确： 之的共轭复数为1一1，C错误： 之的虚部为1，D正确。 故选BD 4B南题意可释=-2 2 一1 1一2i,则z=1+21 23￥ 故选B. 5.D周为(2十3i)z=4+8i25, 所以e-十8解-1+8_+8iD(2-3 2+31=2+3i-(2+3i)(2-3i) =2+i, 所以：=2一i,所以复数在复平面内对应的点为(2，一1)，位 故选AD. 于第四象限.故选D. 第八章 立体几何初步 8.1 基本立体图形 第1课时棱柱、棱锥、棱台 课前案·自主学习 [教材梳理] 导学1 黄少有三条 所有侧棱长相等 答案三相等 课堂案·互动探究 [例1门[解析]显然A正确：底面边数最少的棱柱是三棱柱， [问题1门[提示]由若千个平面多边形国成. 它有五个面，故B正确：底面是正方形的四棱柱，有一对侧面 工问题2][提示](4)(5)(6)的表面是由平面与曲而围成的， 与底面磨直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等， (7)的表面是由曲面围成的. 所以C错误；D正确，所以选C. [问题3][提示]可以. [答案]C ○结论形成 触类旁通门 1.形状大小空间图形 2.旋转面旋转体 1.ABDA错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； 导学2 B错误，枚柱的底面可以是三角形： 平行四边形平行平行其余各面公共边公共顶点 C正确，由棱柱的定义易知； 三棱柱四棱柱五棱柱平行六面体垂直于斜棱柱 D错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直. 正棱柱，多边形三角形多边形面 三角形面公共边 [例2][解析]棱锥的侧面是有公共顶，点的三角形，但是各侧 公共顶点三棱锥四棱锥五棱推四面体正多边形 棱不一定相等，故A,B不正确：棱台是由平行于棱锥底面的 垂直于平行于棱锥底面截面底面 平面战校锥得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，C正 「基础自测] 确：D中只有用一平行于底面的平面去截校锥，得到两个几何 1.(1)/(2)×(3)/(4)× 体，才能一个是棱锥，一个是棱台，故D不正确， 2.ABD由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台侧棱相等的说 [答案]ABD 法是错误的. [触类旁通] 3,C其中，A是被柱，B是校维，选项D中的几何体，廷长各侧 2,B根据枝锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边 棱后不交于同一点，故不是棱台，只有C满足棱台的定义 形，故选B 17