7.2.1 复数的加、 减运算及其几何意义-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

第七章 复数 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 学业标准 素养目标 1.结合加减运算法则了解复数代数形式的加、减运 1.通过学习复数的加法和减法运算,培养学生数学 算法则.(重点) 运算素养. 2.结合向量的加减运算明确复数代数形式的加、减 2.通过学习复数加法和减法运算所满足的运算律 运算的几何意义.(难点) 培养学生数学抽象素养. 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 导学2复数加法和减法的几何意义 如图,0Z,Oz。分别与复数z=a十bi, 导学1复数的加法和减法 。一c十di对应. 已知复数z-a十bi,=c十di(a,b,c,dER). 问题1 多项式的加减实质是合并同类项, Zfcd) 类比想一想复数如何加减? Zinb) 问题2 复数的加法满足交换律和结合 问题1 试写出O乙,Q及+。乙,Z 律吗? -O乙的坐标. 向题3 对问题2以交换律为例进行说明. 问题2 向量O+O,O-O乙对应的 复数分别是什么? 结论形成 1.复数的加、减法法则 设=a十bi,z.-c十di(a,b,c,dER). 结论形成 则2十二一 1.复数加、减法的几何意义 如上图,设在复平面内复数。,。对应的 2一。二 2.复数加法的运算律 向量分别为O乙,O乙,以O乙,OZ。为邻边 对于任意的,,z。C有 作平行四边形,则与z十z。对应的向量是 (1)交换律: ,与一。对应的向量是 (2)结合律:(z.十z)十z二 15 ·数学·必修 第二册(配RJA版) 2.复平面内的两点乙(x.,y),乙。(x,y)之 (4)复数的加法不可以推广到多个复数相 间的距离乙乙-乙乙= 加的情形. ( 2.在复平面内,AB,AC对应的复数分别为 基础自测 -1+2i,-2-3i,则BC对应的复数为 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) ( A.-1-5i (1)两个虚数的和或差可能是实数 B.-1+5i C.3-4i ( D.3+4i (2)若复数,满足z-0,则. 3.实数x,y满足(1十i)x十(1-i)=2,则 ) xy- (3)在进行复数的加法时,实部与实部相加 4.已知:是复数,一3且十3i是纯虚数 则- 得实部,虚部与虚部相加得虚部, ) 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 [触类旁通] 题型一 复数的加、减运算 1.计算下列各题 例1计算:(1)(-2+3i)十(5-i); (1)(3-2i)-(10-5i)+(2+17i) (2)(-1十/2i)+(1+/②i) (2)(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+ (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b-R). ...+(2021-2022i) [自主解答] 题型二 复数加减运算的几何意义 一题多变 例2 如图所示,平行四边形OABC的顶点 O,A,C分别表示0,3+2i,-2十4i.求 规律方法 复数的加、减运算的技巧 (1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相 过加减。 (2)把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并 过同类项. 36 第七章 复数· (1)AO表示的复数; [自主解答] (2)对角线CA表示的复数; (3)对角线OB表示的复数 [自主解答] [素养聚焦] 借助复数的综合运算,把数学运算等 核心素养体现在解题过程中, 规律万法 与复数模有关的几个常见结论 在复平面内,z,z。对应的点为A,B,z.十z对应 [母题变式] 的点为C,O为坐标原点. 例2的条件不变,求向量AB表示的复数 (1)四边形OACB为平行四边形。 (2)若|z+z=z-,则四边形OACB为 过矩形。 (3)若z 一zI,则四边形OACB为菱形。 (4)若lz=|zl且lz.+z。-z.-zl,则四边 形OACB为正方形. [触类旁通] 3.已知 ==-=1,求z+ 规律方法 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数;一a十bia,CR)是与以原点为起点 Z(a,b)为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是 其起点与终点所对应的复数可能改变, [触类旁通 2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为 1,,2,复数满足z-2=z-z|= 课堂小结 一z,则;对应的点是△ABC的 知识落实 技法强化 ( ) (1)复数代数形式的加、减运 A.外心 B.内心 算法则. C.重心 D.垂心 (2)复数加法、减法的几何解题过程中常忽略 意义. 题型三 复数加减运算的综合应用 模的几何意义. 一题多解 (3)复平面上两点间的距离 公式. 例3 设~,。C,已知l2|=|z。|=1; 提示 1十-、2,求-。. 请完成[课后案]学业评价(十六 2#1 0#解得-1<a<。# 导学2 (2a-1<0.* [问题1][提示]Oz-(a,),OZ=(cd). 故a的取值范围是(-1.). oz.+oz-(a+c.b+d). -oz.-(a-c.b-d). [触类旁通] 1.解析 若复数:的对应点在虚轴上,则m一m-2-0. [问题2] [提示]向量Oz +Oz。对应的复数是a十c十(b十d)i,也 所以m--1或m-2,所以:-6i或-0. 就是z十z,向量Oz-OZ。对应的复数是a-c十(h-d)i,也就是 若复数一的对应点在实轴负半轴上, 一 结论形成 1.022 所以m-1,所以x=-2. 2.(G-x)+(3y-)” [例2] [解析](1)s-3说明向量OZ的长度等于3.,即复数:在 [基础自测] 复平面内对应的点乙到原点的距离为3,这样的点乙的集合是以 1.(1)(2)X(3)(4)X 原点O为圆心,3为半径的圆。 2.A BC-AC-AB-(-2-3i)-(-1+2i (<2. (2)不等式1<sl<2可以转化为不等式组 =-1-5i. 1. 3.解析 由题意得x十y十(x-y)i-2, 不等式|=l<2的解集是园l-|-2及该圈 v1 .0 {七2解得 1y1. 内部所有点的集合. 1-1. 不等式|。|一1的解集是圆l|-1及该圆 答案1 外部所有点的集合。 4.解析 设:=a+bi(a,bR),则a十bi十3i-a十(b十3)i是纯虚数, 这两个集合的交集,就是满足条件1二]。 'a-0.b+3-0又'1l-3. <2的点的集合,如图中的阴影部分,所求 ..b-3.:-3i. 点的集合是以O为圈心,以1和2为半径 答案 3i 的两圆所央的圆环,并且包括圆环的边界 课堂案·互动探究 触类旁通 [例1][解析](1)(-2十3i)+(5-i) 2.解析 满足l:l2的点Z的集合是以原点0为圆心,以2为半 -(-2+5)+(3-1i-3+2i. 径的圈及其内部所有的点构成的集合..,所求图形的面积为S一 (2)(-1+2i+(1+2i=(-1+D+②+②)i=2 2n.故填2n. 答案2π (3)a+bi)-(2a-3bi)-3i-(a-2a)+(b+3-3)i--a+ (4-3)i. [例3] [解析] (1)由复数的几何意义, [触类旁通 可得0Z-(5.-4).0z-(-5.4). 1.解析 (1)原式-(3-10+2)+(-2+5+17)i 所以OZ+0Z-(5.-4)+(-5.4)-(0.0) 二-5+20i. 所以OZ+0Z对应的复数为0. (2)原式-(1-2+3-4+..+2019-2020+2021)+(-2+3 (2)由复数的几何意义, 4+5-...-2020+2021-2022)i-1011-1012i. 得O-(2,-3).OB-(-3.2). [例2] [解析] (1)因为A--OA,所以AO表示的复数 B$-O-0B-(2.-3)-(-3,2)-(5,-5). 为-3-2i. (2)因为CA-OA-OC,所以对角线CA表示的复数为(3+2i)- 所以BA对应的复数是5-5i. [答案](1)C(2)D (-2+4i)-5-2i. (3)因为对角线OB=OA+OC,所以对角线OB表示的复数为 [母题变式] (3+2i+(-2+4i)-1+6i. 1.解析 由例3(2)的解析可知BA对应的复数是5一5i,即;-5-5i, 所以:-5+5i. [母题变式 答案 5计5i 解析 因为AB-A0+OB,由例2的解析可知,A0表示的复数为 2.解析 复数2一3i表示的点A(2.一3)关于实轴对称的点为 一3-2i,OB表示的复数为1十6i,所以向量AB表示的复数为 C(2.3)..,向量OC对应的复数为2十3i. (-3-2i)+(1+6i)--2+4i. 答案 2+3i [触类旁诵 [触类旁通 2.A 由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数 3.解析 (1)-3一4i的共辄复数为三-3十4i,可知其对应的点在第 的对应点P到△ABC的项点A,B.C距离相等...P为△ABC 的外心. 一象限。 (2)由共矩复数的相关知识可知,AD正确. [例3][解析]解法一 设=a十bi,一c十di(a,b,c,dR),由 答案(1)A(2)AD 题设知+-1+f=1:(a+)+(+-2. 7.2 复数的四则运算 又'(a+c)+(+d)=+2ac+++2nd+d .2ac+2bd-0. 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 “l-。l-(a-o):+(6-dD{ 课前案·自主学习 -+++-(2ac+2bd)-2. [教材梳理] .--/②. 导学1 解法二作出.。对应的向量OZ,0乙. [问题1] [提示] 两个复数相加减就是把实部与实部,虚部与虚 O+oz-0. 部分别相加减,即(a十bi)士(c十di)-(a士c)十(士d)i. [问题2][提示]满足. ·'|-1.又.0不共线(若,共线,则 [问题3][提示]z.+z=(a+bi)+(c+di)-(a+c)+(b+d)i. l2.+z。l一2或0与题设矛盾). 2.+z=(c+di)+(a+bi)-(c+a)十(+bi. &平行四边形OZZ乙。为菱形。 '。十一:十&。 又十。1-/②. O结论形成 . 乙0乙-90. 1.(a+c)+(b+dDi(a-c)十(-d)i 即四边形O乙Z乙。为正方形, 2.(1)十=十(2).十(十z) 故-:-2. [触类旁通] 又此点在第二象限, 3.解析 解法一 设一a+bi. z.=c+di(a,b,c,deR). =*=1*|=, '+b= +=1. 。 (-c)+(-)=1. (2)解法一(解方程法)因为-1十i,所以-(-1)(1 由①②得2ac+2bl-1. 'lz+|- (a+c)+(+d) +i),即=-1十i-i,即zi=1+i,所以-1+i - +{++df+2ac+2b-、3 (1+i)(-)-1-i,故选C. 解法二 设O为坐标原点: i(-i) 2..?.十z。对应的点分别为A,B.C. 解法二(取倒数法)因为-1+i,所以^-1- l=l=l$-=1 *1,即1- .△OAB是边长为1的正三角形, 1。 -=(1+i)(1-i)2 '四边形OACB是一个内角为60{},边长为1的菱形,且 2 十。是菱形的较长的对角线OC的长, .+-OCl [答案](1)D(2)C =OAl+ACl-2OA||AClcos 120-3 [触类旁通] 7.2.2 复数的乘、除运算 3.D 对原式两边同时乘以i得:s-1-i,即;-1十i,所以 课前案·自主学习 1-i.即:十:-2.故选D. 4.A 因为-222(1+)(1-1)4 )(12--1以一 [教材梳理] 导学1 [问题 [提示]可以。 [问题2] [提示] 类似. 故选A. [问题3][提示] 满足。 [例3][解析](1)'1十i是方程x十hx十c-0的根, O结论形成 ..(1+D+(1+D+c-0. 1.(ac-b)+(ad+bc)i 2. 即(b十c)+(2+b)i-0. z(z)z1。十z 导学2 (2)由(1)知方程为x-2x十2-0,把1-i代入方程左边,得 (1-i)-2(1-i)+2-0,显然方程成立, 再把分子和分母都乘(一di,化简后可得结果, .1一i也是方程的一个根. 即thi(a+oi)(cdì)(ac+i)(-ad)i [母题变式] di(c+dì)(e-dì) ci_o0). 解析 因为实系数复数方程的两根互为共矩复数, 所以另一根为1一ai. [基础自测] 所以(l+ai)(1-ai)=c,即1十a-c. 故a与c之间的关系为1十a{}-c。 1.(1)×(2)(3)V(4)× [触类旁诵] 2.B 由十i-i,得:+i-xi, 5.解析 解法一 配方,得(一5)一-5. 所以(1-):--)#解得 -二--. .-5-1或:-5--、. .-5+51或:-5-51. 3.解析 依题意z.-1+2i,由z-k,得a+3i-(1+2i),即 解法二 设。-r十yi(x,yR). #才二_。 则(x+yi)-10(x+yi+30-0. 即(-y-10r+30)+(2ry-10y)i-0. 3 答案 12xy-10y-0. ## 4.解析 设-bi(b后R且bo),所以2-bi·2 解得{ 1r-5. --5. 即a+2i-bi(3-4i)-46+3bi. .-5+v51或:-5-i. 教考衔接2 复数 [91][解析]) 答案 (a十1)十(1-a)i为纯虚数, 课堂案·互动探究 2 [例1][解析](1)(1-i)(1十i十(-1+i 所以{1-0,解得a--1.故选A. -1--1+i-1+i. 1-a70. (2)(2-D(-1+5i)(3-4i)+2i [答案]A -(-2+10i+i-5)(3-4i)+2 [例2](1)[解析] 依题意,-2+gi(2+ai)(1+2i) -(3+11i)(3-4i)+2i :1-2i-(1-2i)(1+2i) -(9-12i+33i-44)+2 -2-2a+(a+4)i. -53+21i+2i-53+23i. 5 [触类旁通] 由二为纯虚数,得 {2-2a-0·解得a-1,即.-2+i, 1. D(2+2i)(1-2i)-2-4i+2i-4i-2-2i+4-6-2i,故 a十4-0. 选D. 所以|-2+1-5. 2.BCD 因为 -(1-i)(a+i)-a十1+(1-a)i, 故选C. 所以它在复平面内对应的点为(a十1,1一a), [答案]C