6.2.4 向量的数量积-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

@ 6.2.4向量的数量积 课前案·自主学习 1+25+46=1+662=4,解得b=号，所以b1= [教材梳理 选B. 导学1 4.解析 a+b-2a·b=3,a+2a·b+b=4a-4a·b+b, [问题1][提示]W=s|F1cos0. ,∴.a-2a·b=0,.b=3,即b=3. [问题2][提示]1Fcos0. 答案 [问题3][提示] 与力F的大小，位移的大小及它们之间的夹 3 角有美. .(e1十ke2)·(ke1+e) Q结论形成 1.(1)∠AOB=0(a,b)(2)①同向②反向③垂直 =ke+ke号+(k+1)e·e =2k>0,.k>0. 2.al b cosa a.b lal bcos 6 0 当k=1时，e十ke:=e:十e,它们的夹角为0，不符合题意， 导学2 舍去. 投影向量 综上，k的取值范国为k>0且k≠1. 导学3 [答案](0,1)U(1,十∞) [问题1门[提示]：a·b=0,a≠0，b≠0.∴.cos0=0,0=90°， (2)[解析门由已知条件得 a⊥b. (a+3b)·(7a-5b)=0, [问题2][提示]a·a=acos0=a2. (a-4b)·(7a-2b)=0, [问题3][提示] 已知ab及a时，可得a-8治 /7a+16a·b-15b=0. 即7a-30a·b+8b=0, ① Q结论形成 ②-①得23b-46a·b=0, L.(2)0(3)ab-aba2a·a(4) .2a·b=b,代入①得a2=b, 2.(1)b·a(3)a·c+b·c 「基础自测门 a1a=b1os0-a8-6= a·b 1.(1)×(2)×(3)×(4)X 2.B根墙平面向量数量积的定义可得a·b=a|bcos120 =3X4×(-)=-6:故选B 0e[0,π]，0= 31 [母题变式] 3.D 4.解析a·b=alb1cos0<0. 解析e,十e:与e,十e的夹角为钝角， ∴.(e,+e)·(e,+e)-e+e+(+1)e,·e cos00,又0e[0,]0e(受 =2k<≤0， .k<0. 答案 (受 当=一1时，e十ke:与e,十e方向相反，它们的夹角为π， 课堂案·互动探究 不符合题意，舍去， 综上，k的取值范固是k<0且k≠一1 [例1门[解折](1)由题设知e=e:-1且e,·e-子，所 [触类旁通] 以b,·b.=(e1-2e,)·(3e,+4e2)=3e-2e,·e-8e=3 5.BCD AB=a.BC=b-a, 2×-8=-6. ∴AC=AB+BC=b,又正方形ABCD的边长为1， ·Ai=a=1,|AC=b=2,(a,b)=于，故A (2)如图，因为a=|b=c=√2，且a 与b,b与c,c与a的夹角均为120°， 错误： 所以a·b十b·c十c·a ∴osa,b=号a…b=1X2X9=1,脚a·b=1,故B. =√2×2×co8120°×3=-3. 2 [触类旁通] C正确： 1.Ba·(2a-b)=2a°-a·b=2-(-1) .(2a-b)·b=2a·b-b=2-2=0,即(2a-b)⊥b,故 D正确. =3,故选B. 故选BCTD. 2.解析BD·CD=BD·BA=(BA+BC)·BA=(BA)y+ 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 Bc.Bi=d2+acas60=是a 6.3.1平面向量基本定理 答案0 课前案·自主学习 「教材梳理 [例2](1)[解析]1a+2b=(a+2b) 导学 =a3+2a2bcos60°+(2b)9 「问题门 「提示] 可以， -2+2×2×2×号+2=4+4+4=12. [问题2] [提示] 可以，根据是数乘向量和平行四边形法则， 「问题31 [提示] 不一定，当a与e,共线时可以表示，否则不 所以|a+2b=12=2√3. 能表示， ◎结论形成 [答案]2√3 不共线向量 a=入e1十Ae (2)[解析]因为2a+b=√10， 基础自测] 所以(2a+b)2=10, 1.(1)/(2)× (3)/(4)/ 所以4a2+4a·b+b=10, 2.B 又因为向量a与b的夹角为45°且a=1, 1 所以4X1+4X1X1b×号+1b=10, 3.2(a+b) 4,解析由图可知，OA=4c,十3e. 整理得b2十22b1-6=0, 答案4e,+3e 解得b1=√2或b=一32（舍去）. 课堂案·互动探究 [触类旁通] [例1门[解析]A中AD与AB不共线：B中DA=-BC,则DA 3.B由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b2=2a 与BC共线：C中C才与DC不共线：D中O心=一O店，则OD与O店 ·b.将a十2b=2的两边同时平方，得a+4a·b+4b=4,即 共线。第六章 平面向量及其应用· 6.2.4 向量的数量积 学业标准 素养目标 1.通过力做功抽象出数量积,培养数学抽象和逻辑 1.掌握平面向量的数量积的定义,(重点) 推理等核心素养. 2.理解平面向量的数量积的几何意义,(难点 2.借助数量积的运算,提升数学运算、逻辑推理等 3.了解向量的数量积与实数的乘法的区别 核心素养. 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教梳理 (2)特例:①当-0时,向量a,b ②当θ-n时,向量a,b 导学1平面向量的数量积 ,记作 一个物体在力F的作用下产生位移s; 如图. ab. 2.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角 问题1 如何计算这个力所做的功 为9,把数量 叫做向量 a与b的数量积(或内积),记作 问题2 力F在位移方向上的分力是多少? ,即a·b- 规定零向量与任何向量的数量积等于 问题3 力做功的大小与哪些量有关? 导学2投影向量 设a,b是两个非零向量,AB-a,CD-b. 过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直 结论形成 1.两向量的夹角 线的垂线,垂足分别为A.,B.,得A.B,这种 .E 变换为向量a向向量b投影,A.B.叫做向量 a在向量b上的 (1)定义:已知两个非零向量a,b,Q是平 面上的任意一点,作OA三a,OB三b,则 (0<π)叫做向量a与b的夹 角,记作 15 数学·必修 第二册(配RJA版) 平面向量数量积的性质和运 2.向量数量积的运算律 导学3 算律 (1)a·b- 已知两个非零向量a,b,0为a与b的 ($2)(a) ·b-x(a·b)=a·(b). 夹角. (3)(a十b)·c- 问题1 若a·b一0,则a与b有什么关系? 基础自测 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) 问题2a·a等于什么? (1)两个向量的数量积仍然是向量, ($2)若a·b-0,则a=0或b-0. ) (3)a,b共线-→a·b-|al bl. _ (4)若a·b=b·c,则一定有a三c.( ~ 问题3 在什么条件下可求cos0? 2.已知向量a与b的夹角θ=120{},al=3 |b-4,则a·b- ( ) A.-6③ B.-6 结论形成 C.6 D.63 1.设a,b是非零向量,它们的夹角是0,e是 ( 3.下列命题不正确的是 ) 与>方向相同的单位向量,则 A.lal-Va{} (1)a·e-e·a-lalcos 8. (2)a Ib-→a·b- B.&(a·b)=a·(b) (③)当a与同向时,a·b C.(a-b)c=a·c-b·c 当a与b反向时,a·b- D.a与b共线-→a·b- alb 特别地,a·a- 或lal- 4.若a·b<0,则a与b的夹角e的取值范围是 (4)la·b lallbl. 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 向量数量积的运算 [自主解答] 若向量b=e-2e,b=3e +4e,求 b..b2; (2)设正三角形ABC的边长为/2,AB-c, B$=a,CA-b,求a·b十b·c十c·a. 16 第六章 平面向量及其应用 规律万法 [触类旁通] 向量数量积的求法 3.(2024·新课标II卷)已知向量a,b满足 (1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模 l$al=1, a+2bl=2,且(b-2a)b,则 及向量的夹角,其中准确求出两向量的夹角是求 lb= ( ) ## 数量积的关键 A (2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积 的混合运算类似于多项式的乘法运算 C## D.1 [触类旁通] 1.已知向量a,b满足la=l,a·b=-1,则 4.(2023·新课标II卷)已知向量a,b满足 a.(2a-b)- ( 。 l$a-b=、③,a+b=2a-b,则lbl= A.4 B.3 C.2 D.0 题型三 与向量垂直、夹角有关的问题 2.已知菱形ABCD的边长为a, ABC=60*, 一题多变 则BD.CD- 例3(1)已知e与e。是两个互相垂直的单 题型二 向量模的有关计算 位向量,若向量e十ke。与be,十e。的夹角 例2(1)已知向量a,b的夹角为60{,lal-2, 为锐角,则的取值范围为 b=1,则a+2b= (2)已知非零向量a,b满足a十3b与7a-5 (2)已知向量a与b夹角为45{,且la=1, 互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求 l2a十b-/10,求b. a与b的夹角. [自主解答] [自主解答] 规律万法 [母题变式] 求向量的模的常见思路及方法 将例3(1)中的条件“锐角”改为“钝角”,其 (1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积 他条件不变,求的取值范围 联系,并灵活应用a^{}一a^{②},勿忘记开方 (2)a·a-a^{-lal*}或lal-Va{,此性质可用来 求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相 互转化. (3)一些常见的等式应熟记,如(a士b){}-a②}士2a· b+b^{,(a十b)·(a-b)-a②}-b^?}等. 17 ·数学·必修 第二册(配RJA版) [素养聚焦]通过夹角、垂直等问题,把数学运算 A.b-1 等核心素养体现在解题过程中 规律万法 C. a·b-1 D. (2a-b) Ib 求向量a与b夹角的思路 课堂小结 (1)求向量夹角的关键是计算a·b及a bl,在 知识落实 技法强化 此基础上结合数量积的定义或性质计算cos0- a.b 注意:①向量夹角共起点; 过a 6,最后借助o[o,],求出o的值. (1)向量数量积及运 ②a·b>0不能推断两向量 算律. (2)在个别含有a,b与a·力的等量关系式中, 夹角为锐角,a·b<0不能推 常利用消元思想计算cos8的值. (2)投影向量 断两向量夹角为钝角; (3)向量数量积的 [触类旁通] ③向量数量积不满足结 过性质. 5.(多选题)已知正方形ABCD的边长为1, 过合律. 向量a,b满足AB-a,BC-b-a,则 提示 ) ( 请完成[课后案]学业评价(五) 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 学业标准 素养目标 1.通过定理的推导过程的学习,培养逻辑推理等核 1.了解平面向量基本定理及其意义,(难点) 心素养. 2.了解向量基底的含义,在平面内,当一组基底确定 2.借助平面向量基本定理及其应用,提升数学运 后,会用这组基底来表示其他向量。(重点 算、逻辑推理等核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 问题2 I教材梳理 如果e,e。是两个不共线的确定向 量,那么与e,e。在同一平面内的任一向 导学 平面向量基本定理 量a能否用e,e。表示?根据是什么? 问题1在物理中,我们学习了力的分解,即 一个力可以分解为两个不同方向的力,试 想:平面内的任一向量是否可以分解为其 问题3 如果e,e。是共线向量,那么向量a 他两个向量的和? 能否用e,e。表示?为什么? 18