6.2.2 向量的减法运算-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

课堂案·互动探究 故飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移之和的大小 [例1][解析]解法一可先作a+c,再作 a+b+c 为800√2km,方向为北偏东80°. (a十c)+b,即a十b十c.如图，首先在平面内任 [触类旁通] 取一点O,作向量OA=a,接着作向量AB=c, 0 3.解析作出图形如图： D 则得向量Oi=a十c,然后作向量BC=b,则向 船速V与岸的方向所成角度 为a,由图示可知v素十= 节实际 量OC=a+b+c为所求. 解法二三个向量不共线，用平行四边形法则来 V集际，结合已知条件，可知四边 形ABCD为平行四边形. 做.如图，(1)在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b: 在Rt△ABC中， 元-A店=vk=l0(m/min),Ad =Ve =20 (m/min), 所以cosa 1c方1_10=1 1AD20=2· 所以a=60°，即船行进的方向与水流方向成120°角. 6.2.2 向量的减法运算 (2)作平行四边形AOBC,则O心=a+b; 课前案·自主学习 (3)再作向量Oj=c; [教材梳理] (4)作平行四边形CODE, 导学1 则Oi-O心+c=a+b+c. [问题1] [提示] 即O正即为所求。 [问题2][提示] 有，向量a的相反向量是一a. ○结论形成 [触类旁通] 1.相等相反相反一a 1.解析作法：在平面内任取一点O,如图所示， 2.(1)零向量(2)0(3)0 导学2 [问题1][提示]不是，是零向量 a+bic B [问题2][提示]①先作出一b:②再按三角形法测或平行四 边形法则进行 ○结论形成 作OA=a,Ai=b,BC=c,则O元-a+b+c 1.相反差 [例2][解析](1)向量(A+P)+(Bò+B0+OP 3.起点起点终点 [基础自测] -AB+BO+OP+PB+BM-AM. 1.(1)√(2)×(3)√(4)W (2)a=(AB+CD)+(BC+DA) 2.DCA=BA-BC=a-b.故选D. -AB+BC+CD+DA=0. 3.BCD,m与n是相反向量， 所以0∥b,A正确：0十b=b,C正确： .m=一n,m=n,m与n方向相反 10+b=10|+|b1,D正确 故选BCD, [答案](1)D(2)ACD 4.解析由题意，得AB-AD1=|D=√反 [触类旁通] 答案② 2.解析(1)AB+C市+B元=(AB+B式)+C市 课堂案·互动探究 -AC+CD-AD. (2)DB+AC+BD+CA [例1](1)[解析]AB+AC-AP-AQ=(AB-AP)+(AC =(DB+BD)+(AC+CA) -AQ)=PB+QC=QC-BP=0. [答案]A =0+0=0. (3)AB+D亦+Ci+BC+Fi (2)[解析]①原式=NP+M-M=NP+PN=NP -AB+BC+CD+DF+FA NP=0. -AC+CD+DF+FA ②原式=AB-Ci-AC+BD =AD+D亦+FA=AF+FA=0 =(AB-AC)+(DC-DB)=CB+BC=0. [例3】[解析]如图所示，设AB,B心分别表示飞机从A地按 [触类旁通] 北偏东35°方向飞行800km到达B地，从B地按南偏东55 1.解析(1)解法-Oi-Od+Ai=Di+AD=0. 方向飞行800km到达C地】 解法二OA-O市+AD=0A+AD-Oi=0i-O市=0. 北 (2)AB+DA+BD-BC-CA =AB+DA+BD+CB+AC 55 =(AB+BD)+(AC+CB)+DA 5 -AD+AB+DA -AD+DA+AB 东 =0+AB=AB】 则飞机飞行的路程是AB|十|B心|，两次飞行的位移的和是：[例2][解桥]，解法一如图①，在平面内任取一点O,作O AB+BC=AC. =a,Oi=b,OC=c,连接BC,则C克=b-c.过点A作AD4 依题意，有|AB1+|BC1=800+800=1600(km), BC,连接OD,则AD=b-c,所以Oi=OA+AD=a+b-c. 周为∠ABC=35°+55°=90°， 解法二如图②，在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,连 所以1AC|=√/AB2+|BC平=√800+800 接OB,则Oi=a十b,再作O心=c,连接CB,则C克=a+b-c. 800√/2(km). 解法三如图③，在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,连 由题可知∠BAC=45°，所以方向为北偏东35°+45=80°， 接OB,则Oi=a+b,再作CB=c,连接OC,则OC=a+b-c. Lo C b-czB (2)原式=2ma-a-mb-m(a-b)十n(a-b) =2na一a一b一a十b+0一nb =0一b [触类旁通] a+b-c 1.解析(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a. D A b-c (2)原式=号(2a+受）-a-是b ① ② [触类旁通] =a+是b-a-是b=0 2.解析在平面内任取一点O,作向量O-a,O克-b,则向量 (3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. a-b=BA,再作向量BC=c,则向量CA=a一b-c. [例2】[解桥]：矿-号心-号耐 a-b- : -若oi-0i)=日a-b. 9-6 b O=O成+脑=b+合a-名b=言4+号6， 0 a [例3](1)[解析]：AB=DC,:四边形ABCD为平行四边 :c-}cò-oi, 形，：AD-AB=|BC-BA1,∴.1BD1=AC1.∴四边形 : ABCD为矩形 0-元+=i+ [答案]B (2)[解析]：11AB1-|AD11≤1AB-AD1≤AB+ =号0ò=号@i+0成=号a+b. IADI, :.M衣=O-OM 且AD1=9,|AB=6,3≤1AB-AD1≤15. 当AD与AB同向时，IAB-AD1=3: -号a+b)-言a-音b=4-b 1 1 当AD与AB反向时，AB-AD1=15. [母题变式] ∴AB-AD的取值范围为[3,15]. 解析因为DG∥AB, [母题变式] 所以△DFG∽△BFA, 解析因为Bd=AD-A克，1AB1=8,|AD1=5, 又周为DF=合0D=XBD=BD, IIAD1-AB11≤1AD-AB≤AD1+|AB1, 所以3≤|Bd≤13， 所以器器 当AB与AD同向时，BD1=3, 所以A花-A市+D心-市+}A成-子a+b, 当AB与AD反向时，BD=13, 所以B市的取值范围是[3,13]. [触类旁通] [触类旁通] 2.B因为C=C+AB,AD=Ci-CA,又3AD=AB,所以 3.解析(1)在平行四边形ABCD中， C第=-2CA+3CD,即CB=-2m+3m.故选B. AB+ADI-IAB-ADI, [例3][解析]分别作向量OA,OB,OC,过点A,C作直线 即AC1=DB|,可得四边形ABCD是一个特殊的四边形 AC,如图， 矩形. (2)1la-b1|≤la-bl≤a+lbl. 答案(1)C(2)420 6.2.3向量的数乘运算 课前案·自主学习 [教材梳理] 导学1 [问题1门[提示]按三角形法则，a十a=2a. [问题2][提示] 可以。 观察发现，不论向量a,b怎样变化，点B始终在直线AC上， [问题3][提示]3a与a方向相同.一3a与a方向相反， 猜想A,B,C三点共线 ○结论形成 证明如下： 向量数乘a(1)a(2)λ>01<00 导学2 周为AB=O成-OA=a+2b-(a+b)=b, 1.(1)(4)a(2)a+m(3)a+b1(-a)a-b AC-OC-OA-a+3b-(a+b)-2b, 2.加减数乘1a士出b 所以AC=2AB. 导学3 [问题门[提示]方向相同或方向相反或其中一者为零向量. 因此，A,B,C三点共线 [问题2][提示] [母题变式] 相同或相反， [问题3][提示]共线 证明：A,B,C三点共线， ○结论形成 存在实数A,使得AB=ABC, b=la 即OB-OA=A(OC-OB), [基础自测] ∴.OA=(1+)OB-AOC, 1.(1)/(2)/(3)×(4)× 2.D由题意，AC=2CB,故AC=2CB 令x=1十λ，y=一A, .x+y=1. 3.C4.D 课堂案·互动探究 [触类旁通] [例11[解析])原式-（号-号+告）+(-号-专十 3.Ba,b是不共线的两个平面向量，∴a≠b,即QR≠0，P Q,R三点共线，PQ与QR共线，存在实数a,使PQ=AQR ）6-0, .2a十b=a一b,即(2-A)a=(一k一1)b,由a,b不共线，得 2-λ=一k一1=0，解得1=2，k=一2.·数学·必修 第二册(配RJA版) [触类旁通] 课堂小结 3.在静水中船的速度为20m/min,水流的速 知识落实 技法强化 度为10m/min,如果船从岸边出发沿垂直 于水流的航线到达对岸,求船行进的方向 (1)向量加法的三角形 使用向量加法的三角 过法则. 形法则时要注意向量 (2)向量加法的平行四边形 首尾相接,使用平行 过法则. 四边形法则时要注意 (3)向量三角不等式 把向量移到共同 (4)向量加法的运算律 过起点. (5)向量加法的实际应用 请完成I课后案]学业评价(二) 6.2.2 向量的减法运算 学业标准 素养目标 1.理解相反向量的含义,能用相反向量说出向量相减 1.类比实数减法运算的定义,导出向量减法运算 的意义.(难点) 培养逻辑推理和数学抽象等核心素养 2.掌握向量减法的运算及其几何意义,能熟练地进 2.通过向量减法运算的三角形法则,提升直观想象 行向量的加减运算.(重点、难点) 和逻辑推理等核心素养, 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算 必备知识 课前案·自主学习1 素养初成 I教梳理 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是 导学1相反向量 (2)对于相反向量有:a十(一a)一(一a)十a 问题1一个数a的相反数是什么? (3)若a,b互为相反向量,则a--b,b--a a十b- 问题2 一个向量有相反向量吗? 导学2 向量的减法 问题1两个相反数的和为零,那么两个相 结论形成 反向量的和也为零吗? 1.定义:与向量a长度 ,方向 的向量,叫做a的 向 量,记作 __ 第六章 平面向量及其应用 问题2 根据向量加法,如何求作a一b? 基础自测 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) (1)两个相等向量之差等于0 C结论形成 (2)两个相反向量之差等于0. 1.定义;a一b=a十(-b),即减去一个向量, (3)两个向量的差仍是一个向量 ) 相当于加上这个向量的 向量,求 (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆 两个向量 的运算,叫做向量的 运算. ( ) 减法. 2.在△ABC中,若BA-a,BC-b,则CA- 2.几何意义:在平面内任取一点O,作OA-a ) OB-b,则向量a-b=BA,如图所示. A.a B.a十b C.b-a D.a-b 3.(多选题)非零向量n与n是相反向量,下 ( 列叙述正确的是 ) 放在 3.文字叙述:如果把两个向量的 A.m-n B.m--n 一起,那么这两个向量的差是以减向量的终 C. m|-Inl D.m与n是方向相反 点为 ,被减向量的终点为 4.已知四边形ABCD是边长为1的正方形, 的向量. 则/AB-AD= 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 向量减法运算 规律万法 向量减法运算的常用方法 例1(1)如图,P,Q是 可以通过相反向量,把向量减法的 △ABC的边BC上的两 运算转化为加法运算 点,且BP-QC,则化简 运用向量减法的三角形法则,此时 注意两个向量要有共同的起点。 AB+AC-AP-AQ的结果为 __ 引入点0,逆用向量减法的三角形 法则,将各向量起点统一 A.0 B.BP [触类旁通] C.PQ D.PC 1.化简:(1)OA-OD+AD (2)化简:①N-PQ-NM-MP; (2)AB+DA+BD-BC-CA ②(AB-CD)-(AC-BD). [自主解答] 0 数学·必修 第二册(配RJA版) 题型二 已知向量作差向量 一题多解 题型三 向量减法的几何意义的应用 例2 如图,已知向量a,b,c 一题多变 不共线,求作向量a十b一c. 例3(1)在四边形ABCD中,AB-DC,若 [自主解答] AD-AB|= |BC-BA ,则四边形ABCD 是 ( ) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 (2)已知| AB =6,|AD| =9,求$$$$ AB-AD|的取值范围. [自主解答] 规律万法 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行,如a一b,可以 先作一b,然后作a十(一b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向 量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点, [母题变式 指向被减向量的终点的向量. 将例3(2)的条件改为“AB|-8, AD|-5” [触类旁通] 求BD的取值范围 2.如图,已知向量a,b,c,求 作向量a-b-c. 第六章 平面向量及其应用 A.AD-0 [素养聚焦] 利用向量减法的几何意义,把直观想 象、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中。 B.AB-0或AD-0 规钟万法 C.平行四边形ABCD是矩形 1.用向量法解决平面几何问题的步骤 D.平行四边形ABCD是正方形 (1)将平面几何问题中的量抽象成向量 (2)化归为向量问题,进行向量运算, (2)若向量a,b满足a=8:b=12,则 la一b的最小值为 (3)将向量问题还原为平面几何问题 ,最大值为 2. 用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题 关键 课堂小结 (1)利用向量证明线段平行且相等,从而证明四 知识落实 边形为平行四边形,只需证明对应有向线段所 技法强化 表示的向量相等即可, (1)向量的减法运算. (2)根据图形灵活应用向量的运算法则,找到向 忽视向量共起点时 (2)向量减法的几何意义. 量之间的关系是解决此类问题的关键 才可进行向量的减 (3)向量加减法的混合运算 [触类旁通] 法运算。 (4)向量加减法的综合应用 3.(1)在平行四边形ABCD中,若)AB+AD AB-AD,则必有 ( 请完成[课后案]学业评价(三) 6.2.3 向量的数乘运算 学业标准 素养目标 1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义, 1.借助数乘运算的运算律,提升数学运算、逻辑 2.理解并掌握向量数乘的运算律,会进行向量的数乘 推理等核心素养. 运算.(重点) 2.借助向量共线定理,培养数学运算与逻辑推理 3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法,并能熟 等核心素养 练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(难点) 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 问题3 3a与a的方向有什么关系?-3a与a 的方向呢? 导学1向量数乘的定义 问题1 按照向量的加法法则,若a为非零 向量,则a十a的长度与a的关系怎样? 结论形成 问题2 我们知道,x十x十x三3x,那么a十 规定实数入与向量a的积是一个 a十a能否写成3a呢? ,这种运算叫做向量的 ,记作 ,其长度与方向 规定如下: 11