1.4.1第一课时 空间中点、直线和平面的向量表示讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册 第一章空间向量与立体几何 第一章空间向量与立体几何 ---06空间中点、直线和平面的向量表示 一、问题导学 问题1：如何确定一个点在空间的位置？ 问题2：在空间中给一个定点和一个定方向（向量）,能确定一条直线在空间中的位置吗？ 问题3：给一个定点和两个定方向（向量）,能确定一个平面在空间中的位置吗？ 问题4：给一个定点和一个定方向（向量）,能确定一个平面在空间中的位置吗？ 二、知识构建 知识点一 空间中点的向量表示． 知识点二 空间直线的向量表示 设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得 ，即. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ，即 . 空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 知识点三 空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使 .我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 知识点四 空间中直线的方向方向、平面的法向量 1.空间中直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的 称为直线 l 的方向向量． 2.空间中平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称 a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全 确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 三、类型应用 【例1】（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1-1】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【跟踪训练1-2】（24-25高二下·全国·随堂练习）给出下列说法，正确的是（    ） A．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反 B．平面的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量 C．两直线的方向向量平行，则两直线平行 D．直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行 【例2】（20-21高二·江苏·课后作业）如图在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的法向量； (2)求平面的法向量． 【跟踪训练2-1】（20-21高二·江苏·课后作业）已知平面α内两个向量，，求平面α的一个法向量． 【跟踪训练2-2】（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 【跟踪训练2-3】（21-22高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量； （2）求平面的一个法向量． 【跟踪训练2-4】（20-21高二·全国·课前预习）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是 （填序号） 【跟踪训练2-5】（21-22高二上·全国·课后作业）在长方体中，，，．以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面的一个法向量． 五、素养提升 1.（20-21高二下·福建厦门·期末）已知，，，若点在平面内，则 . 2.（24-25高二上·北京房山·期末）在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 多选题 3.（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知，，是空间中的三个点，则（    ） A．向量的模长为4 B．直线的一个方向向量为 C．向量在向量方向上的投影向量为 D．若，则，，，四点共面 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$选择性必修第一册 第一章空间向量与立体几何 第一章空间向量与立体几何 ---06空间中点、直线和平面的向量表示 一、问题导学 问题1：如何确定一个点在空间的位置？ 问题2：在空间中给一个定点和一个定方向（向量）,能确定一条直线在空间中的位置吗？ 问题3：给一个定点和两个定方向（向量）,能确定一个平面在空间中的位置吗？ 问题4：给一个定点和一个定方向（向量）,能确定一个平面在空间中的位置吗？ 二、知识构建 知识点一 空间中点的向量表示． 知识点二 空间直线的向量表示 设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t. 空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 知识点三 空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 知识点四 空间中直线的方向方向、平面的法向量 1.空间中直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 2.空间中平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称 a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全 确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 三、类型应用 【例1】（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标表示、求直线的方向向量 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 【跟踪训练1-1】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【知识点】空间向量平行的坐标表示、直线方向向量的概念及辨析 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 【跟踪训练1-2】（24-25高二下·全国·随堂练习）给出下列说法，正确的是（    ） A．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反 B．平面的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量 C．两直线的方向向量平行，则两直线平行 D．直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行 【答案】A 【知识点】平面法向量的概念及辨析、求直线的方向向量 【分析】根据直线方向向量与平面法向量的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由两条直线平行可知：两条直线的方向向量共线，故方向相同或者相反，A正确， 对于B，平面的法向量有无数个，且互相平行，故B错误， 对于C，两直线的方向向量平行，则两直线平行或者重合，故C错误， 对于D，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行或直线在平面内，故D错误， 故选：A 【例2】（20-21高二·江苏·课后作业）如图在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的法向量； (2)求平面的法向量． 【答案】(1) (2) 【知识点】求平面的法向量 【分析】（1）可以观察出y轴垂直于平面，故就是平面的一个法向量；（2）利用求解平面的法向量的方法进行求解. 【详解】（1）因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量． （2）因为，，，M是的中点，所以M，C，的坐标分别为，，．因此，． 设是平面的法向量，则 ，． 所以 所以 取，则，．于是是平面的一个法向量． 【跟踪训练2-1】（20-21高二·江苏·课后作业）已知平面α内两个向量，，求平面α的一个法向量． 【答案】 【知识点】求平面的法向量 【分析】设平面的法向量为，则，即可得到不定方程组，再取出其中一个即可. 【详解】解：设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以平面的一个法向量为. 【跟踪训练2-2】（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求平面的法向量 【分析】求出，由，求解即可． 【详解】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 【跟踪训练2-3】（21-22高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量； （2）求平面的一个法向量． 【答案】(1)； (2). 【知识点】求平面的法向量 【分析】(1)求出平面内的两个向量，，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量； (2)求出平面内的两个向量，，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量. 【详解】易知，，，. (1)，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， 所以平面的一个法向量为； (2) ，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， 所以平面的一个法向量为 【跟踪训练2-4】（20-21高二·全国·课前预习）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【知识点】求直线的方向向量、求平面的法向量 【分析】根据向量的平行、方向向量、法向量及坐标运算求解即可. 【详解】设正方体的棱长为1. 因为，且，所以①正确； 因为，，所以②正确； 因为平面，，所以③正确； 因为正方体中平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，而与相交，不平行，与平面不垂直， 故不是平面的法向量，所以④错误. 故答案为：①②③. 【跟踪训练2-5】（21-22高二上·全国·课后作业）在长方体中，，，．以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面的一个法向量． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求平面的法向量 【分析】求得坐标，设出法向量，根据即可求解. 【详解】由题可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则平面的一个法向量为. 5、 素养提升 1.（20-21高二下·福建厦门·期末）已知，，，若点在平面内，则 . 【答案】 【知识点】平面法向量的概念及辨析、求平面的法向量 【分析】求出平面的法向量，由法向量求参数值． 【详解】设平面的一个法向量是，又， 所以，取得， 在平面上， 则，． 故答案为：． 2.（24-25高二上·北京房山·期末）在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【知识点】求平面的法向量 【分析】求出平面的一个法向量的坐标，根据可得出、所满足的关系式，即可得解. 【详解】设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为在平面内，则平面，且， ， 故满足条件的一个点的坐标为. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）. 多选题 3.（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知，，是空间中的三个点，则（    ） A．向量的模长为4 B．直线的一个方向向量为 C．向量在向量方向上的投影向量为 D．若，则，，，四点共面 【答案】BD 【知识点】空间向量模长的坐标表示、求直线的方向向量、判定空间向量共面、求投影向量 【分析】利用，，三点的坐标写出向量，的坐标，即可求出及直线的一个方向向量，从而可以判断A，B选项；再利用投影向量的公式即可求出向量在向量方向上的投影向量，从而判断C选项；利用空间向量共面定理可以判断与、共线，从而判断D选项. 【详解】，，， ，， 对于A：，故A错误； 对于B：直线的方向向量与共线，而， 直线的一个方向向量是，故B正确； 对于C：，， 向量在向量方向上的投影向量为 ，故C错误； 对于D：，，与不共线， ，， 设存在唯一实数对使得，则 ， ，， 存在唯一实数对使得， 与、共面，即，，，四点共面，故D正确. 故选：BD. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$