6.1 平面向量的概念-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 学业标准 素养目标 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念 2.理解向量的几何表示，理解单位向量、零向量的概1.通过平面向量的引入，培养数学抽象等核心素养. 念.（重点、难点） 2.借助平面向量的几何表示、平行向量和共线向量 3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念 等知识，提升直观想象、逻辑推理等核心素养」 (重点) 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 问题2这些量与我们日常生活中的面积、 质量等有什么区别？ 导学1向量的实际背景与概念 1.民航每天都有从北京飞往上海、广州、重 庆、哈尔滨等地的航班.每次飞行都是民航 客机的一次位移.由于飞行的距离和方向 各不相同，因此，它们是不同的位移。 ⊙结论形成 2.汽车向东北方向行驶了60km,行驶速度 1.向量：既有 ,又有 的量叫 的大小为120km/h,方向是东北 做向量. 3.起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下 2.数量：只有 ,没有 的量称 的重力作用，同时又受到竖直向上的起重 为数量 机拉力的作用. 问题1上述三个实例中涉及哪些物理量？ 导学2向量的有关概念和几何表示 1.有向线段 (1)有向线段的概念：在线段AB的两个端 点中，规定一个顺序，假设A为 B为 ,我们就说线段AB具有方 ●数学·必修第二册（配RUA版） 向，具有方向的线段叫做有向线段.以A (1)记法：向量a平行于向量b,记作 为起点、B为终点的有向线段记作 (2)规定：零向量与任意向量 ,线段AB的长度也叫做有向线 2.相等向量：长度 且方向 段 的长度，记作 的向量叫做相等向量。 (2)有向线段的三要素： 3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平 2.向量的有关概念 移到同一直线上，因此平行向量也叫做 (1)向量的模（长度）：向量AB的大小称为 向量.也就是说，平行向量与共线 向量AB的 ,记作 向量是等价的，在此要注意避免向量平行、 (2)零向量：长度为 的向量，记 共线与平面几何中的直线平行和重合相 作0. 混淆 (3)单位向量：长度等于 长度的 >基础自测 向量 3.向量的表示 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)两个向量，长度大的向量较大.() 用有向线 段表示 (2)如果两个向量共线，那么其方向相同. 用字母 表示 用宁母a或AB表示 (3)向量的模是一个正实数， 导学3相等向量与共线向量 (4)向量就是有向线段， 问题1如图所示，向量A户，QB,BC有什么 2.如图，在⊙0中，向量0,0心， 关系？ AO是 ( A.有相同起点的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等的向量 3.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行 问题2向量QB,BC与向量QC共线是显然 四边形，则与ED相等的向量有 的，那么能否得到向量AP也与它们共 线呢？ 4.如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为 其中心，则OA ©结论形成 1.平行向量：方向 的 向量叫做 平行向量 2 第六章平面向量及其应用。 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一向量的概念 ①OA,使OA1=42,点A在点O北偏 东45°： 例1（多选题）下列说法错误的是 ( ②AB,使AB|=4,点B在点A正东： A.数量可以比较大小，向量也可以比较 ③BC,使IBCI=6,点C在点B北偏 大小 东30°. B.方向不同的向量不能比较大小，但同向 [自主解答] 的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 [素养聚焦]利用向量的概念的识别，把数学抽象、 逻辑推理等核心素养体现在解题过程中， 规健团法 规健方园 向量是既有大小，又有方向的量，两个向量不 用有向线段表示向量的步骤 能比较大小，但向量的长度（模）是一个数量，可以 北较大小 定起点 先确定向量的起点 [触类旁通] 定方向 再确定向量的方南 1.(多选题)下列说法正确的有 根据向量的长度确定向 定终点 A.单位向量的长度大于零向量的长度 量的终点 B.零向量与任一单位向量平行 「触类旁通 C.向量AB和向量BA长度相等 2.已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行 D.向量就是有向线段 2000km到达B地，再从B地按南偏东 题型二向量的几何表示及应用 30°的方向飞行2000km到达C地，再从 例2(1)如图，B,C是线段AD的三等分 C地按西南方向飞行1000√2km到达 D地 点，分别以图中各点为起点和终点，可以写 出 个向量 (1)作出向量AB,BC,CD,DA: (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地 AB C D 多远？ (2)在如图所示的坐标纸上（每个小方格边 长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： 3 ●数学·必修第二册（配RUA版） 题型三相等向量与共线向量 一题多变 规健方法 相等向量与共线向量的判断 例3如图，四边形ABCD为边 (1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这 长为3的正方形，把各边三等 两个向量是共线向量. 分后，共有16个交点，从中选 (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定 取两个交点作为向量的起点 是共线向量 和终点，则与AC平行且长度为2√2的向量 (3)非零向量共线具有传递性，即向量a,b,c为非 有哪些？（在图中标出相关字母，写出这些 零向量，若a∥b,b∥c,则可推出a∥c. 向量) 「触类旁通 [自主解答 3.如图所示，△ABC的三边 均不相等，E,F,D分别是 AC,AB,BC的中点， (1)写出与EF共线的向量： (2)写出模与EF的模相等的向量： (3)写出与EF相等的向量. [母题变式 1.例3中，与向量AC同向且长度为2√2的向 量有几个？ 课堂小结 2.例3中，如图，与向量AO相等 的向量有多少个？ 知识落实 技法强化 (1)向量的概念及表示 解决问题中常借助数 (2)向量的相关概念：零向 形结合，其中零向量 量、单位向量、相等向量、共 和单位向量的方向容 线向量（平行向量） 易混淆 (3)向量的应用. 请完成[课后案]学业评价（一)高中同步学习方案 第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 格数为3√3≈5,2，于是点C位置可以确定，画出向量BC知图 课前案·自主学习 所示， [教材梳理] 「触类旁通] 导学1 2.解析(1)由题意，作出向量AB. (北) [问题1门[提示]分别涉及位移、達度和力。 BC,CD,DA,如图所示. [问题2]「提示]面积、质量等只有大小没有方向，而位移，递 309 (2)依题意知，三角形ABC为正三 度和力既有大小又有方向， 角形，所以AC=2000km,又因为 309 ○结论形成 1.大小方向2.大小方向 ∠ACD=45.CD=1000√2，所以 A(O) 4509 (东) 导学2 △A(CD为等腰直角三角形，即AD L.(1)起点终点ABA店AB 1000√2km.∠CAD=45,所以D (2)起点、方向、长度 地在A地的东南方向，距A地 (南) 2.(1)长度AB1(2)0(3)1个单位 10002km. 导学3 [例3][解析]知图所示，满足与AC平行且长度为2,2的向量有 [问题1门[提示]AP∥Q苏，A∥B武，A市∥QC,1AP1 A亦，Fi.式C主GiH心，i,i共8个 QB1=BC1且它们的方向也相同. D [问题][提示]只要两个向量模相等，方向相同，两个向量 就是相等的，即向量可以平移，最后概括出平行向量即共线 向量， Q结论形成 1.相同或相反 非零(1)a∥b(2)平行 2.相等相同 [母题变式] 3.共线 L.解析与向量AC同向且长度为22的向量占与向量AC平行且长 [基础自测 1.(1)×(2)×(3)×X(4)× 度为2√2的向量中的一半，共4个 2.C 2.解析题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量 3.AB.DC AO方向相同的向量与其相等，共有8个. 「触类旁通] 4.解析因为正方形的对角线长为2√2 3.解析(1)因为E,F分别是AC,AB的中点， 所以1OA1=2. 答案√② 所以EF∥BC,EF=BC 课堂案·互动探究 又因为D是BC的中点， [例1门[解析]A项，向量不能比较大小，不正确：B项，同向 所以与EF共线的向量有F正，BD,DB.DC,CD,BC,CB 的向量也不能比较大小，不正确：C项，向量的大小即向量的 (2)模与EF的模相等的向量有FE,BD,DB.DC.CD. 模，指的是向量的长度，与方向无关，不正确：D项，向量的模 是一个数量，可以比较大小，正确. (3)与EF相等的向量有DB,CD, [答案]ABC 6.2平面向量的运算 [触类旁通] 6.2.1向量的加法运算 L.ABC单位向量的长度为1，零向量的长度为0，故A正确：零 课前案·自主学习 向量与任一向量平行，B正确：因为向量AB与向量BA是方向 教材梳理 相反、模相等的两个向量，故C正确：向量可用有向线段来表 导学1 示，不能把两者等同起来，D不正确， [问题1][提示] 前两次位移的结果与合位移相同. L例2](1)[答案]12 [问题2][提示] AB-CD.AC=BD.AD=AB+AC. (2)[解析]①由于点A在，点0北编东45°处，所以在坐标纸 ○结论形成 上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等，文因为 1.两个向量和 O月1=4区，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格 2.ACa十bA心三角形0十aaO心平行四边形 数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量 (1)位移力(2)等号 O川如图所示. 导学2 ②由于点B在点A正东方向处，且AB=4,所以在坐标纸上 [问题1] [提示]是， 点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为O,于是点B: [问题2]提示] 如图，a+b+c=(a十b)》十c=a+(b+c). 住置可以确定，画出向量AB如图所示 北 ©结论形成 b十aa十(b十c) .. 「基础自测门 1.(1)/(2)×(3)×(4)X ③由于点C在点B北偏东30°处·且BC1=6,依据勾股定理 2.C3.D 可得：在坐标纸上点C距，点B的横向小方格数为3，纵向小方 4,2