7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

⑧ =21,-00市+1+2%元. 3 3 6,解析设BC的中点为M,则 OB+OC 2 =O成应，结合已知条件， 而20-0+1+2以=1. 得O市=OM+AA户，即M亦-AA产， 3 3 ∴.P点的轨连一定通过△ABC的重心 所以得到P,D,C三点共线， 答案重 所以P的轨迹一定过△ABC的重心，故选C 7,解析固为Ai=Aò+Oi=O成+O心. 5.解析由正弦定理，得ABIsin B=AClsin C-k, 所以Ai.B元=(Oi+O心)·(O元-Oi)=0, 所以原等式即为A护-之(+A心. 所以Ai⊥BC,同理B方⊥AC,C方⊥AB. 所以P点的轨迹一定通过△ABC的重心， 别，点H为△ABC的垂心. 答案重 答案垂 第七章 复数 7.1复数的概念 [触类旁通] 7.1.1数系的扩充和复数的概念 1.(1)解析对于复数a十i(a,bER),若a=0,b=0,则a十bi为 课前案·自主学习 实数0，若b=0,则a十i=a为实数，故A错误，B正确：若 [教材梳理] a∈R,则a十1≠0，所以(a+1)i是纯虚数，故C正确：显然D 正确 导学1 问题1][提示]没有. 答案BCD 问题2][提示] 有解(x=士)，但不在实数范国内. (2)解析①当：为实教时，m需要满足m-1=0,解得 O结论形成 1m>0. 1.虚数单位 -1 {a+ila,b∈R n=1. 2.实部虚部 ②当：为虚教时，m需要满足{m一1≠0， 3.a=c且b=d 1m>0, 导学2 解得m>0且m≠1. [问题1][提示]b=0. ③当x为纯虚数时，m需要满足 [问题2][提示]RC lgm=0,无解， 基础自测门 m2一1≠0， 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 即不存在m使：为纯虚数 2.A3i-2的虚部为3,3+②i=-3+√②i的实部为-3，故 [例2][解析](1)：x2-y+2.ryi=2i. 选A. 3.解析易知a=1,b=一2，所以a2+b=5. 0解得 y=1 y=-1. 答案5 (2)设方程的实数根为x=m, 4.解析(1)若复数g=一1一m+(2m一3)i为实数， 则3m-受m-1=（10-m-2mi 3 则2m-3=0,所以m= (2)若：为纯虚数，则一1一m=0, 3m-受m-1=0·解得4=11或a=- 5 所以n=一1. 10-m一2m2=0, [触类旁通] 答案1)2 (2)-1 2.解析因为m∈R,31=, 课堂案·互动探究 所以(2m+7)+(m一2)i=(m一8)+(4m+3)i [例1门(1)[解析]对于A,当∈R时，：≥0成立，否则不成 由复数相等的充要条件得 2m+7=m-8, 立，如=i,2=一1<0，所以A为假命题： m2-2=4m+3, 对于B,2i一1=一1十2i,其虚部是2，不是2i,B为假命题： 解得m=5. 答案5 对于C,2i=0+2i,其实部是0，C为真命题. 对于D,因为a+bi是实数，所以共虚部b=0, 7.1.2复数的几何意义 所以D是真命题.故选CD. 课前案·自主学习 [答案]CD 教材梳理 (2)[解析]①当m十3≠0， 导学 1m2-2m一15≠0， [问题1门 [提示] 一一对应 即m≠5且≠一3时，：是虚数. 「问题2]「提示 一一对应 1m2-m-6=0, 「问题3][提示] 由问题1、问题2可知能一一对应. ②当 ○结论形成 m+3 m2一2m一15≠0， 1.复平面实轴虚轴 即m=3或m=一2时，g是纯虚数. 3.la+i√/a+bi [母题变式] 4.(1)相等互为相反数(2)a一例 上解折当十015=0。 基础自测] 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 即m=5时，g是实数. 2.B=1十2=一2十i,.实部小于0，虚部大于0，故复数x对应 2.解析因为>0，所以：为实数，需满足 的点位于第二象很. m-m6>0,解得m=5, 3.A:复数z=(a2-2a)十(a2-a-2)i对应的点在虚轴上，∴.a- m十3 2a=0,∴.a=0或a=2 m一2m一15=0， 4.解析1=√(-1)+2=5. 3.解析，g是虚数， 答案⑤ .l0g1(3-m)≠0，且1十m>0, 课堂案·互动探究 13-m>0. 例1][解析](1)若：对应的点在实轴上，则有 即3-m≠1..-1<m<2或2<m<3. 1+m>0, 2a-1=0,解得a=2 .m的取值范国为（一1,2）U(2,3). (2)若g对应的点在第三象张，则有第七章 复数 7.1 复数的概念 7.1.1数系的扩充和复数的概念 学业标准 素养目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需 1.通过复数的相关概念，培养数学抽象核心素养. 求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用. 2.通过利用复数相关的概念进行计算，提升数学运 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 算、逻辑推理等核心素养 (重点、难点) 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 2.复数的表示 复数通常用字母：表示，即之=a十bi 导学1复数的有关概念 (a,b∈R),其中的a与b分别叫做复数 问题1方程x2十1=0在实数范围内有 之的 与 解吗？ 3.复数相等的充要条件 在复数集C={a十ila,b∈R}中任取两个 数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),规定a+bi 问题2若有一个新数i满足=一1，试想方 与c+di相等，当且仅当 程x2+1=0有解吗？ 导学2复数的分类 问题1复数之=a十bi(a,b∈R)在什么情况下 表示实数？ ©结论形成 1.复数的定义 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复 问题2如何用集合关系表示实数集R和复数 数，其中i叫做 ,满足浮= 集C? 全体复数构成的集合C= 叫做复数集， 49 ●数学·必修 第二册（配RUA版） ◎结论形成 (3)复数之=bi是纯虚数 复数的分类 (4)实数集与复数集的交集是实数集. 实数(b=0) 复数a十bi (1) 虚数（纯虚数(a=0), ( (a,b∈R) (b≠0)非纯虚数(a≠0) 2.以3i一√2的虚部为实部，以32十√2i的实 (2)集合表示 部为虚部的复数是 () 复数集(C 虚数集 A.3-3i B.3+i 纯虚 实数集(R) 数集 C.-2+√2i D.2+2i 3.若a-2i=bi+1,a,b∈R,则a2+b= 基佛自测 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“X”) 4.设m∈R,复数x=-1-m十（2m-3)i. (1)若a,b为实数，则=a十bi为虚数. ( (1)若之为实数，则m= (2)复数1=3i,2=2i,则1>2·( (2)若之为纯虚数，则m= 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一复数的概念与分类 一題多变 [母题变式] 1.例1(2)中条件不变，当m为何值时，之为 例1(1)（多选题）下列命题中的真命题是 实数？ ( A.若x∈C,则≥0 B.2i-1的虚部是2i C.2i的实部是0 D.若a十bi(a,b∈R)是实数，则b=0 (2)当m为何实数时，复数=m-m一6+ m+3 (m2一2m-15)i:①是虚数？②是纯虚数？ [自主解答] 2.例1(2)中条件不变，当m为何值时，x>0? 50 第七章复数。 3.已知之=log2(1十m)+ilog号(3一m) 题型二 复数的相等及应用 (m∈R),若之是虚数，求m的取值范围. 例2(1)已知x2一y2十2xyi=2i,求实数 x,y的值： (2)关于x的方程3x-号x-1=(10 x一2x)i有实根，求实数a的值. 自主解答] [素养聚焦]借助复数的概念和分类，把数学抽象 与数学运算等核心素养体现在解题过程中 规健方法 复数分类的关键 (1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键 是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式 求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足 代数形式z=a+bi(a,b∈R)时应先转化形式. (2)注意分清复数分类中的条件 设复数z=a十bi(a,b∈R),则 ①x为实数曰b=0: 规健方送 ②：为虚数台b≠0： 复数相等的充要条件 ③z为纯虚数台a=0,b≠0： 复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依 ④x=0台a=0,且b=0. 据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤是 ①分别分离出两个复数的实部和虚部，②利用实 [触类旁通] 部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解， 1.(1)(多选题)下列说法正确的是( [注意]在两个复数相等的充要条件中，注意前 A.对于复数a十bi(a,b∈R),若a=0,则 提条件是a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时，a十bi a十bi为纯虚数 =c十di台a=c且b=d.若忽略前提条件，则结论 B.对于复数a十bi(a,b∈R),若b=0,则 不能成立 a十bi为实数 [触类旁通] C.若a∈R,则(a十1)i是纯虚数 2.复数=(2m十7)十（m2-2)i,= D.实数集是复数集的真子集 (m2-8)+(4m十3)i,m∈R,若之=之2，则 (2)已知m∈R,复数之=lgm十(m2一1)i, m= 当m为何值时， 课常小结 ①x为实数：②x为虚数；③z为纯虚数 知识落实 技法强化 (1)数系的扩充 解题过程中一般要化 (2)复数的概念 成=a+bi(a,b∈R) (3)复数的分类。 的形式 (4)复数相等的充要条件. 请完成[课后案]学业评价（十四）