专题6.3 平面向量的数量积运算（5类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.3 平面向量的数量积运算 【知识梳理】 1 【考点1：求向量的数量积】 3 【考点2：利用向量的数量积求模】 4 【考点3：利用向量的数量积求夹角】 4 【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】 5 【考点5：投影向量】 7 【知识梳理】 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 【考点1：求向量的数量积】 【知识点：求向量的数量积】 1．（2024·江苏南通·二模）已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高二上·广东韶关·期中）已知向量和的夹角为，且，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 3．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知，C是以为直径的圆上一点，，D是的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二上·吉林·期末）对于空间向量，，和实数，下列命题中是假命题的是（   ） A．若，则或. B．若，则或. C．右则或 D．若，则 6．（2024高三·全国·专题练习）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 . 7．（2024高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，分别为的中点，为上一点，且，，则 ． 8．（24-25高一·全国·假期作业）已知向量与的夹角为，且，求： (1)； (2)． 【考点2：利用向量的数量积求模】 【知识点：利用向量的数量积求模】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知菱形的边长为2，，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知单位向量和的夹角为，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知，且，则 . 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知空间向量和的夹角为，，，则 . 5．（安徽省A10联盟2025届高三上学期12月质检考试数学试题）若向量、满足，，，则 ． 6．（山西省部分学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷）若向量满足，且，则 . 【考点3：利用向量的数量积求夹角】 【知识点：利用向量的数量积求夹角】 1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 . 2．（24-25高三上·河北·阶段练习）若单位向量满足．则的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若两个单位向量满足，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知向量，满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】 【知识点：向量垂直与向量的数量积关系】 1．（2024·重庆·模拟预测）已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高三上·北京东城·阶段练习）设，均为单位向量，则“”是“”的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 3．（24-25高三上·江苏扬州·期末）设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广西·期末）若非零向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（广西名校2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷）已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数（   ）. A． B． C． D．2 6．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知． (1)求； (2)若，求实数的值． 10．（24-25高三上·上海松江·期中）已知，，与的夹角为. (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围. 【考点5：投影向量】 【知识点：投影向量】 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知向量的夹角为，若在方向上的投影向量为，则 ． 2．（24-25高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知向量，在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C．6 D．12 5．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高二上·云南·阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为； D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.3 平面向量的数量积运算 【知识梳理】 1 【考点1：求向量的数量积】 3 【考点2：利用向量的数量积求模】 6 【考点3：利用向量的数量积求夹角】 8 【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】 11 【考点5：投影向量】 16 【知识梳理】 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 【考点1：求向量的数量积】 【知识点：求向量的数量积】 1．（2024·江苏南通·二模）已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为单位向量的夹角为， 所以 ， 故选：A 2．（24-25高二上·广东韶关·期中）已知向量和的夹角为，且，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【答案】D 【分析】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】因为向量和的夹角为，且， 则. 故选：D. 3．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，两边平方，结合数量积的运算律计算即可求解. 【详解】由，得， 两边平方得， 所以，即. 故选：C 4．（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知，C是以为直径的圆上一点，，D是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，再以为基底，利用数量积的运算律求解. 【详解】如图所示： 因为，C是以AB为直径的圆上一点，，所以， 又D为AC的中点， 所以， ， 故选：D 5．（多选）（24-25高二上·吉林·期末）对于空间向量，，和实数，下列命题中是假命题的是（   ） A．若，则或. B．若，则或. C．右则或 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用向量的数量积运算法则及运算性质来进行判断即可. 【详解】对于选项A，结论少了（且都是非零向量）的情形，故是假命题； 对于选项B，若，则或，故是真命题； 对于选项C，结论应该是，故是假命题； 对于选项D，比如都是单位向量，且这三个向量两两之间的夹角都是，由此就可说明D是假命题. 故选：ACD. 6．（2024高三·全国·专题练习）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 . 【答案】11 【分析】根据向量数量积的运算先求出，然后再代入计算即可求解. 【详解】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以. 故答案为：11. 7．（2024高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，分别为的中点，为上一点，且，，则 ． 【答案】1 【分析】过点作于点，设，可得，结合图形借助平面向量的数量积运算、平面向量的线性运算即可得到答案. 【详解】 如图，连接，在平行四边形中，分别为的中点， 则三点共线，且为的中点，所以． 过点作于点，设， 由，， 得，则． 由分别为的中点， 则，，所以， 所以 ． 故答案为：1. 8．（24-25高一·全国·假期作业）已知向量与的夹角为，且，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)12 【分析】(1)利用向量数量积的定义直接求解即可. (2)利用向量数量积的运算律，求解即可. 【详解】（1）由已知得 （2） ． 【考点2：利用向量的数量积求模】 【知识点：利用向量的数量积求模】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知菱形的边长为2，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算可知，，代入即可求解. 【详解】根据题意可得，， ∵，即，∴， ，即． 故选：B. 2．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知单位向量和的夹角为，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据平面向量数量积运算律得出，即可得出模长. 【详解】，即. 故选：D. 3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知，且，则 . 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的运算律计算即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得. 故答案为： 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知空间向量和的夹角为，，，则 . 【答案】 【分析】利用平方的方法来求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 5．（安徽省A10联盟2025届高三上学期12月质检考试数学试题）若向量、满足，，，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为，，， 则，所以，， 所以，因此，. 故答案为：. 6．（山西省部分学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷）若向量满足，且，则 . 【答案】 【分析】将两边平方并化简，进而结合数量积运算即可求得答案. 【详解】由得； 由得； 由得，所以. 故答案为： 【考点3：利用向量的数量积求夹角】 【知识点：利用向量的数量积求夹角】 1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】利用两个向量夹角公式以及数量积的定义即可得到结果. 【详解】因为是夹角为的两个单位向量，所以， 所以，则与的夹角为. 故答案为：. 2．（24-25高三上·河北·阶段练习）若单位向量满足．则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量定义将等式平方可得，再由夹角公式计算可得结果. 【详解】由题意，， 由得， 即，所以， 设与的夹角为， 所以， 又，所以. 故选：C 3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数量积的运算律及向量夹角公式计算得解. 【详解】单位向量满足，则， ，， 所以. 故选：A 4．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若两个单位向量满足，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的运算律，整理等式，可得答案. 【详解】由，得． 因为为单位向量，所以化简可得：，解得， 则与夹角的余弦值为． 故选：D. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的模长公式可得，即可根据夹角公式求解，或者利用向量的几何法求解. 【详解】解法一：因为，，所以， 故．所以， 故选：B． 解法二：依题意，，可得， 构造如图所示的图形，观察可知， 故选：B． 6．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知向量，满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出向量与的点积，再利用向量点积公式求出. 【详解】，两边平方可得，即. 因为，所以；，所以. 那么. 又因为，所以，解得. 根据公式，可得，解得. 故选：A. 【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】 【知识点：向量垂直与向量的数量积关系】 1．（2024·重庆·模拟预测）已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量夹角余弦的表示代入计算得，再利用向量垂直的数量积的表示即可得到答案. 【详解】，即，则， 因为，则，则，则， 则，则. 故选：B. 2．（24-25高三上·北京东城·阶段练习）设，均为单位向量，则“”是“”的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合数量积的运算律判断即得. 【详解】向量，均为单位向量，若，则， ， ，因此； 若，则， 即，整理得，因此， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C 3．（24-25高三上·江苏扬州·期末）设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量垂直的条件结合数量积的定义求解夹角即可. 【详解】设与的夹角为，根据题意，可得， 所以，代入，所以， 解得，因为，所以与的夹角为． 故选：D 4．（24-25高三上·广西·期末）若非零向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系可得数量积为零，由此构造方程可求得，进而得到结果. 【详解】，， 即，又， . 故选：D. 5．（广西名校2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷）已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数（   ）. A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用向量数量积为0解方程即可得出结果. 【详解】由，则， 即，即. 解得. 故选：D. 6．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量垂直关系可得向量的数量积为零，再利用向量的平方等于模的平方和向量的运算公式进行求解即可. 【详解】因为，所以，所以 ， 所以， 故选：. 7．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，由求得，再利用向量的模公式求解. 【详解】解：由，得， 即，解得， 所以． 故选：D 8．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用得，结合题意化简得，列不等式组，求解即可； 设，则，，根据方程，分离参数得，利用函数的单调性求值域即可. 【详解】方法1、因为，所以， 因为，，所以，解得， 则或，解得，则的取值范围为． ［易错］容易忽略作为分式的分母不能为0以及，从而导致取值范围错误． 方法2、 如图，设，则，， 因为，则， 当时，，且； 当时，，所以的取值范围为． 故选：C 9．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知． (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）平方转化为数量积的运算求解； （2）垂直化为数量积为0，由此可得参数值． 【详解】（1）， 则， 故； （2）， 则， 即，解得． 10．（24-25高三上·上海松江·期中）已知，，与的夹角为. (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）若，则与的夹角为或，再由数量积的定义求解即可； （2）由可得，化简可得，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）若，则与的夹角为或， 所以或. （2）若，则， ， 所以可得：， 所以，解得：. 实数的取值范围为. 【考点5：投影向量】 【知识点：投影向量】 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知向量的夹角为，若在方向上的投影向量为，则 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由投影向量的定义, 在方向上的投影向量, 所以. 故答案为：. 2．（24-25高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为基底向量表示，根据数量积结合投影向量的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，， 且， 则， ， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：A. 3．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 4．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知向量，在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而， 所以. 故选：A 5．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据模长相等在左右平方得出数量积，再应用投影向量公式计算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 6．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量的定义计算即可求得在方向上的投影向量． 【详解】因为， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 故选：C． 7．（2025高三·全国·专题练习）若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用向量数量积的运算律可得，进而求投影向量. 【详解】令，且， 所以，可得， 所以向量在上的投影向量为. 故选：A 8．（多选）（24-25高二上·云南·阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为； D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. 【答案】BCD 【分析】根据正八边形图形特征应用数量积公式得出A，应用和向量判断B，应用投影向量判断C，应用数量积投影最大求解D. 【详解】由题意可知，正八边形每条边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2， 对于A，，故A错误； 对于B，，则以为邻边的正方形对角线长是的倍， 可得，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C正确； 对于D，设的夹角为，则， 其中为定值，只需最大即可，， 延长交延长线于，当在线段上运动时，最大， 易知为等腰直角三角形，且， 则在中，， 在等腰三角形中，， 则， 综上，BCD正确. 故选：BCD. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$