6.2.3 向量的数乘运算-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

第六章平面向量及其应用。 [素养聚焦]利用向量减法的几何意义，把直观想 A.AD=0 象、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中 B.AB=0或AD=0 :规律方法 C.平行四边形ABCD是矩形 1.用向量法解决平面几何问题的步骤 D.平行四边形ABCD是正方形 (1)将平面几何问题中的量抽象成向量. (2)化归为向量问题，进行向量运算. (2)若向量a,b满足|a|=8,b|=12,则 (3)将向量问题还原为平面几何问题. a一b的最小值为 ,最大值为 2.用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题 关键 课堂小结 (1)利用向量证明线段平行且相等，从面证明四 边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所 知识落实 技法强化 表示的向量相等即可. (1)向量的减法运算 (2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向 忽视向量共起点时 (2)向量减法的几何意义. 量之间的关系是解决此类问题的关键。 才可进行向量的减 (3)向量加减法的混合运算 [触类旁通 法运算。 (4)向量加减法的综合应用 3.(1)在平行四边形ABCD中，若1AB+AD= AB-AD1,则必有 提示 请完成「课后案1学业评价（三） 6.2.3 向量的数乘运算 学业标准 素养目标 1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义. L.借助数乘运算的运算律，提升数学运算、逻辑 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘 推理等核心素养 运算.（重点） 2.借助向量共线定理，培养数学运算与逻辑推理 3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟 等核心素养 练地运用这些知识处理有关向量共线问题.（难点） 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 问题33a与a的方向有什么关系？-3a与a 的方向呢？ 导学1向量数乘的定义 问题1按照向量的加法法则，若a为非零 向量，则a十a的长度与a的关系怎样？ ◎结论形成 间题2我们知道，x十x十x=3.x,那么a十 a+a能否写成3a呢？ 规定实数入与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ,记作 ,其长度与方向 规定如下： 11 ●数学·必修 第二册（配RJA版） (1)a 问题3向量a与λa(入为常数)共线吗？ (2)a(a≠0)当 时，与a的方向相同； 的方向 当 时，与a的方向相反 特别地，当λ=0时，a= ◎结论形成 当A=-1时，(-1)a=-a. 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存 导学2数乘运算的运算律 在唯一一个实数入，使 1.(1)λ(a)= 抄基础自测 (2)(入十)a= 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (3)λ(a+b)= 特别地，（一A)a=一Aa (1)实数入与向量a的积还是向量.() 1(a-b)= (2)3a与a的方向相同，一3a与a的方向 2.向量的线性运算 相反， ( 向量的 运算 (3)若a=b,则a=b. ( 统称为向量的线性运算，对于任意向量a,b, (4)向量共线定理中，条件a≠0可以去掉. 以及任意实数入，凸h,恒有入(ha士b)= 2.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下 导学3共线向量定理 列等式正确的是 ( A.AB=3 BC B.AC=2 BC 问题1如果两个向量共线，则这两个向量 具有哪几种情况？ C.AC-BC D.AC=2 CB 3.在四边形ABCD中，若AB=- C而.则此 四边形是 问题2根据向量的数乘运算，a与a(入≠0， A.平行四边形 B.菱形 a≠0)的方向有何关系？ C.梯形 D.矩形 4.4(a-b)-3(a+b)-b= A.a-2b B.a C.a-6b D.a-8b 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 向量的线性运算 [自主解答] 例1化简下列各式： a号a-b-号a++a+16: (2)(2m-n)a-b-(m-n)(a-b)(m,n 为实数) 12 第六章平面向量及其应用。 规律方法 题型二用已知向量表示未知向量 向量线性运算的基本方法 一题多变 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项 式的运算，如实数运算中的去括号、移项、合并同 例2如图，四边形OADB 类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积 是以向量OA=a,OB=b 中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指 为边的平行四边形.又 向量，实数看作是向量的系数 (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所 Bi=}BC.C=}Ci,试用a,b表示 求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同 OM.ON.MN. 时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律， [自主解答] 简化运算。 [触类旁通] 1.化简下列各式： 1)3(6a+b)-9a+3bj: 2[a+2b)-(a+2b-2(2a+8): (3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a 母题变式 若将例2改为：平行四边 形对角线AC与BD相交 于点O,F是线段OD的中 点，AF的延长线交DC于点G,设AB=a, AD=b,试用a,b表示AG. 13 ●数学·必修第二册（配RJA版】 规律方阔 [母题变式] 用已知向量表示未知向量的方法 若A,B,C三点共线，O为直线外一点，且 用图形中的已知向量表示所求向量，应结合 OA=xOB+yOC,求证：x十y=1. 已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定 理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量 表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用. [触类旁通] 2.(2022·新高考全国卷I)在△ABC中，点 D在边AB上，BD=2DA.记CA=m,CD =n,则CB= ( A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n [素养聚焦]通过共线向量定理及其应用，把直观 题型三共线向量定理及其应用 一题多变 想象，逻辑推理等核心素养体现在解题过程中 例3如图，已知任意两个非零向量a,b,试 规陣方法 作OA=a十b,OB=a+2b,OC=a+3b.猜 利用向量共线求参数的方法 想A,B,C三点之间的位置关系，并证明你 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量 的猜想. 共线定理寻求唯一的实数入，使得b=a(a≠0).而 已知向量共线求入，常根据向量共线的条件转化为 相应向量系数相等求解，若两向量不共线，必有向 [自主解答] 量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解 方程求得入的值， [触类旁通 3.设a,b是不共线的两个平面向量，已知 PQ=2a+b,QR=a-b.若P,Q,R三点 共线，则实数k的值为 A.2 B.-2 c n-号 课常小结 知识落实 技法强化 (1)向量的数乘及运算律 (2)向量的线性运算。 忽视零向量这一个特 (3)用已知向量表示其他 殊向量 向量. (4)向量共线定理 提示 请完成「课后案1学业评价（四）Lo C b-czB (2)原式=2ma-a-mb-m(a-b)十n(a-b) =2na一a一b一a十b+0一nb =0一b [触类旁通] a+b-c 1.解析(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a. D A b-c (2)原式=号(2a+受）-a-是b ① ② [触类旁通] =a+是b-a-是b=0 2.解析在平面内任取一点O,作向量O-a,O克-b,则向量 (3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. a-b=BA,再作向量BC=c,则向量CA=a一b-c. [例2】[解桥]：矿-号心-号耐 a-b- : -若oi-0i)=日a-b. 9-6 b O=O成+脑=b+合a-名b=言4+号6， 0 a [例3](1)[解析]：AB=DC,:四边形ABCD为平行四边 :c-}cò-oi, 形，：AD-AB=|BC-BA1,∴.1BD1=AC1.∴四边形 : ABCD为矩形 0-元+=i+ [答案]B (2)[解析]：11AB1-|AD11≤1AB-AD1≤AB+ =号0ò=号@i+0成=号a+b. IADI, :.M衣=O-OM 且AD1=9,|AB=6,3≤1AB-AD1≤15. 当AD与AB同向时，IAB-AD1=3: -号a+b)-言a-音b=4-b 1 1 当AD与AB反向时，AB-AD1=15. [母题变式] ∴AB-AD的取值范围为[3,15]. 解析因为DG∥AB, [母题变式] 所以△DFG∽△BFA, 解析因为Bd=AD-A克，1AB1=8,|AD1=5, 又周为DF=合0D=XBD=BD, IIAD1-AB11≤1AD-AB≤AD1+|AB1, 所以3≤|Bd≤13， 所以器器 当AB与AD同向时，BD1=3, 所以A花-A市+D心-市+}A成-子a+b, 当AB与AD反向时，BD=13, 所以B市的取值范围是[3,13]. [触类旁通] [触类旁通] 2.B因为C=C+AB,AD=Ci-CA,又3AD=AB,所以 3.解析(1)在平行四边形ABCD中， C第=-2CA+3CD,即CB=-2m+3m.故选B. AB+ADI-IAB-ADI, [例3][解析]分别作向量OA,OB,OC,过点A,C作直线 即AC1=DB|,可得四边形ABCD是一个特殊的四边形 AC,如图， 矩形. (2)1la-b1|≤la-bl≤a+lbl. 答案(1)C(2)420 6.2.3向量的数乘运算 课前案·自主学习 [教材梳理] 导学1 [问题1门[提示]按三角形法则，a十a=2a. [问题2][提示] 可以。 观察发现，不论向量a,b怎样变化，点B始终在直线AC上， [问题3][提示]3a与a方向相同.一3a与a方向相反， 猜想A,B,C三点共线 ○结论形成 证明如下： 向量数乘a(1)a(2)λ>01<00 导学2 周为AB=O成-OA=a+2b-(a+b)=b, 1.(1)(4)a(2)a+m(3)a+b1(-a)a-b AC-OC-OA-a+3b-(a+b)-2b, 2.加减数乘1a士出b 所以AC=2AB. 导学3 [问题门[提示]方向相同或方向相反或其中一者为零向量. 因此，A,B,C三点共线 [问题2][提示] [母题变式] 相同或相反， [问题3][提示]共线 证明：A,B,C三点共线， ○结论形成 存在实数A,使得AB=ABC, b=la 即OB-OA=A(OC-OB), [基础自测] ∴.OA=(1+)OB-AOC, 1.(1)/(2)/(3)×(4)× 2.D由题意，AC=2CB,故AC=2CB 令x=1十λ，y=一A, .x+y=1. 3.C4.D 课堂案·互动探究 [触类旁通] [例11[解析])原式-（号-号+告）+(-号-专十 3.Ba,b是不共线的两个平面向量，∴a≠b,即QR≠0，P Q,R三点共线，PQ与QR共线，存在实数a,使PQ=AQR ）6-0, .2a十b=a一b,即(2-A)a=(一k一1)b,由a,b不共线，得 2-λ=一k一1=0，解得1=2，k=一2.