6.3.1 平面向量基本定理-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

●数学·必修第二册（配RUA版） [素养聚焦]通过夹角、垂直等问题，把数学运算 √2 等核心素养体现在解题过程中 A.b=1 B.cos(a,b〉= 2 规律团法 C.a·b=1 D.(2a-b)⊥b 求向量a与b夹角的思路 课堂小结 (1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a|b1,在 此基础上结合数量积的定义或性质计算cos9= 知识落实 技法强化 日治最后指动0E[0小，求出0的值 注意：①向量夹角共起点； (1)向量数量积及运 ②a·b>0不能推断两向量 (2)在个别含有a,b与a·b的等量关系式中， 算律。 夹角为锐角，a·b<0不能推 常利用消元思想计算cos0的值. (2)投影向量 断两向量夹角为饨角： (3)向量数量积的 [触类旁通] ③向量数量积不满足结 性质. 5.(多选题)已知正方形ABCD的边长为1， 合律. 向量a,b满足AB=a,BC=b-a,则 提示 请完成L课后案」学业评价（九） 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 学业标准 素养目标 1.通过定理的推导过程的学习，培养逻辑推理等核 1.了解平面向量基本定理及其意义.（难点） 心素养 2.了解向量基底的含义.在平面内，当一组基底确定 2.借助平面向量基本定理及其应用，提升数学运 后，会用这组基底来表示其他向量.（重点） 算、逻辑推理等核心素养， 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 间题2如果e1,e2是两个不共线的确定向 量，那么与e,e2在同一平面内的任一向 导学平面向量基本定理 量a能否用e1,e2表示？根据是什么？ 问题1在物理中，我们学习了力的分解，即 一个力可以分解为两个不同方向的力，试 想：平面内的任一向量是否可以分解为其 他两个向量的和？ 间题3如果e1,e2是共线向量，那么向量a 能否用e1,e2表示？为什么？ 18 第六章平面向量及其应用。 ⊙结论形成 2.设e,e2是同一平面内两个不共线的向 条件 e,e是同一平面内的两个 量，以下不能作为基底的是 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一 A.e,e2 B.{e1+e2,3e1+3e2} 结论 对实数入1入2，使 C.{e1,5e2》 D.{e1,e1+e2} 把{e,e}叫做表示这一平面内所有向量的 3.若AD是△ABC的中线，已知AB=a, 基底 一个基底 AC=b,若{a,b}为一个基底，则AD= >基础自测 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)基底中的向量不能为零向量.() (2)平面内的任何两个向量都可以作为一 个基底 4.如图所示，向量OA可用向量e1,e2表示为 (3)若a,b不共线，且入1a十41b=入2a十 2b,则入1=21h=h2: () (4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定 后，平面内的任何一个向量都可被这个基 底唯一表示 0e 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 对基底的理解 [触类旁通 1.(多选题)设{e,e2}是平面内所有向量的一 例1（多选题）设O是平行四边形ABCD两 个基底，则下列四组向量中，不能作为基底 对角线的交点，给出下列向量组，可作为这个 的是 平行四边形所在平面的一组基底的是 ( A.e1+e2和e1-e2 A.AD与AB B.DA与BC B.3e1-4e2和6e1一8e2 C.CA与DC D.OD与OB C.e1+2e2和2e1+e2 规律团因 D.e和e1+e2 对基底的理解 题型二 用基底表示向量 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个 向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可 一题多解一题多变 作基底 例2 (1)如图，OA,OB不共线，且AP=tAB (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个 向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量 (1∈R),用OA.OB表示OP a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a十y,b一 x2a十yb,则 19 ●数学·必修第二册（配RUA版） (2)如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD, 规健方法 AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点，设 用基底表示向量的方法 AD=a,AB=b,试用a,b表示DC,EF. 将两个不共线的向量作为基底表示其他向 量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算 法则对待求向量不断进行转化，直至可用基底表 示为止：另一种是通过列向量方程或方程组的形 式，利用基底表示向量的唯一性求解， [自主解答 [触类旁通] 2.如图所示，在△ABC中，M是AB的中点， 且A-}AC,BN与CM相交于点E,设 AB=a,AC=b,试用基底{a,b}表示向 量AE. [母题变式 若把例2(2)中的基底{AD,AB}换为 {CE,CB},即若CE=a,CB=b,试用a,b 表示DC,EF 题型三 平面向量基本定理的应用 一题多变 例3如图所示，在△OAB 中，OA=a,OB=b,点M 是AB上靠近B的一个 三等分点，点N是OA上靠近A的一个四 等分点.若OM与BN相交于点P,求OP. 20 第六章平面向量及其应用。 [自主解答] 规律方法 1.任意一向量基底表示的唯一性的理解 平面内任一向量a和同一平面内两 条件 个不共线向量e1,e 条件二 a=入e1十ke2且a=入ze1十2e2 11=入2： 结论 41=42 2.任意一向量基底表示的唯一性的应用 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以 表示为同一平面内两个不共线向量e,e的线性 组合入1e1十入e2.在具体求入入2时有两种方法： (1)直接利用三角形法测、平行四边形法则及向 量共线定理 (2)利用待定系数法，即利用定理中入1，入2的唯 一性列方程组求解. [母题变式 [触类旁通] 若例3中“点M是AB上靠近B的一个三 3.如图，在直角梯形ABCD中，P是BC的 等分点”改为“点M是AB上靠近A的一 中点，AB∥CD,∠DAB=90°，AB=2, 个三等分点”，“点N是OA上靠近A的一 AD=CD=1,若AP=mAB+nAD,则 个四分点”改为“N为OA的中点”，求 BP:PN的值. () . 63 4 c D.2 课常小结 知识落实 技法强化 (1)平面向量基本定理， 解题过程中易忽视基 (2)用基底表示向量。 底中的向量必须是不 (3)平面向量基本定理的 共线的两个向量， 应用。 [素养聚焦]通过平面向量基本定理的应用，把逻 辑推理等核心素养体现在解題过程中。 请完成[课后案]学业评价（六） 21@ 6.2.4向量的数量积 课前案·自主学习 1+25+46=1+662=4,解得b=号，所以b1= [教材梳理 选B. 导学1 4.解析 a+b-2a·b=3,a+2a·b+b=4a-4a·b+b, [问题1][提示]W=s|F1cos0. ,∴.a-2a·b=0,.b=3,即b=3. [问题2][提示]1Fcos0. 答案 [问题3][提示] 与力F的大小，位移的大小及它们之间的夹 3 角有美. .(e1十ke2)·(ke1+e) Q结论形成 1.(1)∠AOB=0(a,b)(2)①同向②反向③垂直 =ke+ke号+(k+1)e·e =2k>0,.k>0. 2.al b cosa a.b lal bcos 6 0 当k=1时，e十ke:=e:十e,它们的夹角为0，不符合题意， 导学2 舍去. 投影向量 综上，k的取值范国为k>0且k≠1. 导学3 [答案](0,1)U(1,十∞) [问题1门[提示]：a·b=0,a≠0，b≠0.∴.cos0=0,0=90°， (2)[解析门由已知条件得 a⊥b. (a+3b)·(7a-5b)=0, [问题2][提示]a·a=acos0=a2. (a-4b)·(7a-2b)=0, [问题3][提示] 已知ab及a时，可得a-8治 /7a+16a·b-15b=0. 即7a-30a·b+8b=0, ① Q结论形成 ②-①得23b-46a·b=0, L.(2)0(3)ab-aba2a·a(4) .2a·b=b,代入①得a2=b, 2.(1)b·a(3)a·c+b·c 「基础自测门 a1a=b1os0-a8-6= a·b 1.(1)×(2)×(3)×(4)X 2.B根墙平面向量数量积的定义可得a·b=a|bcos120 =3X4×(-)=-6:故选B 0e[0,π]，0= 31 [母题变式] 3.D 4.解析a·b=alb1cos0<0. 解析e,十e:与e,十e的夹角为钝角， ∴.(e,+e)·(e,+e)-e+e+(+1)e,·e cos00,又0e[0,]0e(受 =2k<≤0， .k<0. 答案 (受 当=一1时，e十ke:与e,十e方向相反，它们的夹角为π， 课堂案·互动探究 不符合题意，舍去， 综上，k的取值范固是k<0且k≠一1 [例1门[解折](1)由题设知e=e:-1且e,·e-子，所 [触类旁通] 以b,·b.=(e1-2e,)·(3e,+4e2)=3e-2e,·e-8e=3 5.BCD AB=a.BC=b-a, 2×-8=-6. ∴AC=AB+BC=b,又正方形ABCD的边长为1， ·Ai=a=1,|AC=b=2,(a,b)=于，故A (2)如图，因为a=|b=c=√2，且a 与b,b与c,c与a的夹角均为120°， 错误： 所以a·b十b·c十c·a ∴osa,b=号a…b=1X2X9=1,脚a·b=1,故B. =√2×2×co8120°×3=-3. 2 [触类旁通] C正确： 1.Ba·(2a-b)=2a°-a·b=2-(-1) .(2a-b)·b=2a·b-b=2-2=0,即(2a-b)⊥b,故 D正确. =3,故选B. 故选BCTD. 2.解析BD·CD=BD·BA=(BA+BC)·BA=(BA)y+ 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 Bc.Bi=d2+acas60=是a 6.3.1平面向量基本定理 答案0 课前案·自主学习 「教材梳理 [例2](1)[解析]1a+2b=(a+2b) 导学 =a3+2a2bcos60°+(2b)9 「问题门 「提示] 可以， -2+2×2×2×号+2=4+4+4=12. [问题2] [提示] 可以，根据是数乘向量和平行四边形法则， 「问题31 [提示] 不一定，当a与e,共线时可以表示，否则不 所以|a+2b=12=2√3. 能表示， ◎结论形成 [答案]2√3 不共线向量 a=入e1十Ae (2)[解析]因为2a+b=√10， 基础自测] 所以(2a+b)2=10, 1.(1)/(2)× (3)/(4)/ 所以4a2+4a·b+b=10, 2.B 又因为向量a与b的夹角为45°且a=1, 1 所以4X1+4X1X1b×号+1b=10, 3.2(a+b) 4,解析由图可知，OA=4c,十3e. 整理得b2十22b1-6=0, 答案4e,+3e 解得b1=√2或b=一32（舍去）. 课堂案·互动探究 [触类旁通] [例1门[解析]A中AD与AB不共线：B中DA=-BC,则DA 3.B由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b2=2a 与BC共线：C中C才与DC不共线：D中O心=一O店，则OD与O店 ·b.将a十2b=2的两边同时平方，得a+4a·b+4b=4,即 共线。 @ 由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成 一组基底，故AC满足题意. OM=Oi+AM=Oi+A苏 [答案]AC [触类旁通] =0成+g0成-0)-号i+号0成 1.ACD选项B中，6e一8e=2(3e一4e2),.6e,-8e2与3e 2 4共线，.不能作为基底，远项A,C,D中两向量均不共线， -号a+b: 可以作为基底.故速A,C,D. 因为O,P,M和B,P,N分别共线， [例2][解析](1)解法一因为AP-1AB, 所以春在实数使B=入B丽N=之a一， 所以OP=OA+AP=OA+tAB -0A+/(0B-0A)-0A+10B-:0A Oi-rOm-a+号b: =(1-1)0A+1OB. 所以OB=O币+PB=O币-B驴 解法二由于A下-O币-OA,AB=OB-OA,AP=1AB. -(髻-合)a+(告+xb, 所以OP-OA=(OB-OA), 所以OP-OA+(OB-OA)=(1-1)OA+1OB. 坐-=0 32 = (2)因为DC∥AB,AB=2DC,E,F分别是DC.AB的中点， 又O范=b,所以 解得 所以心-京=号店= 专+=1 EF=ED+DA+AF 所以币=号B,即BP:PN=41. =-成-+名店 [触类旁通] 3.C图为P是BC的中点， =-×b-at2b=b-a 所以A市=A店+前-A店+号成=A苏+号（心-A店） [母题变式] 解析因为DC∥AB,AB=2DC,E,F分别为DC,AB的 +号AC=专A+(动+心)=A成+号A市+ 中点， 所以D=-2C正=-2a.E市=亦-C正=C市+C-C定 ×=A花计号， 2 CE+CB-CE=CE+CB=a+b. 又A市=mA官+nA市，且Ai,A市不共线， 触类旁通] 所以m=3 n= ,所以=3 2.解析 易得不=号心=吉： 故选C AM=号AB=号a 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6,3.3平面向量加、减运算的坐标表示 由N,E,B三点共线可知，存在实数m使A正=mAN十 课前案·自主学习 4-mAB=号+1-ma [教材梳理 导学1 由C,E,M三点共线可知，存在实数n使AE=nAM十 [问题1] [提示] 唯一 (1--m+(1- [问题2] [提示 相同. [问题3] [提示 一对应 所以号mb+1-ma=之a+1-mb. 1 。结论形成 1.单位向量a=(x,y) 由于{a,b}为基底， 2.(1,0)(0.1)(0.0) 3 导学2 所以 1-m=2,m一 5· [问题1门[提示](x1y),(为， 3m=1-, n=5 [问题2][提示]a-b=(x1-x)i+(y一y)j, 所以a一b的坐标为(1一西”一). 所以A正=号a+h ©结论形成 (x十xy十2)(x一M一为) [例3】[解析]OM-Oi+AM-Oi+号Ai [基础自测] 1.(1)/(2)×(3)√(4)X -Oi+号o成-Oi)=}+号b. 2.B 国为O户与OM共线， 3.A设点B的坐标为(xy),由A方=(3,7)=(x,y)-(1,一3) =(x-1,y+3)=(3,7),得B(4,4). 故寸设0币-10i-专a+号b 4.解析由题意知a=2c0s457+2sin45j=√2i+√2j, 又N驴与N第共线，可设N序=sN店， 所以a的坐标为(V2,√2) O-O+Ni=Oi+sO成-O 答案(2，√2) 课堂案·互动探究 -1-0a+， [例1门[解析]由题意及题图知B,D分别是30°角，120°角的 终边与单位圆的交点， 1-= 9 设B(y),D(xy), 10 所以 2 解得 =3“ 由三角函载的定又，得万=030-=如30=含， 所以O=品a+是 2=c0s120°= 2y=sin120°- 2 [母题变式] 解析设O八=a,OB=b, B(9）D-9) 时=0示-0i=a-0: 又A0,0…成-(52）市-(-)