6.3.2-6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

@ 由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成 一组基底，故AC满足题意. OM=Oi+AM=Oi+A苏 [答案]AC [触类旁通] =0成+g0成-0)-号i+号0成 1.ACD选项B中，6e一8e=2(3e一4e2),.6e,-8e2与3e 2 4共线，.不能作为基底，远项A,C,D中两向量均不共线， -号a+b: 可以作为基底.故速A,C,D. 因为O,P,M和B,P,N分别共线， [例2][解析](1)解法一因为AP-1AB, 所以春在实数使B=入B丽N=之a一， 所以OP=OA+AP=OA+tAB -0A+/(0B-0A)-0A+10B-:0A Oi-rOm-a+号b: =(1-1)0A+1OB. 所以OB=O币+PB=O币-B驴 解法二由于A下-O币-OA,AB=OB-OA,AP=1AB. -(髻-合)a+(告+xb, 所以OP-OA=(OB-OA), 所以OP-OA+(OB-OA)=(1-1)OA+1OB. 坐-=0 32 = (2)因为DC∥AB,AB=2DC,E,F分别是DC.AB的中点， 又O范=b,所以 解得 所以心-京=号店= 专+=1 EF=ED+DA+AF 所以币=号B,即BP:PN=41. =-成-+名店 [触类旁通] 3.C图为P是BC的中点， =-×b-at2b=b-a 所以A市=A店+前-A店+号成=A苏+号（心-A店） [母题变式] 解析因为DC∥AB,AB=2DC,E,F分别为DC,AB的 +号AC=专A+(动+心)=A成+号A市+ 中点， 所以D=-2C正=-2a.E市=亦-C正=C市+C-C定 ×=A花计号， 2 CE+CB-CE=CE+CB=a+b. 又A市=mA官+nA市，且Ai,A市不共线， 触类旁通] 所以m=3 n= ,所以=3 2.解析 易得不=号心=吉： 故选C AM=号AB=号a 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6,3.3平面向量加、减运算的坐标表示 由N,E,B三点共线可知，存在实数m使A正=mAN十 课前案·自主学习 4-mAB=号+1-ma [教材梳理 导学1 由C,E,M三点共线可知，存在实数n使AE=nAM十 [问题1] [提示] 唯一 (1--m+(1- [问题2] [提示 相同. [问题3] [提示 一对应 所以号mb+1-ma=之a+1-mb. 1 。结论形成 1.单位向量a=(x,y) 由于{a,b}为基底， 2.(1,0)(0.1)(0.0) 3 导学2 所以 1-m=2,m一 5· [问题1门[提示](x1y),(为， 3m=1-, n=5 [问题2][提示]a-b=(x1-x)i+(y一y)j, 所以a一b的坐标为(1一西”一). 所以A正=号a+h ©结论形成 (x十xy十2)(x一M一为) [例3】[解析]OM-Oi+AM-Oi+号Ai [基础自测] 1.(1)/(2)×(3)√(4)X -Oi+号o成-Oi)=}+号b. 2.B 国为O户与OM共线， 3.A设点B的坐标为(xy),由A方=(3,7)=(x,y)-(1,一3) =(x-1,y+3)=(3,7),得B(4,4). 故寸设0币-10i-专a+号b 4.解析由题意知a=2c0s457+2sin45j=√2i+√2j, 又N驴与N第共线，可设N序=sN店， 所以a的坐标为(V2,√2) O-O+Ni=Oi+sO成-O 答案(2，√2) 课堂案·互动探究 -1-0a+， [例1门[解析]由题意及题图知B,D分别是30°角，120°角的 终边与单位圆的交点， 1-= 9 设B(y),D(xy), 10 所以 2 解得 =3“ 由三角函载的定又，得万=030-=如30=含， 所以O=品a+是 2=c0s120°= 2y=sin120°- 2 [母题变式] 解析设O八=a,OB=b, B(9）D-9) 时=0示-0i=a-0: 又A0,0…成-(52）市-(-) [触类旁通] (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3) 1.解析由图形可知，OA=6i+2j.O店=2i+4,A市=-4i+ =(-7,-1). 2j,它们的坐标表示为OA=(6,2),O店=(2,4)，AB 3)2a- 6=-1.2)8.1D 3 (-4,2) [例2][解析]由已知得a=(5,-5),b-(-6,-3),c=(1,8). -()-(号)（号）月 (1)a十b-c=(5.-5)+(-6,-3)-(1.8) [例2](1)[答案]A =(-2,-16). (2)[解析]AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3). (2)设O为坐标原点 CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6): .CM-OM-OC-c. (-2)×(-6)-3×4=0Ai,CD共线. OM=e+(0C=(1,8)+(-3,-4)=(-2,4), 又：C市=一2AB,.AB.CD方向相反. .M(-2,4). 综上，AB与CD共线且方向相反. 又CN=ON-Oc=b. [触类旁通] .O八=b+元-(-6，-3)+(-3，-4)=(-9，-7)， 2.CaLb=x2+x+2x=0曰x=0或x=-3,所以x=-3是 .N(-9,-7), a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正 .MN=0N-0M=(-9,-7)-(-2,4)=(-7,-11). 确.a∥b=2.x+2=x2台x2-2r-2=0=x=1±3，故B,D [触类旁通] 错误. 2.解析：AB=(-2.10).BC=(-8,4). [例3][解析]设P点坐标为(x,y),AP1=2Pi」 AC=(-10,14), 当P在线段AB上时，A下=2Pi, .(x-3,y十4)=2(-1-，2-y), ∴.AB+BC-(-2,10)+(-8,4)=(-10,14), BC-AC=(-8,4)-(-10,14)=(2,-10). r-3=-22r~解得r=3· y+4=4-2y, [例3][解析]设点D(m,n),则由题意得(4,3)=(m,n-2), y=0, 解得岸点D4,,故速C P点空标为（合0） [答案]C 当P在线段AB延长线上时，A币=-2PB. [触类旁通] .(x-3y+4)=-2(-1-x,2-y), 3解析设C的坐标为(xy),则由已知得O元-A店，所以(x,y) 二32+2.解得。5， 1y+4=-4+2y, y=8, =(-1,2). ∴.P点坐标为（一5,8）. 答案（一1,2） 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 熔上所运，点P的坐标为（号0）或(-5,8. 课前案·自主学习 [母题变式] [教材梳理] 解析因为AP=3P克. 导学1 所以(r-3,y+4)=3(-1-x.2-y), [问题1][提示]3a=3(.xi+yj)=31i+3yj r=0, 2a-b=(2x1一)i+(2y-y)j. 所以任二3-33解得 1y+4=6-3y, 1 [问题2][提示](3.x1,3y),(21一x12y1一y). y=2 ⊙结论形成 所以点P的坐标为(0,2)】 (1)(入1，Ay1) 导学2 [触类旁通] 3.解析：D是AB的中点， [问题1][提示]①②中b-2a:③中b=-2a:④中b=一a. [问题2][提示]共线. “点D的坐标为(5古，”产) O结论形成 (2)x1y-y=0 品-2武-2市.设G点分别为 [基础自测] 利用向量的坐标运算公式可得 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.D3.B 西+2×石十 2 r 十十五， 4.解析根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为（一1,3）. 1+2 3 答案（一1.3） 课堂案·互动探究 为+2×当+当 2 =出十4+业， 1+2 3 [例1](1)[解析] A店=20-0i 即点G的坐标为（十十飞，当+当+出）： z[(-5--8.-2 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 =(-8.1)=(-4,2)2g=(-4号)月 课前案·自主学习 [教材梳理 [答案]A 导学 (2)[解析]A市=(-2,10)，D成=(-8,4).Ad=(-10,140, [问题1门[提示]a=xi计yj,b=xi+j ∴.AB+2BC=(-2,10)+2(-8,4) [问题2][提示]Ia一√(x+y)=√+y: =(-2,10)+(-16,8) b=√i+j)=√+y =(-18,18). [问题3][提示]a·b=(x,i+yj)·(xi+y:j) C-号AC=(-8,)-(-1011 =x1x2+(x1y十xy1i·j+yy =x1x十y3 =(-8,4)-(-5,7) [问题][提示]能. =(-3,-3) ○结论形成 [触类旁通] 1.它们对应坐标的乘积的和1+y1y1x十出y=0 1.解析(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1) 2.T+y√(x1-)+(y一为) T3十y =(-2,4)+(6,3)=(4,7). 十y√十·数学·必修 第二册(配RJA版) 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 学业标准 素养目标 1.借助向量的正交分解的学习,培养数学抽象和直 1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示, 观想象等核心素养. (难点) 2.通过向量的和、差的坐标运算,提升数学运算等 2.掌握两个向量的和、差的坐标运算法则.(重点) 核心素养. 课前案·自主学习 必备知识 素养初成 教材梳理 实数x,y,使得a一xi十yj.平面内的任一 向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序 平面向量的正交分解及坐标 导学1 数对(x,v)叫做向量a的坐标,记作 表示 间题1在平面内,规定e,e。为基底,那么 2.在平面直角坐标系中,1一 一个向量对e,e。的分解是唯一的吗? 平面向量加、减运算的坐标 导学2 表示 问题2 在平面直角坐标系中,分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,,作 设a=xi+yj,b=x。i+y。j. 为基底,任作一向量OA.根据平面向量基 问题1a,b的坐标分别是什么? 本定理,OA=xni十yi,那么(x,y)与A点 的坐标相同吗? 问题2 试求a一b的坐标 问题3 如果向量OA也用(x,v)表示,那么 这种向量OA与实数对(x,y)之间是否一 一对应? ○结论形成 文字 符号 两个向量和的坐标分 若a-(x,y.),b- 加法 别等于这两个向量相 结论形成 (x。,y。),则a十b一 1.在平面直角坐标系中,设与x轴、v轴方向 应坐标的和 相同的两个 两个向量差的坐标分 分别为i,1,取{i,1 若a-(x,y),b- 减法 别等于这两个向量相 作为基底,对于平面内的任意一个向量a; (x。,y),则a-b一 应坐标的差 由平面向量基本定理可知,有且只有一对 22 第六章 平面向量及其应用· 基础自测 3.已知点A(1,一3),AB的坐标为(3,7),则 点 B的坐标为 ( ) 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) A.(4,4) B.(-2,4) (1)零向量的坐标是(0,0). ) C.(2,10) D.(-2,-10) (2)两个向量的终点不同,则这两个向量的 4.如图,在平面直角坐标系中,分别取与 坐标一定不同 C ) x轴、v轴方向相同的两个单位向量i,i (3)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐 ) 标就是向量终点的坐标 以i,1)作为基底,对于平面内的一个向 (4)向量可以平移,平移前后它的坐标发生 量a,若al-2,0=45^{},则向量a的坐标为 变化. ( - 2.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 平面向量的坐标表示 规律方法 求点、向量坐标的常用方法 例1如图所示,在边长为1的正方形ABCD (1)求一个点的坐标:可利用已知条件,先求出该 中,AB与:轴正半轴成30*}角,求点B和 点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就 点D的坐标以及向量AB与AD的坐标 等于相应点的坐标。 (2)求一个向量的坐标:首先求出这个向量的起 点、终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标即得 该向量的坐标. A(0) [触类旁通] [自主解答] 1.如图,与x轴、v轴同 向的两个单位向量1: 1.取i,)作为基底: -..A 分别用i,1表示OA: 0123456x OB,AB,并求出它们 的坐标. 23 ·数学·必修 第二册(配RJA版) 题型二 平面向量的坐标运算 [触类旁通] 2.若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4), 例2已知点A(-2,4),B(3,-1), (0.6),(-8,10),求AB+BC,BC-AC的 C(-3,-4),设AB=a,BC=b,CA=c.且 坐标. CM-c,CN-b. (1)求a十b-c; (2)求点M,N的坐标及向量MN的坐标 [自主解答] 题型三 平面向量坐标运算的应用 例3 已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2), B(-1,-2),C(3,1),且BC-AD,则顶点 D的坐标为 ) A.(2.) B.(2.-) C.(4,5) D.(1,3) [素养聚焦] 通过向量坐标运算的应用,把直观想 象和数学运算等核心素养体现在解题过程中 规律方法 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件:相等向量的对应坐标相等, (2)应用;利用坐标形式下向量相等的条件,可以 建立相等关系,由此可以求出某些参数的值或点 的坐标. [触类旁通] 3.已知平行四边形OABC,其中O为坐标原 点,若A(2,1),B(1,3),则点C的坐标为 课堂小结 知识落实 规律方法 技法强化 平面向量坐标的线性运算的方法 (1)平面向量的正交分解及已知A,B两点求AB (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、 坐标表示. 的坐标时,一定是用 差的运算法则进行. (2)平面向量加、减运算的终点的坐标减去起点 坐标表示. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向 的坐标. 量的坐标,然后再进行向量的坐标运算, (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行, 请完成I课后案]学业评价(七) 24