6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

[触类旁通] : (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3) 1.解析由图形可知，OA=6i+2j,O=2i十4，AB=-4i十 =(-7,-1). 2j,它们的坐标表示为Oi=(6,2),O=(2,4),A方= 2 (-4,2) [例2][解析]由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),e=(1,8). =(←合)-（层）(-号) (1)a十b-c=(5,-5)+(-6,-3)-(1,8) [例2](1)[答案]A =(-2,-16). (2)[解析]AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3), (2)设O为坐标原点. CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6): .CM-OM-OC-c, (-2)×(-6)-3×4=0,AB,Ci共线 .OM=c+0C=(1,8)+(-3,-4)=(-2,4), 又：C市=-2AB,.AB,C市方向相反. .M(-2,4). 综上，AB与CD共线且方向相反. 又：CN=ON-OC=b, [触类旁通] .0N=b+0元=(-6，-3)+(-3，-4)=(-9，-7)， 2.CaLb曰x2+x十2x=0白x=0或x=-3,所以x=-3是 .N(-9,-7), a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正 :MN=0N-0M=(-9,-7)-(-2,4)=(-7,-11). 确.a∥b=2x十2=x2台x2-2x-2=0台x=1±√5，故B,D [触类旁通] 错误。 2.解析：A克=(-2,10)，BC=(-8,4), [例3][解析]设P点坐标为(x,y),AP1=21P1 当P在线段AB上时，AP=2PB, AC=(-10,14), .(x-3,y十4)=2(-1-x,2-y), ∴.AB+BC=(-2,10)+(-8,4)=(-10,14), BC-AC=(-8,4)-(-10,14)=(2,-10). x-3=-2一2x,解得 1y十+4=4-2y, x=3 [例3][解析]设点D(m,n),剥由题意得(4,3)=(m,n-2), y=0, 解释0中点D4,),故选C P点坐标为（仔0小 [答案]C 当P在线段AB延长线上时，A户=-2PB. [触类旁通] (x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y), 3.解析设C的坐标为(x,y),则由已知得O心=AB,所以(x,y) 32+22解得红。5， +4=-4+2 1y=8, =(-1,2). .P点坐标为（一5,8） 答案（一1,2） 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 综上所述，点P的坐标为（号0）或(-5,8)。 课前案·自主学习 [母题变式] [教材梳理] 解析因为AP-3PB, 导学1 所以(x一3，y+4)=3(一1一x,2一y) [问题1][提示]3a=3(x1i十yj)=3x1+3yj, 2a-b=(2x1-x)i+(2y1-y2)j. 所以{红二3-3二3x,解得 x=0, 1 y+4=6-3y, [问题2][提示](3x1,3y1),(2x1一x2,2y一y2) y=2' ○结论形成 所以点P的坐标为(0，号)】 (1)(λx1,入y1） [触类旁通] 导学2 3.解析：D是AB的中点， [问题1][提示]①②中b=2a:③中b=-2a:④中b=-a. 「问题2]「提示]共线. 点D的坐标为（白，吉”）》 ○结论形成 (2)x1y一x为=0 “品=2成=2G励，谈G点分别为， [基础自测] 利用向量的坐标运算公式可得 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.D3.B +2X十马 4.解析根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(-1,3). x 2-+十西， 1+2 3 答案(-1,3) 课堂案·互动探究 为+2X当+y 2 y =出十业十当 1+2 3 [例1](1)[解析] 号A=号0成-a 即点G的坐标为（西+十五，当+当+当）. 3 =2-5,-1D-(3,-2] 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 =2-8,1=(-4,2)…2店=(-4,2）)月 课前案·自主学习 [教材梳理] [答案]A 导学 (2)[解析]：AB=(-2,10),BC-(-8,4),AC-(-10,14), [问题1门[提示]a=x1i+yj,b=xi+yj, ∴.AB+2BC=(-2,10)+2(-8,4) [问题2][提示]la=√/(z+yj)=√+： =(-2,10)+(-16,8) b=√（红i计yj)=√+y =(-18,18). [问题3][提示]a·b=(x+yj)·(xi+yj) 成-号AC=(-8,0-2(-10,10 =xx2产+(xy十x为)i·j+yy护 =x1x2十y1y2, =(-8,4)-(-5,7) [问题4幻[提示]能. =(-3,-3) ○结论形成 [触类旁通] 1.它们对应坐标的乘积的和x1x:十y1为x1十为=0 1.解析(1)2a十3b=2(一1,2)十3(2,1) 2.+y√(x1-x)+(y一为) xx1十当2 =(-2,4)+(6,3)=(4,7). √+y√+好第六章平面向量及其应用。 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 学业标准 素养目标 1.掌握数乘向量的坐标运算法则. 1.通过数乘向量的坐标运算，培养数学运算等 2.理解用坐标表示两向量共线的充要条件.（重点） 核心素养 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三2.根据两向量共线的坐标表示，提升逻辑推理 点共线的判断方法，（难点） 和数学运算等核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教制梳理 ©结论形成 (1)设a=(1y),b=(x2,2),其中b≠0， 导学1数乘运算的坐标表示 a,b共线的充要条件是存在实数入， 问题1设a=x,i+y1j,b=x2i+y2j.试求 使a=b. 3a和2a-b. (2)如果用坐标表示，向量a,b共线的充要 条件是 乡基储自测 问题23a与2a一b的坐标分别是什么？ 1.判断正误（正确的打“√/”，错误的打“×”） (1)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 ©结论形成 a∥b,则= ( y1 y2 (1)符号表示：已知a=(x1y1),则a= (2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 λ(x1y1)= x1y一x2y2=0,则a∥b. ( ) (2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于 (3)若向量a=(x1y),b=(x2y2)(b≠0)，且 用这个实数乘原来向量的相应坐标， x1y2一x2y1=0,则a∥b. ( ) 导学2平面向量共线的坐标表示 (4)向量a=(1,2)与向量b=(4,8)共线. 已知下列几组向量： ①a=(0,2),b=(0,4): 2.下列各对向量中，共线的是 ②a=(2,3),b=(4,6): A.a=(2,3),b=(3,-2) ③a=(-1,4),b=(2,-8): B.a=(2,3),b=(4,-6) @a=(3,)小b=(-2,-1月 C.a=(√2，-1)，b=(1,√2) D.a=(1,2),b=(√2,2) 问题1上面几组向量中，a与b有什么关系？ 3.已知a=(-6,2),b=(m,-3),且a∥b, 则m= () A.-9 B.9 问题2以上几组向量中，a,b共线吗？ C.3 D.-3 4.已知P(2,6),Q(一4,0)，则PQ的中点坐 标为 25 ●数学·必修第二册（配RJA版】 关健能力 课堂案。互动探究 素养提升 题型一平面向量数乘运算的坐标表示 (2)已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3), 判断AB与CD是否共线.如果共线，它们的方 例1(1)已知向量OA=(3,-2),O店= 向是相同还是相反？ (一5，-1)，则向量2A的坐标是 [自主解答] A(-4,2 B(4,-》 c(-1.-) D.(8,1) (2)若A,B,C三点的坐标分别为(2，一4)， (0,6),(-8,10),求AB+2BC,BC-2AC的 坐标. [自主解答 规健方园 向量共线的判定方法 (I)利用向量共线定理，由a=沾(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2一x2y1=0直接 求解 规厘万因… [触类旁通] 数量积坐标运算的两个途径：一个是先将各向量 2.(2024·全国甲卷·理)设向量a=(x十1，x), 用坐标表示，直接进行数量积运算：二是先利用数量 b=（x,2),则 () 积的运算律将原式展开，再依据已知计算。 A.x=一3是a⊥b的必要条件 [触类旁通 B.x=一3是a∥b的必要条件 1.已知a=(-1,2),b=(2,1), C.x=0是a⊥b的充分条件 求：12a+汤：2a-30:(3)2a-b D.x=一1十3是a∥b的充分条件 题型三向量共线的综合应用 一题多变 例3已知点A(3,一4)与点B(-1,2),点P 在直线AB上，且|AP1=2|PB|,求点P 的坐标. [自主解答 题型二向量共线的判定 例2(1)已知向量a=(1,2),b=(入，1)，若 (a+2b)∥(2a-2b),则入= () A.2 1 C.1 D.2 26 第六章平面向量及其应用。 [母题变式] 若将例3条件“|AP|=2|PB|”改为 “AP=3PB”,其他条件不变，求点P的 坐标. [素养聚焦]通过共线向量定理的综合应用，把数 学运算和逻辑推理等核心素养体现在解题过程中， 规健团器 在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公 课堂小结 式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同 知识落实 技法强化 时应注意分类讨论· (1)平面向量数乘运算的坐标表示 [触类旁通] 及简单应用。 两个向量共线 3.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为 (2)两个向量共线的坐标表示. 的坐标表示的 A(x1y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D是边 (3)有向线段的定比分点坐标公式易记错. AB的中点，G是CD上的-点，且品-2。 公式 求点G的坐标. 请完成[课后案]学业评价（八） 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 学业标准 素养目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算， 1.通过平面向量数量积的坐标运算，培养数学 2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问 运算等核心素养。 题.（重点、难点） 2.通过数量积的坐标运算求模、夹角等问题 3.分清向量平行与垂直的坐标表示。 提升逻辑推理、数学抽象等核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 问题2a,|b分别用坐标怎样表示？ 导学 平面向量数量积的坐标表示 已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2y2). 问题3能用a,b的坐标表示a·b吗？ 问题1若i,j是两个互相垂直且分别与 x轴、y轴的正半轴同向的向量，则a,b如 问题4垂直的条件和向量夹角能用坐标表 何用i,j表示？ 示吗？ 27