6.4.3 余弦定理、 正弦定理-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 学业标准 素养目标 1.掌握余弦定理,正弦定理的形式及证明方法 1.通过余弦定理、正弦定理的推导,培养数学抽 2.会运用余弦定理、正弦定理解决基本的解三角形问 象等核心素养. 题(重点、难点) 2.根据余弦定理、正弦定理解三角形,提升数学 3.能够利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状 运算、逻辑推理等核心素养 (重点) 3.通过实际问题转化为数学问题,培养学生数学 4.能利用余弦定理、正弦定理解决生活中的实际问题 建模等核心素养 (重点) 第1课时 余弦定理 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 结论形成 2二 导学1余弦定理 式 b2= 表达 在/ABC中,若AB-2,AC-3,A=60{ 2_ 问题1 这个三角形确定吗? 张兹翻 语言 三角形中任何一边的平方,等于 叙述 ..... cosA- 推论 cosB一 问题2 能否利用平面向量求边BC?如何 cos C- 求得? 导学2解三角形 一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的 对边a,,c叫做三角形的 ,已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 问题③ 在△ABC中,三个角A,B,C所对的 边分别是a,,c,利用问题2的推导方法 基础自测 能否推导出用,c,A表示a? 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) (1)在三角形中,勾股定理是余弦定理针对 ( 直角三角形的一个特例 ) 33 ·数学·必修 第二册(配RJA版) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两 3.在△ABC中,已知q^{}=b^{②}十c^{}十bc,则角$ 边及夹角的情况 C ) A一 _ ) (3)已知三角形的三边求三个内角时,解是 A.60。 唯一的. C B.45* (4)在△ABC中,若^{}十c2→a^{},则 A为 C.120* D.30* 锐角. ( 2.在△ABC中,a=5,6=7,c=8,则角B= 4.在△ABC中,已知a=2,=22,C=15^*$ ( ) A.90。 B.120。 C.60。 D.30* 则A一 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 已知两边及一角解三角形 题型二 已知三角形的三边解三角形 一题多变 例1(1)在△ABC中,a,b,c分别为角 例2 A.B,C的对边,若C=60*,a-5,6=8,则 在△ABC中,已知a=2v6,b=6+2③$ ( _ C c-4/3,求A,B,C. A.7 B.6 [自主解答] C.5 D.8 (2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别 且 b<c,则b一 _ A.③ B.2 C.22 D.3 [母题变式] 规律万法 已知△ABC中,a::c=2:、6:(/3+1) 解决“已知两边及一角”解三角形问题的步骤 求△ABC中各角的度数. (1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立 方程,运用解方程的方法求出此边长 (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他 过行两角. [触类旁通] 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为 _ A.4 B.15 C.3 D.17 3& 第六章 平面向量及其应用 规律万法 [母题变式] 已知三角形的三边解三角形的方法 将例3中的条件“(a一ccosB)·b= (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出 (一ccosA)·a”换为“acosA+bcos B= 第一个角;再利用余弦定理或由求得的第一个角, ccosC”,其他条件不变,试判断三角形的 利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的 形状. 内角和定理求出第三个角. (2)利用余弦定理求三个角的余弦,进而求三 过个角. [触类旁通] 2.(1)在△ABC中,a②-c2+b2}-ab,则C C A.60。 B.45*或135。 C.120。 D.30。 (2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为 [素养聚焦] 利用三角形形状的判断,把逻辑推理 a,b,c,若6②}=ac,c=2a,则cosB=( __ 过 等核心素养体现在解题过程中. # 规征万法 已知三角形中的边角关系式,判断三角形的 形状,有两条思路:一是化边为角,再进行三角恒 等变换求出三个角之间的关系式;二是化角为边, 题型三 判断三角形的形状 一题多变 再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式. 例3在△ABC中,若(a一c·cosB)·b= [触类旁通] (一c·cosA)·a,判断△ABC的形状 3.(1)在△ABC中,A=60*,a^{}=bc,则 △ABC一定是 ( [自主解答] ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 (2)在△ABC中,若AB·BC+AB{②}=0 ( 则△ABC的形状一定是 ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)余弦定理. (2)余弦定理解决的两类解三角过程中易忽略 问题. 三角形中的隐含 (3)利用余弦定理判断三角条件 过形的形状. 提行 请完成I课后案]学业评价(十一) 35 数学·必修 第二册(配RJA版) 第2课时 正弦定理 课前案·自主学习 必备知识 素养初成 教材梳理 结论形成 在一个三角形中,各边和它所对角的 导学 正弦定理 文字 的比都相等,该比值为三角形外接圆 语言 如图,在Rt△ABC中,A=30*,斜边c=2. 的直径 #. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为 符号 a,b,c,则_a 语言 sinA -2R 问题1 求△ABC的其他边和角 基础白测 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于直角三角形,( ) (2)在△ABC中必有asinA=bsinB. 问题2 试计算_ ( ) 者有何关系? (3)在△ABC中,若a>b,则必有sinA> sinB. C ) (4)在△ABC中,若sinA=sinB,则必有 A-B. ( ) 问题3 对于任意的直角三角形是否也有类 2. 在△ABC中,a=15,$-10,A=60^*,则$$ sinB- ( 似的结论? ) ## ## 问题4 在钝角△ABC中,B=C=30*$ 3.在△ABC中,a=5,b-3,则 sinA b一、③,试求其他边和角. sinB C B. m2 } 问题5 问题4中所得数字满足问题3中 的结论吗? 4.在△ABC中,若B=30”,b-2,则_“ sinA 36 第六章 平面向量及其应用 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 已知三角形两角及一边解三角形 [自主解答] 例1 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边 分别为a,b,c,若A=45^*,B-120^{,-2 _ 则6的值为 ) A.2/2 B.6 C.23 D.3/2 (2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别 [母题变式] 为a,b,c,若a=3,sinB= 6 把例2中的条件“A三45{”改为“C=45*” 二 ( 则角A有几个值? A.1 B.2 C# D.5 规律方法 已知两角及一边类型的解题方法 (1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求 另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最 后由正弦定理求第三边 [素养聚焦] 利用解三角形时解的个数的判断,把 (2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内 逻辑推理和数学运算等核心素养体现在解题过 角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边。 程中. [触类旁通] 规律万法 1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为 已知三角形两边和其中一边的 对角解三角形时的方法 #} co0B=. 3,6-3,则 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值 (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中 题型二 已知三角形两边和其中一边的 大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所 对角解三角形 一题多变 对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断 例2 在△ABC中,已知c=,A=45*, 另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个 a一2,解这个三角形 角,要分类讨论. 37 ·数学·必修 第二册(配RJA版) [触类旁通] 规律方法 2.(多选题)在△ABC中,a三1,=/③,A (1)判断三角形的形状,可以从考查三边的关系入 30,则c- 。 ~ 手,也可以从三个内角的关系入手,从条件出发, A.1 B.2 利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关 C.2 D.3 系或求出角与角的关系或大小,从而作出准确 过判断, 题型三 判断三角形的形状 一题多解 (2)判断三角形的形状,主要看其是不是正三角 例3 在△ABC中,已知a^{tanB-b^{tanA, 形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角 试判断△ABC的形状 三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三 自主解答 角形或直角三角形”的区别 [触类旁通] 3.在ABC中,内角A.B,C所对的边分别 为a,b,c,若(a十b十c)(a十b-c)=3ab,且 sinC=sinA·sinB,那么△ABC是 ( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰且非等边三角形 D.等腰直角三角形 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)正弦定理及推论 (2)利用正弦定理解三角形. 已知两边及一边所 (3)三角形解的个数的判断. 对的角解三角形时 (4)利用正弦定理、余弦定理易忽略分类讨论 判断三角形的形状 提示 请完成[课后案]学业评价(十二) 38 第六章 平面向量及其应用 第3课时 *余弦定理、正弦定理应用举例 课前案·自主学习 必备知识 素养初成 教材梳理 5.坡角与坡度 坡面 坡面与水平面所成的二面 导学 测量中的术语 水平面 角叫坡角,坡面的铅直高度 1.基线 与水平宽度之比叫坡度(i一).如图. 在测量过程中,把根据测量的需要而确定 的 叫做基线,基线越长,测量的精 基础自测 确度 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) 2.仰角与俯角 (1)已知三角形的三个角,能够求其三条边 与目标视线在同一铅垂 视线 ) 平面内的水平视线和目 错 过角水平线 (2)两个不可能到达的点之间的距离无法 标视线的夹角,目标视 俯角 求得. ) 线在水平视线上方时叫 视线 (3)若P在Q的北偏东44{*},则Q在P的 仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角, 东偏北44{方向 ( ) 如图. (4)为测某塔AB的高度,在一嶂与塔AB 3.方位角和方向角 相距30m的楼的楼顶C处测得塔顶A的 从正北方向顺时针转到目标方向线所成的 仰角为30{*},测得塔基B的俯角为45^{*},则 角叫方位角,如图,目标A的方位角 塔AB的高度为(30十10③)m 为135P. ) 2.从A处望B处的仰角为g,从B处望A处 ( 的俯角为B,则a,B的关系为 ) A.aB B.a-B C.a十3-90* 南 D.a+B-180。 从指定方向线到目标方向 3.两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等 线所成的小于90{的水平角 西 于a(km),灯塔A在C北偏东30{*,B在C 南偏东60{},则A,B之间距离为 ( 叫方向角,如图,北偏东 ) → A.、2a km 30{,南偏东45*。 B.、3a km C.a km 4.视角 D. 2a km 观察物体的两端视线张开的角度,如图 4.从地面上观察一建在山顶上的建筑物,测得 视线 其视角为a,同时测得建筑物顶部仰角为B ( 则山顶的仰角为 ) 500 指将 A.a十B B.a-B C.B-a 视线 D.a 39 数学·必修 第二册(配RJA版) 课堂案·互动探究 关键能力 素养提升 题型一 距离问题 一题多解 题型二 高度问题 例1某基地进行实兵对抗演 例2 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字, 习,红方为了准确分析战场 其造型流畅别致,成了济南的标志和象征 李明同学想测量泉标的高度,于是他在广 场的A点测得泉标顶端的仰角为60{},他 事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队 又沿着泉标底部方向前进15.2m,到达B 分别在A处和B处,且ADB=30{*, 点,又测得泉标顶部仰角为80{*},你能帮李 $$BDC-30^$*,$DCA-60^*,$ ACB$-4 $5$, 明同学求出泉标的高度吗?(精确到1m) 如图所示,求蓝方这两支精锐部队间的 [自主解答] 距离. [自主解答] [素养聚焦] 通过正弦定理解决高度问题,把数学 规霍方法 建模和数学运算等核心素养体现在解题过程中. 测量不能到达的两点间的距离的方法及关键 规律方法 (1)方法:测量不能到达的两点间的距离,利用正、 (1)底部可到达,此类问题可直接构造直角三 余弦定理解斜三角形是一个重要的方法. 过角形. (2)关键:构造一个或几个三角形,测出有关边长 (2)底部不可到达,但仍在同一与地面垂直的平面 和角,用正、余弦定理进行计算. 内,此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足 [触类旁通] 在同一条直线上,观测者一直向“目标物”前进。 1.如图,为测量河对岸A. [触类旁通] B两点间的距离,沿河岸 2.鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文 选取相距40m的C,D 星路与南浦路交会处,至今已有四百六十 两点,测得 ACB=60*,BCD=45* 多年的历史,该塔为八角五层楼阁式砖木 {ADB-60*, ADC=30*,则A,B两点 。 混合结构.现在在塔底共线三点A,B,C处 之间的距离是 ( 分别测得塔顶的仰角为30{*,45^{,60{},且 A.20/2m B.203m AB=BC706 m,则文星塔高为( C.40v2m D.206m ~ 40 第六章 平面向量及其应用 规律万法 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础 上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有 关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角 70 A.20m B 3n 形,最后将解得的结果转化为实际问题的解 [触类旁通] C.80 D.30m 3.在海岸A处,发现北偏东45{*}方向,距离 题型三 角度问题 A处(3一1)nmile的B处有一艘走私船,在 A处北偏西75{的方向,距离A2nmile的 例3 如图所示,A,B是海面上位于东西方 C处的缉私船奉命以10、③nmile的速度追 向相距5(3十③)nmile的两个观测点,现 截走私船.此时,走私船正以10nmile/h的 位于A点北偏东45*}方向、B点北偏西60 速度从B处向北偏东30{方向逃窜,问缉私船 方向的D点有一艘轮船发出求救信号,位 沿什么方向能最快追上走私船? 于B点南偏西60{且与B点相距20、③nmile 的C点的救援船立即前往营救,其航行速度 为30nmile/h,则该救援船到达D点需要 多长时间? 北$45 60t比 ,B 600 [自主解答] 课堂小结 知识落实 技法强化 (1)不可到达的距离问题 (2)不可到达的高度问题 方位角是易错点 (3)不可到达的角度问题 请完成[课后案]学业评价(十三). 提示 阶段测评(二) #1A正=A店+B球=b+g 则所做的功为W=F·s, :AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15). 所以A求.D求=(b+号）·(-a+名） ∴W=F·AB=(3,4)·(-13,-15) =3×(-13)+4×(-15)=-99(J), -号-ab+g-a+b-0 a W,=F。·AB=(6,-5)·(-13,-15) 故AF⊥DE,即AF⊥DE. =6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J) 证法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 6.4.3余弦定理、正弦定理 2,则A(0,0),D(0.2),E(1,0),F(2,1) 第1课时余弦定理 课前案·自主学习 教材梳理 导学1 [问题1门[提示]确定 [问题2][提示]能. .BC=AC-AB, ..BC=AB+ACI-2AB.AC 则AF=(2,1D,DE=(1,-2. =AB+ACI*-21ABIACIcos A 周为AF.DE=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, =4+9-2X2×3cos60°=7. 所以AF⊥DE,即AF⊥DE. .|BC1=7. [触类旁通] [问题3][提示]能. 2.解析第一步，建立平面儿何与向量的联系，用向量表示问题 ©结论形成 中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. b+c-2bccos Aa+e-2accos B a+-2abcos C 如图，取{AB,AD)为基底，设AB=a,AD=b, 他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 D 6+c2-a ate-b a+c 2/c 2ac 24b 导学2 元素解三角形 基础自测] 则AC=a+b.DB=a-b. 1.(1)/(2)×(3)√(4)/ 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系 2.C由余孩定理，得 AC-(a+b)2=a+2a·b+b, cos B=te 52+8-71 DB=(a-b)=a2-2a·b+b, Zac 2×5×8 又，0°<B<180 上面两式相加，得AC+DB=2(a+b). .B=60°. 第三步，把运算结果“翻译”成儿何关系 AC+BD=2(AB+AD). 3.C由cosA=分+c-a 2be z4=120 [例3](1)[解析]图为物体处于平衡状态， 4,解析由余弦定理，得 所以F十F。十F=0,所以F=一(F十F), c=a+-2abcos C=8-43, 所以|F=|F,+F=√(F,+E) 所以=√6-2. =√F,+F+2F,·F 由余孩定理，得0sA=+-d- 2bc 21 =4+16+2×2×4×2=2万. [答案]D 又A为△ABC的内角，所以A=吾 (2)[解析]设0=风连，y=有风时 答案 飞机的航行速度，=无风时飞机的 6 航行速度，。=。一0.如图所示. 课堂案·互动探究 设AB=,CB=o, [例1门[解析](1)因为C=60°，a=5,b=8, ACI=1. 所以2=a+6-2 alcosC=53+8-2×5×8×号=49. 作AD∥BC,CD⊥AD于D,BE⊥ADD-- 解得c=7(负值舍去).故选A. 于E, 则∠BAD=45 (2)由余弦定理a2=+c2-2 bceos A,得22=+(23) 设AB=150,则1C=75(6-2). .1CD1=1BE=Ei=752,1Di=756. 2x6×25×, 化简得一6b+8=0,解得b=2或b=4, 从而AC1=1502,∠CAD=30°， 因为bc,所以b■2 ∴.v1=150√2km/h,方向为北偏西60. [答案](1)A(2)B [触类旁通] [触类旁通] 3.解析(1)如图，设A店表示水流的递刀 度，AD表示渡船的速度，AC表示渡船 1.cosc-osA+B)=-子 实际垂直过江的速度 又由余弦定理，得c=a+-2 abeos C 因为AB+AD=AC, =9+4-2×3x2×(-3)=17. 所以四边形ABCD为平行四边形. 在Rt△ACD中，∠ACD=90°，IDC1 所以c=√17 AB=12.5,AD1=25,所以∠CAD [例2][解析]根据余弦定理，得 =30°， cos A=btc-a 2bc 即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30， (2)设物体在力F作用下的位移为， -6+28)+(4③2-(26)2- 2(6+23)(43) 2 ⑧ :A∈0，A=若 第2课时正弦定理 课前案·自主学习 oC-。+6-C_26+(6+23)-43_ 教材梳理 2ab 2×26×(6+23) 2 导学 C∈(0，π)，C=页 [问题1][提示]B=60°，C=90°，a=1,b=3. 4 “B=-A-C=吾-= 7 [问题2][提示]A=2,nBsn60=2,mC-2, 三者的值相等 六A-吾，B=最，C=至 7 [问题3][提示]是.如图，：sinA=4 [母题变式] b 解析已知a:b:c=2:6:(3+1),令a=2k,b=√6k,c= (3+1)k(k>0), sin C-1.a 由余弦定理的推论，得 sin A sin B sin C osA=6+C-d-6+(3+1)2-2- [问题4幻[提示]如图，△ACD为直 2bc 2×6×(5+1) 21 角三角形，C=30°.AC=3。 ,0<A<180°，.A=45 0sB=4+-&=2+(3+1)2-(6=1 尉AD-=号CD=号 30 2ac 2×2×(3+1) 2 BC=3,AB=√3，∠BAC=120°. .0°<B<180°，∴.B=60 [问题5][提示]满足 ∴.C=180°-A-B=180°-45°-60°=75 ⊙结论形成 [触类旁通] 2.解析(1)c2=a2+b-2 abeos C, 正弦8inB sin C .a-c+b=2abcos C.:.ab=2abcos C. [基础自测] 1.(1)×(2)X(3)/(4)/ ..osc.c (2osB=02+2-&-。+4a-2a=3 之A由于A品B故培- 3 sin B' 2 2uc 2a·2a 4 答案(1)A(2)B [例3][解析]（角化边）：(a一e·csB)·b 解得sinB= 31 =(h-c·cosA)·a, 3.A根搭正孩定理，得inA=日=5 由余孩定理可得 sin B 3 (a-c.+)b 4,解析 2ac sin A sin B1 =4 2 -(6-)e 答案 4 整理得(a2十6-2)b=(d2+6-2)a2, 课堂案·互动探究 即(a-)(+6一)=0. 倒1[解析（少由正孩定理“nB得是=么一6 .a2+b-c=0或a2=b 23 ∴a2+6=d2或a=b. 2 2 故△AC为直角三角形或等腰三角形】 √6，故选B 母题变式] (2)由sinB= 解析由余弦定理知0sA-十d】 C=得B=晋，期A= b cos B=a ,cos C-atl- 根择正续定理品A品B得6=日1 sin A [答案](1)B(2)A 代入已知条件，得 [触类旁通] a.B+d+b.+a-i+c.0-B=0. L解析在△ABC中，cosA=号>0， 2ab 通分得d(B+2-a)+(a+c2-6)+2(c2-a-6)=0, 展开整理得(a°一b)=c. 咖A- ∴.a2-b2=±c2, osB-吾>0nB-是 即a2=6十c2或b=a2十c2 .sin C=sin[x-(A+B)]=sin(A+B) 根据勾股定理知△ABC是直角三角形 「触类旁通 3.解析(1)在△ABC中，因为A=60°，：2=， 所以由余孩定理可得， 由正微定理B品C得（细S sin B 5 a=+c-2bccos A=b+c-bc, 答案 14 所以bc=b十c2一bx,即(b一c)=0, 5 所以b=(,结合A=60°，可得△ABC一定是等边三角形. ! [例2][解析]由正弦定理“ (2)因为AB·BC+AB=0, sin A sin C' 所以accos(π-B)十c2=0, 得sinC=sin4-6sin45=3 2 所以acco5B=c2, 2 由余孩定理的推论可得cX。士c一b=c, 0°<C<180°.∴.C=60或C=120 2ac 当C=60°时，B=75, 所以b十e2=a2, b-csin B-5sim75°-5+1 所以△ABC是直角三角形. sin C sin 60 答案(1)D(2)B 当C=120°时，B=15°， 10 6=sin B6sin 15 sin C sin 120* =5-1. ∴.b=3+1,B=75°，C=60°或b=3-1,B=15°，C=120 [母题变式] 解析由正弦定理“ sin A sin C* 课堂案·互动探究 得sinA=asin C_ [例1][解析]解法一∠ADC=∠ADB+∠BMDC=60 √6 3 :∠ACD=60°，∴∠DAC=60°， e=√6>2=a,∴.C>A, 及小为小于行的能角，且正孩位为停这样的角A只有一 AD=CD-3 2a (km). 在△BCD中，∠DBC=180°-30°-105°=45°， 个，即A只有1个值】 由正孩定理 BD CD [触类旁通] sin∠BCD sin/DBC,得 2A出由治择mB他A- b 6+2 a 21 BD=CD.sin∠BCD_5 :a<b.∴B>A=30°.B为60我120 sin/DBC-2a· √2 ①当B=60°时，C=180°-60°-30°=90°. 此时，e=√a+b=√1+3=2. =3+5a（km. ②当B=120°时.C=180°-120°-30°=30° 此时，c=a=1. 在△ADB中，由余弦定理，得 [例3][解析]解法-由已知得sinB-simA AB=AD+BD-2AD·BDeosa∠ADB cos B cos A' 由正弦定理，得a=2 Rsin A,b=2 Rsin B(R为△ABC的外接 4 圆半径)， R'sin'Asin B R'sin'Bsin A cos B cos A sin Acos A=sin Bcos B, AB=。km. ∴.sin2A=sin2B,即2A=2B或2A=x-2B, .A=B或A+B= 故蓝方这两支精锐部队间的距高为。 a km. 2 解法二在△BCD中， “.△ABC为等腰三角形或直角三角形 ∠CBD=180°-30°-105°=45. 解法二 由已知得sin B_sinA BC CD cos B cos A' 由正孩定理，得n30一m46 由正孩定理nA=录血B=录(R为△ABC的外接国半 则BC-CDsin30°-6 8in45° a (km), 径)， 在△ACD中，∠CAD=180°-60-60°=60°， 得acos A=beos B, 所以△ACD为等边三角形」 即sin Acos A=sin Bcos B, 因为∠ADB=∠BDC, .sin2A=sin2B,即2A=2B或2A=x-2B, 所以BD为正△ACD的AC边上的中垂线， “A=B或A+B=受 所以AB=BC= a (km). ∴，△ABC为等腰三角形或直角三角形 [触类旁通] [触类旁通] 3.B由(a十b+c)(a+b-c)=3ab得a2+B-c2=ab,由余弦 1.D在△BCD中，∠BDC=60°+30°=90°，∠BCD=45°， ,∴.∠CBD=90°-45=∠BCD, 定理的推论得cosC=a+B一c1 2ab ,又0<C<180,则 ∴.BD=CD=40(m),BC=√BD+CD=40√2(m. C=60°. 在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=60°+45°=105°， 由正弦定理及sinC=sin Asin B得c2=ab,于是得a2+b .∠CAD=180°-(30°+105)=45 2ab=0,整理得a=b,所以△ABC是等边三角形.故选B. 由正孩定理，得AC=CDsin30=20V2（m. sin 45 第3课时余弦定理、正弦定理应用举例 在△ABC中，由余弦定理，得 课前案·自主学习 AB=BC+AC-2BCX ACX cos/BCA [教材梳理] 导学 =(40√2)°+(20√2)°-2×40√2×20√2c0s60 1.线段越高 =2400. [基础自测门 ∴.AB=20√6(m), 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 故A,B两，点之间的距离为20√6m. 2.B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图.知a=3,故：「例2][解析]如图所示，点C,D分别为泉标 应选B. 的底部和顶端， 水平线 依题意，∠BAD=60°，∠CBD=80°，AB= B.R 15.2(m). 则∠ABD=100°， 视线 故∠ADB=180°-(60°+100)=20°. 60°80g 一水平线 在△ABD中，根据正孩定理，得BD sin 60 A B C 3.A△ABC中，AC=BC=a(km),∠ACB=90, AB 所以AB=√2a(km). sin∠ADB 4.C如图所示，AB表示为建筑物，从地面上C点观察，由已知 BD=AB,n60_15.2m60≈38.5m. 得∠BCA=a,∠BCO=B,则山顶的仰角为∠OCA, sin20° sin20° ∴.∠OCA=∠BCO-∠BCA=3-a. 在Rt△BCD中，CD=BDsin80°=38.5·sin80≈38(m), 即泉城广场上泉标的高约为38m. ⑧ [触类旁通] 教考衔接】解三角形中的热点问题 2.B设建筑物的高为PO=h(m),用h表示PA,PB,PC,利用 cos∠PBA十Co8∠PBC=0结合余弦定理求出h的值，即可 [例】[解析]I)周为asin B=bsin(A+牙)由正弦定理 得解 如图所示： 得sin Asin B=sin Bsin(A+吾)： 国为sinB≠0，所以simA=sin(A+号) 30☑A 所以nA=言snA+ 2 cos A, 045> A=。 2 cos A. 60 所以tanA=3. C 因为AE0:x.所以A=子 设建统物的高为PO=h(m),则PA= sin 30=2h,PB= h (2)在△ABD中，由正弦定理得 h sin 45 PC-sin 60 2 BD AB sin∠BADsin∠ADB' 3 由余弦定理可得 在△ADC中，由正弦定理得 COs/PBA-PBAB-PA'_AB-2h DC AC 2PB·AB sin∠DAC sin∠ADC: 2AB×√2h 图为sin∠BAD=sin∠DAC,sin∠ADB=sin∠ADC, cos/PBC=PB+BC-PC 号+AB 所以肥 2PB·BC 2W2h×AB 因为∠PBA十∠PBC=π， 所以AD=A店+B币=A店+BC=A店+3(A花-AB) 故cos∠PBA+cOs∠PBC=cos∠PBA+cOs(r-∠PBA) =0, 即AB-2 :号+A 号+花 =0, 所以=（迹+刘=6部+号+是· 2AB×√2h22h×AB 可得h=5AB=5×06=0 -×9+品×1+号×8x1x号-需 2 2×9 3(m) 故选B. 所以AD=33 [例3][解析]由题意，知AB=5(3十3)(n mile), [例2][解析](1)由余弦定理可得 ∠DB1=90°-60°=30°. BC=a2=6+e2-2bc0sA=4+1-2X2X1Xcos120°=7， ∠DAB=90°-45=45°. .∴.∠ADB=180°-(45°+30)=105 则BC=√7， AB 在△DAB中，由正弦定理得 BD Tsin∠DAB sina∠ADB' cos ZABC-4t-&-7+4-15/7 2ac 2×2×714 即BD=ABsin∠DAB_5(3+3)sin45 sin∠ADB sin 105 加∠ABC-V-O ZABC-√-5-A 2814 5(3+3)sin45 sin 45 coscos5si6103(n mile). 1×ABXADXsin90 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°， (2)由三角形面积公式可得二吧一了 BC=203(n mile), 2XACXADXsin 30 ·在△DBC中，由余弦定理，得 =4. CD=√BD+BC-2BD·BCcos∠DBC -/300+120-2×103×20B×号 [例3][解析](1)由正弦定理和已知条件得BC一AC =30(n mile), AB=AC·AB.① 则教接船到达D点需要的时间为器-1， 由余孩定理得B=AC+AB-2AC·ABsA.@ [触类旁通] 由①②得c05A=一立· 3.解析设辑私船用th则有在D处 追上走私船，画出示意图， 因为0<A<元，所以A=织 31 则有CD=103r(n mile), 30 AB BC BD=101(n mile), 在△ABC中， 459 、(2)由正弦定理及1)得B-mCmA=2尽，从而 759 AC=2 3sin B,AB=23sin (-A-B)=3cos B-3sin B. .AB=(3-1)(n mile). AC=2(n mile).∠BAC=120°， A 故BC+AC+AB=3+√3sinB+3cosB=3+ ∴.由余弦定理，得BC=AB+AC-2AB·AC·Os∠BAC= 23sim(B+号）片 (3-1)2+2-2·(W3-1)·2·c0s120°=6. '.BC=√6(n mile), 又0<B<音，所以当B=音时，△ABC周长取得爱大值8计 且∠AC-瓷·snAC-是·9-号 23. 622 章末整合提升 ∴.∠ABC=45°，BC与正北方向成90°角. :∠CBD=90°+30°=120°，在△CD中，由正弦定理，得sn∠BCD [深化提升]一题组训练 BD·sin∠CBD_10tsin120°=1 : 1.B AM-DM+DB-AM+MD+DB-AD+DB-AB. CD ,10w32 在平行四边形ABCD中，AB=DC, ∴∠BCD=30°.即辑私船沿北偏东60°方向能最快追上走 所以AM-DM+DB=DC. 私船 故选B. 12