6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

O数学·必修第二册（配RUA版） 6.4 平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 学业标准 素养目标 1.理解用向量方法解决简单的平面几何问题、物理1.通过向量解决平面几何中的问题，培养数学抽象 问题及其他一些实际问题.（重点） 和数学运算等核心素养 2.掌握用向量方法解决问题的步骤，体会向量解决2.借助向量在物理中的应用举例，提升数学建模等 问题的优越性.（难点） 核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 基础自测 导学1用向量解决平面几何问题的步骤 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的 用向量方法解决平面几何问题的“三步 平行四边形法则. ( ) 曲”： (2)若△ABC为直角三角形，则有AB· (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问 BC=0. () 题转化为 问题 (3)若向量AB∥CD,则AB∥CD.() (2)通过 ,研究几何元素之间的关 (4)物理上力做功的实质是力在物体前进 系，如距离、夹角等问题 方向上的分力与物体位移的乘积，它的实 (3)把运算结果“ ”成几何关系， 质是向量的数量积， ( ) 导学2用向量解决物理问题的步骤 2.若向量OF=(2,2),OF=(-2,3)分别表 示两个力F1,F2,则|F1十F2|=（ ) 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一 A.(0,5) B.(4,-1) 般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学 C.22 D.5 问题. 3.在△ABC中，若(CA+CB)·(CA-CB) (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学 =0,则△ABC的形状是 ( ) 模型. A.正三角形 B.直角三角形 (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量 C.等腰三角形 D.无法确定 积等. 4.力F=(一1，一2)作用于质点P,使P产生的 (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物 位移为s=(3,4),则力F对质点P做的功是 理问题 30 第六章平面向量及其应用© 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一向量在几何中的应用 一题多解 题型二 利用向量证明平面几何问题 例1如图所示，在平行四边 一题多解 形ABCD中，BC=2BA, 例2如图所示，在正方形ABCD中，E,F分 ∠ABC=60°，作AE⊥BD 别是AB,BC的中点，求证：AF⊥DE. 交BC于点E.求BE:EC [自主解答] [自主解答] 规健方法 用向量方法解决平面几何问题的步骤 建立平面几何与向量的联系，用 平面几何问题向量表示问题中涉及的几何元素 向量问题h将平面几何问题转化为向量问题 通过向量运算，研究儿何元泰问 向量运算h的关系 几何关系用运算结果判断几何问题中的关系 [触类旁通] 1.如图，平行四边形ABCD 中，已知AD=1,AB=2, 规健方法 对角线BD=2,求对角线 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 AC的长. (1)向量的线性运算法的三个步骤 ①选取基底，用基底表示相关向量： ②利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ③把计算所得结果转化为几何问题， (2)向量的坐标运算法的三个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系，把相关向量坐 标化： ②利用向量的坐标运算找到相应关系； ③利用向量关系回答儿何问题 31 O数学，必修第二册（配RUA版） [触类旁通] 规律方法 2.如图，已知平行四边形ABCD,你能发现 表示 把物理问题中的相关量用向量表示 对角线AC和BD的长度与两条邻边AB 和AD的长度之间的关系吗？ 转化 转化为向量问题的模型，通过向量的运算使 问题得以解决 还原 把结果还原为物理问题 [触类旁通 3.(1)在长江南岸某渡口处，江水以 12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为 25km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向 应如何确定？ (2)已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,一5) 作用于同一质点，使之由点A(20,15)移 动到点B(7,0),求F1,F2分别对质点所 做的功（力的单位：N,位移的单位：m) 题型三向量在物理中的应用 例3(1)一个质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡 状态，已知F1,F2成60°角且F=2, |F2|=4,则1F3|= A.6 B.2 C.2√3 D.2√7 (2)在风速为75（√6一√2）km/h的西风中， 飞机以150km/h的航速向西北方向飞行， 求没有风时飞机的航速和航向. 课常小结 [自主解答] 知识落实 技法强化 (1)用向量解决平面几何中的平 行（或共线）、长度、角度问题. 解题过程中易出 (2)利用向量证明平面几何 现不能将几何、 问题. 物理问题转化为 (3)利用向量的运算解决力、位 向量问题 移、速度、加速度的合成与分解、 力所做的功的问题 [素养聚焦]利用平面向量在物理中的应用，把数 学建模和数学运算等核心素养体现在解题过程中， 请完成【课后案】学业评价（十） 32@ [基础自测] 触类旁通 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 3.解析(1)解析解法一（向量法十坐标法）国为b⊥(b 2.D{a=1,bl=22,a·b=-2, 4a),所以b·(b-4a)=0,即b=4a·b.因为a=(0.1),b= 所以omsa=治-号 a·b (2,x),所以b=4十x,a·b=x,得4十x=4x,所以(x一2) =0,解得r=2,故选D. 又因为〈a,b)∈[0，x], 解法二（坐标法）因为a=(0,1),b=(2,x),所以b一4a 所以a与b的夹角为，故选D, (2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).图为b⊥(b 4a),所以b·(b一4a)=0,所以2×2十x(x一4)=0，所以(x 3.2 2)2=0,解得x=2,故选D. 4.解析a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1), (2)a⊥b,.a·b=0,即2x+3-x=0, .a+b=(4,0),∴.(a+b)·e=4X0+0×1=0. x=一1或x=3 .∴.a·b=2×2+1×(-1)=3. 又，a=(1,x),b=(2x+3,-x）, 答案03 .a-b=(一2x-2,2x). 课堂案·互动探究 当x=-1时，a-b=(0,-2), [例1][解析】(1)a-(a-b)·b=a-a·b+6=25 ,∴.a-b=2: (-4+6)+5=28. 当x=3时，a-b=(一8,6)， (2)由AC=AB+AD=(1,-2)+(2,1)=(3.-1D,得A市，AC .|a-b1=√(-8)+6-10. (2,1)·(3,-1)=5. 答案(1)D(2)10或2 [答案](1)C(2)A 6.4平面向量的应用 [触类旁通] 6.4.1 平面几何中的向量方法 1.解析(1)依题意可知，a十2b=(1,一2)十2(-3,4) =(-5.6)..(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2) 6.4.2 向量在物理中的应用举例 -5×3+6×2=-3. 课前案·自主学习 (2)设c=(xy).因为a·c=2,b·c=5, [教材梳理] 9 导学1 所以 2x一y=2:解得 r=7 (1)向量 (2)向量运算(3)翻译 3r+2y=5, 4 基础自测] y= 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 所以=（号号）月 2.D3.C 4.-11 答案1c(2(号，） 课堂案·互动探究 [例1][解析]解法-设BA=a,BC-b,a-1,b-2 [例2][解析](1)解法一已知向量a=(2,m),b=(3,6), 则3a十b=(9,3m+6),3a-b=(3,3m一6). 则a·b=allbleos60°=1.Bd=a十b. 由13a+b|=13a-b1可得√9+(3m+6)T 设B正=ABC=b,则AE-B正-BA=b-a. √/3+(3m-6),解得m=一1. 由AE⊥BD,得A正·Bd-0,即(b-a)·(a十b)=0, 解法二，3a十b=3a一b, 解得A=号，所以BE1BC=号：是=23 ∴.(3a+b)=(3a-b), 解法二以B为坐标原点，BC所在 即9a2+6a·b+b=9a-6a·b+b, 直线为x轴建立平面直角坐标系，设 ∴.12a·b=0,℉a·b=0, B(0,0),C(2,0), .2×3+6m=0.m=-1. (2)因为向量a=(2,4),b=(1.n),且a∥b, 所以2n=1×4,解得n=2, B(O)E 所以3a-b=3(2,4)-2(1,2)=(4,8), 设Em0,则励-（停，） 所以3a-b1=√+8=4V5. [答案](1)B(2)A 花=(m-， [触类旁通] 2.解析(1)原式=2a2一3a·b=2×(16+9)-3×(-4+6)= 由AE⊥BD,得AE.BD=0, 50-6=44. (2)由题意可设AB=a(1>0), 中(m-）×9=0， 所以A市=(2X,3).又1AB=2√13. 解得阳=青 所以(2A)+(3x)=(2√/13)2， 解得1=2(1=-2舍去). 所以BE:EC-言：号=2：3 所以AB=(4,6),又A(1,-2),所以B(5,4) [触类旁通] 答案(1)44(2)(5,4) 1.解析设AD=a,AB=b, [例3][解析](1)由已知有c=(3十t,4),cos(a,c)= 则Bd=a-b,AC=a+b, e,t225 3+t e·1 而1Bd1=|a-b=√a-2a·b+b 解得1=5.故选C. =√1+4-2a·b=√/5-2a·b-=2. (2)解法一0-2b=(λ，1)-2(2，-3) =(a-4,+6). 所以5-2a·b=4,所以ab=号 .(a-2b)⊥a,∴.(a-2b)·a=0, 又|AC12=|a+b1=a+2a·b+b .(A一4)十(A十6)=0， =1十4十2a·b=6, .∴.=-1. 解法二(a-2b)⊥a.∴.(a-2b)·a=0, 所以AC=6,即AC=√6. 即a2=2a·b, [例2][证明]证法-设AD=a,AB=b, .(1+1)=2(1,1)·(2,-3), 则a=b,a·b=0. 即2%=一2，.1=-1. [答案](1)C(2)-1 又D成=Di+A花=-+台 A正=A店+B球=b+g 则所做的功为W=F·s, :AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15). 所以A求.D求=(b+号）·(-a+名） ∴W=F·AB=(3,4)·(-13,-15) =3×(-13)+4×(-15)=-99(J), -号-ab+g-a+b-0 a W,=F。·AB=(6,-5)·(-13,-15) 故AF⊥DE,即AF⊥DE. =6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J) 证法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 6.4.3余弦定理、正弦定理 2,则A(0,0),D(0.2),E(1,0),F(2,1) 第1课时余弦定理 课前案·自主学习 教材梳理 导学1 [问题1门[提示]确定 [问题2][提示]能. .BC=AC-AB, ..BC=AB+ACI-2AB.AC 则AF=(2,1D,DE=(1,-2. =AB+ACI*-21ABIACIcos A 周为AF.DE=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, =4+9-2X2×3cos60°=7. 所以AF⊥DE,即AF⊥DE. .|BC1=7. [触类旁通] [问题3][提示]能. 2.解析第一步，建立平面儿何与向量的联系，用向量表示问题 ©结论形成 中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. b+c-2bccos Aa+e-2accos B a+-2abcos C 如图，取{AB,AD)为基底，设AB=a,AD=b, 他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 D 6+c2-a ate-b a+c 2/c 2ac 24b 导学2 元素解三角形 基础自测] 则AC=a+b.DB=a-b. 1.(1)/(2)×(3)√(4)/ 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系 2.C由余孩定理，得 AC-(a+b)2=a+2a·b+b, cos B=te 52+8-71 DB=(a-b)=a2-2a·b+b, Zac 2×5×8 又，0°<B<180 上面两式相加，得AC+DB=2(a+b). .B=60°. 第三步，把运算结果“翻译”成儿何关系 AC+BD=2(AB+AD). 3.C由cosA=分+c-a 2be z4=120 [例3](1)[解析]图为物体处于平衡状态， 4,解析由余弦定理，得 所以F十F。十F=0,所以F=一(F十F), c=a+-2abcos C=8-43, 所以|F=|F,+F=√(F,+E) 所以=√6-2. =√F,+F+2F,·F 由余孩定理，得0sA=+-d- 2bc 21 =4+16+2×2×4×2=2万. [答案]D 又A为△ABC的内角，所以A=吾 (2)[解析]设0=风连，y=有风时 答案 飞机的航行速度，=无风时飞机的 6 航行速度，。=。一0.如图所示. 课堂案·互动探究 设AB=,CB=o, [例1门[解析](1)因为C=60°，a=5,b=8, ACI=1. 所以2=a+6-2 alcosC=53+8-2×5×8×号=49. 作AD∥BC,CD⊥AD于D,BE⊥ADD-- 解得c=7(负值舍去).故选A. 于E, 则∠BAD=45 (2)由余弦定理a2=+c2-2 bceos A,得22=+(23) 设AB=150,则1C=75(6-2). .1CD1=1BE=Ei=752,1Di=756. 2x6×25×, 化简得一6b+8=0,解得b=2或b=4, 从而AC1=1502,∠CAD=30°， 因为bc,所以b■2 ∴.v1=150√2km/h,方向为北偏西60. [答案](1)A(2)B [触类旁通] [触类旁通] 3.解析(1)如图，设A店表示水流的递刀 度，AD表示渡船的速度，AC表示渡船 1.cosc-osA+B)=-子 实际垂直过江的速度 又由余弦定理，得c=a+-2 abeos C 因为AB+AD=AC, =9+4-2×3x2×(-3)=17. 所以四边形ABCD为平行四边形. 在Rt△ACD中，∠ACD=90°，IDC1 所以c=√17 AB=12.5,AD1=25,所以∠CAD [例2][解析]根据余弦定理，得 =30°， cos A=btc-a 2bc 即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30， (2)设物体在力F作用下的位移为， -6+28)+(4③2-(26)2- 2(6+23)(43) 2