精品解析：山东省枣庄市第二中学2024-2025学年高一下学期阶段性检测（4月）数学试题

2024级高一年级阶段性检测数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量基底的意义，利用共线向量的坐标表示判断作答. 【详解】对于A，与共线，A不是； 对于B，由知，与不共线，B是； 对于C，由知，，共线，C不是； 对于D，由知，，共线，D不是. 故选：B 2. 的值为( 　 ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式进行化简，由此得出正确选项. 【详解】注意到，所以，所以.故选C. 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系的向量表示可得，即可得出结果. 【详解】由可得， 由于，可得， 解得， 由于，因此． 故选：D 4. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，从而可判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理得， 化简得，故， 从而的形状为钝角三角形， 故选：B. 5. 在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】因为点D为线段BC的中点，点E满足， 所以，所以， 消去，得， 所以， 所以，，所以． 故选：D． 6. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可. 【详解】设，则可得， 由，可得B是AC的中点，所以， 而，则， ，中，由余弦定理可得：， 解得：，所以该建筑的高度米. 故选：B. 7. 已知外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在上的投影向量的模为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件得到四边形是边长为2的菱形且，利用投影向量的定义求出投影向量的模长. 【详解】如图： ∵，∴，∴， ∴四边形为平行四边形. 又O为外接圆的圆心，且， ∴是边长为2的正三角形， ∴平行四边形是边长为2的菱形且， ∴，， 故向量在上的投影向量的模为. 故选：A 8. 在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，，求出点坐标可得，利用二次函数的单调性可得答案. 【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 所以，因为D为BC的中点，所以， ，设，所以， 所以，可得，， 所以， 因为，所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是以为坐标原点建立平面直角坐标系，转化为坐标的运算求数量积. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 装货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则下列说法正确的是（ ） A. A处与D处之间的距离是24海里 B. 灯塔C与D处之间的距离是海里 C. 灯塔C在D处的西偏南 D. D在灯塔B的北偏西 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意作出图形，然后在中，结合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得，然后求出相关角度，进而逐项分析即可. 【详解】根据题意作出图形： 由货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里，得，， 又在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里，得，， 又货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，得， 所以在中，. 对于A：在中，由正弦定理得， 所以（海里)，故A正确； 对于B：在中，由余弦定理得， 即（海里)，故B正确； 对于C：因为，所以， 所以灯塔在处的南偏西方向，即灯塔C在D处的西偏南，故C正确； 对于D：由，在灯塔的南偏东处，在灯塔的北偏西处，故D错误. 故选：ABC. 10. 点为△所在平面内一点，则（ ） A. 若，则点为△的重心 B. 若，则点为△的垂心 C. 若．则点为△的垂心 D. 在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角形四心的定义，结合向量数量积的几何意义，对题目中的四个选项逐一进行运算判断，判断出点在△中的特殊位置，即可得到答案． 【详解】A．由于，其中为的中点，可知为边上中线的三等分点（靠近线段），故为△的重心；选项A正确. B．向量，，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量，当，即时，则点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为△的内心；选项B错误. C．是以，为边的平行四边形的一条对角线的长，而是该平行四边形的另一条对角线的长，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，故为△的外心．选项C错误. 对于D，设是的中点，， 即，所以， 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过△的外心.选项D正确. 故选：AD. 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由得，对于A，由角即可判断得解；对于B，分析得出矛盾进而得，结合诱导公式即可得解；对于C，由和结合二倍角公式和诱导公式求出角A、B、C即可得解；对于D，结合选项C利用正弦定理即可得解. 【详解】因为，所以， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，若角，则由及得及，不符合， 故角，则由及得， 所以即，故B正确； 对于C，由上， 所以由得，整理得， 解得或，由得，故， 所以，，故，故C正确； 对于D，因为即，所以由正弦定理，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：对于选项C，可知是探究角A与角C的关系，所以应将已知条件代入等量关系中再切化弦，接着结合二倍角公式和诱导公式进行运算和转化求出角A，进而可依据已知条件求出角B、C即可得解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为________米． 【答案】85 【解析】 【分析】设乘客乘坐摩天轮与地面的高度与时间的关系，利用待定系数法求得对应系数，写出的解析式，再计算的值． 【详解】设乘客乘坐摩天轮与地面的高度与时间的关系为：，，,， 由题意可知，，， ，即， 又，即，故， ， ． ∴第7分钟时他距离地面的高度大约为85米. 故答案为：85. 13. 已知向量，，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标表示以及同角三角函数商的关系计算求解即可； 【详解】依题意 . 故答案为：. 14. 已知内一点是其外心，，且，则的最大值为_____________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】延长交于，令结合向量共线的推论得到，数形结合判断取最大值时的形状，进而求其最大值. 【详解】如图所示，延长交于， 令， ∵，，三点共线， ∴， ∴取最大值时，取最大值，则， ∵为外接圆的半径（定值）， ∴当取得最小时，取最大值，此时， ∴为等腰三角形，且， ∴，则，，， ∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：延长交于，令结合向量知识，将问题化为求的最大值，数形结合进一步化为求最小值为关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知是钝角，是锐角，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式可得，再由二倍角的余弦公式即可求解； （2）根据同角三角函数的基本关系分别求出，，由及两角差的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为是钝角，是锐角，， 所以，，， 所以， . 所以 , 16. 在中，角的对边分别为. （1）求证：； （2）若，求的面积. 【答案】（1）证明：由题意得：， 由余弦定理得，， 所以， 由于，所以或， 因为，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用题中条件和余弦定理可以得到，再根据三角形中角的范围，确定； （2）由正弦定理得，由余弦定理可得，求出，再利用余弦定理求出，利用同角三角函数的关系求出，最后利用三角形的面积公式求出的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正弦定理可得，即，得， 由余弦定理可得，代入得， 解得舍去）， 所以，故. 17. 在平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点． （1）若，求的值； （2）若，设点D为线段OA（包括端点）上的动点，求的最小值； （3）若，向量，，求式的最小值及对应的值． 【答案】（1） （2） （3）当时，最小0. 【解析】 【分析】（1）求出，将目标式转化为用表示，然后代入的值计算即可； （2）设点，利用向量的坐标运算以及二次函数的性质计算模的最小值； （3）计算化简，然后利用正弦函数的性质求解最值. 【小问1详解】 因为，则， 则； 【小问2详解】 因为，且，则点，设点，， 则， 所以， 当时，最小，且最小为； 【小问3详解】 由已知点，则， 又， 所以 ， 因为，所以， 则当，即时，取最小值，且最小值为. 18. 在中，角A，B，C对应边为，，，满足 （1）求的大小； （2）（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值； （ii）延长BC至点，使得.若求的大小. 【答案】（1） （2）（i）的最大值为；（ii）或 【解析】 【分析】（1）由，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得，可得B的大小； （2）（i）由三角形的面积公式得到，再由余弦定理和基本不等式求其最大值即可； （ii）设，，在和中，由正弦定理表示边角关系，化简求的大小. 【小问1详解】 在中，，所以． 因为，所以， 即 化简得． 因为，所以，． 因为，所以． 【小问2详解】 （i）由三角形面积公式可得，即， 在中由余弦定理可得，即， 所以，所以的最大值为， 此时，当且仅当时取等号； （ii）设，，则． 由（1）知，又，所以在中，． 在中，由正弦定理得，即①． 在中，由正弦定理得，即②． ①÷②，得，即，所以． 因为，，所以或，故或． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问关键是能用三角形面积公式把用表示，再结合基本不等式求解. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则，. 则，所以. 【小问2详解】 由，，得，， 且， 所以，， ，则， ， 因为与的夹角为，则，解得. 【小问3详解】 依题意设、， 且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以，， 由题意可知，，， 则， 在中依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，，， ， 为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一年级阶段性检测数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 的值为( 　 ) A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 5. 在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在上的投影向量的模为（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 装货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则下列说法正确的是（ ） A. A处与D处之间的距离是24海里 B. 灯塔C与D处之间的距离是海里 C. 灯塔C在D处的西偏南 D. D在灯塔B的北偏西 10. 点为△所在平面内一点，则（ ） A. 若，则点为△的重心 B. 若，则点为△的垂心 C. 若．则点为△的垂心 D. 在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为________米． 13. 已知向量，，若，则________. 14. 已知内一点是其外心，，且，则的最大值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知是钝角，是锐角，，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 在中，角的对边分别为. （1）求证：； （2）若，求的面积. 17. 在平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O为坐标原点． （1）若，求的值； （2）若，设点D为线段OA（包括端点）上的动点，求的最小值； （3）若，向量，，求式的最小值及对应的值． 18. 在中，角A，B，C对应边为，，，满足 （1）求的大小； （2）（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值； （ii）延长BC至点，使得.若求的大小. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $