专题14 第10章二元一次方程组之单元专项提升（重难点常考题型精讲精练）- 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

专题14 二元一次方程组单元专项提升【3大考点8大题型】 （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 二元一次方程组】 【解题知识必备】 1.二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3.二元一次方程组的定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 4.二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 5.消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． 6.解二元一次方程组的基本方法 （1）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （2）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 7.二元一次方程组的应用 解题步骤 1）审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2）设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3）列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4）解方程组； 5）检验：检验方程的根是否符合题意； 6）作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 二元一次方程（组）的概念 【题型02】 二元一次方程（组）的解 【题型03】 二元一次方程组的解法 【题型04】 二元一次方程组的特殊解法 【题型05】 构造二元一次方程组求解 【题型06】 二元一次方程组的错解问题 【题型07】 三元一次方程组的解法 【题型08】 二元一次方程组的实际应用 【核心考点板块1 二元一次方程（组）的相关概念】 技巧提示： 1.二元一次方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3.二元一次方程组的一般形式为（其中，，，不同时为零）． 4.方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.方程组的解要用大括号联立。 【题型01】 二元一次方程（组）的概念 1.（2023-2024七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列方程中是二元一次方程的为（   ） A． B． C． D． 2.（2022-2023七年级下·吉林长春·期末）下列方程中，是二元一次方程的为（ ） A． B． C． D． 3．（2023-2024七年级下·湖南益阳·期中）观察下列方程：，，，，，其中二元一次方程有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（2023-2024七年级下·云南德宏·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 5.（2023-2024七年级下·河南郑州·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型02】 二元一次方程（组）的解 6．（2022-2023七年级下·广西贵港·期中）方程的解不可能是（   ） A． B． C． D． 7.（2023-2024七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（   ） A． B． C． D． 8．（2023-2024七年级下·浙江金华·开学考试）二元一次方程的正整数解共有（ ）组． A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2023-2024七年级下·湖南·期中）按如图所示的运算程序，能使输出结果为的、的值是（   ） A． B． C． D． 10.（2023-2024七年级下·山东烟台·期末）请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是 ． 【核心考点板块2 二元一次方程组的解法】 技巧提示： 1.用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法. 2.当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 【题型03】 二元一次方程组的解法 11.（2023-2024七年级下·全国·期末）（1）用代入法解方程组； （2）用加减法解方程组． 12．（2023-2024七年级下·河北唐山·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) 13．（2023-2024七年级下·云南昭通·期末）解方程组． (1)； (2)． 14.（2023-2024七年级下·山东济宁·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 15.（2023-2024七年级下·全国·期末）解方程组： (1)； (2)． 【题型04】 二元一次方程组的特殊解法 16．（2023-2024七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 17．（2022-2023七年级下·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 18．（2023-2024七年级下·广东汕头·期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单： 得：，即．③ 得：．④ 得：，代入③得．所以这个方程组的解是． (1)请你运用慧慧的方法解方程组 (2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是_______． 19．（2023-2024七年级下·贵州遵义·期末）阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 20.（2023-2024七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把看成一个整体，设，． 原方程组可化为，解得原方程组的解为． 任务： (1)方程组的解是，则方程组的解是______； (2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组． 【题型05】 构造二元一次方程组求解 21.（2022-2023七年级下·福建泉州·阶段练习）关于x，y的二元一次方程，当a取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（   ） A． B． C． D． 22.（2023-2024七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 23.（2023-2024七年级下·湖南·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 24．（2023-2024七年级下·广西崇左·阶段练习）（1）已知的平方根是，的立方根是2，求的值； （2）已知和是正数的两个平方根， 求的值． 25．（2023-2024七年级上·安徽安庆·期末）对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)如果，求y的值． 【题型06】 二元一次方程组的错解问题 26.（2023-2024七年级下·广西南宁·期末）下面是数学课上小颖同学上黑板解课本第96页练习1（2）方程组的过程，老师为了方便与同学们一起讲评在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①×3得③  第一步 由②×5得④  第二步 ③-④得  第三步   第四步 把代入①得，  第五步 ∴原方程组的解为  第六步 (1)小颖用______消元法解方程组；（填“代入”或“加减”）； (2)小颖的解题从第______步出现了错误； (3)请直接写出该方程组的解． 27.（2023-2024七年级下·山西临汾·期末）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题．解得：得：③……（1） 得：……（2） 将代入②得：……（3） 所以该方程的解是……（4） (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在______步（填序号），第二次出错在______步（填序号）； (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程． 28.（2022-2023七年级下·浙江台州·期末）小明解二元一次方程组的过程如下： 解： 第1步：①两边同乘以2，得，③（______ ） 第2步：③－②，得，（______） 第3步：． 第4步：把代入①，得，． 第5步：所以原方程组的解是 (1)请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据． (2)小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解． 29．（2023-2024七年级下·全国·课时练习）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的问题： 解方程组： 解：①×2，得6x－2y＝8．③…第一步 ②－③，得－y＝2，…第二步 解得y＝－2．…第三步 把y＝－2代入①，得3x－（－2）＝4．…第四步 解得x＝2．…第五步 ∴ (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________法，以上求解步骤中，马小虎同学从第________步开始出现错误； (2)请写出此题正确的解答过程． 30.（2023-2024八年级上·山西忻州·期末）下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组: 解：由①，得③…..第一步 ③-②，得，……第二步 将代入①，解得，…...第三步 所以，原方程组的解为，……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是__________． (2)第_______步开始出现错误，具体错误是___________． (3)直接写出该方程组的正确解：____________． 【题型07】 三元一次方程组的解法 31．（2023-2024七年级下·湖南娄底·阶段练习）下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 32．（2023-2024七年级下·山东烟台·期中）三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（   ） A． B． C． D． 33．（2023-2024七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 34．（2023-2024七年级·上海浦东新·期末）解方程组：． 35．（2024-2025七年级·全国·随堂练习）解下列方程组： (1) (2) 【核心考点板块3 二元一次方程组的应用】 技巧提示： 1.解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； 2.“设”、“答”两步，都要写清单位名称； 3.一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【题型08】 二元一次方程组的实际应用 36.（行程问题1）（2023-2024七年级·四川资阳·期中）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离． 37.（行程问题2）（2022-2023七年级·广西来宾·期中）某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为，超过的部分按每另行收费．小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了，付车费元．”小李说：“我从我家乘出租车到汽车站走了，付车费元．” (1)出租车的起步价是多少元？超过公里后每收费多少元？ (2)小明乘出租车从学校到汽车站走了，应付车费多少元？ 38．（行程问题3）（2022-2023七年级下·全国·课后作业）小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求： (1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？ (2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？ 39.（行程问题4）（2023-2024七年级·河南南阳·期中）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍． (1)求甲、乙每小时各行多少千米？ (2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？ 40.（行程问题5）（2023-2024七年级·山东泰安·期中）甲、乙两班同时从学校出发去距离学校的军营军训，甲班学生步行速度为，乙班学生步行速度为，学校有一辆汽车，该车空车速度为，载人时的速度为，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？ 41.（工程问题1）（2024七年级·全国·专题练习）一项工程，甲队独做需12天完成，乙队独做需15天完成，丙队独做需20天完成．按原计划，这项工程要在7天内完成，现在甲、乙两队先合作若干天，以后为加快进度，丙队同时加入这项工作，这样比原计划提前一天完成，求甲、乙两队先合作了多少天． 42.（工程问题2）（2023-2024七年级·广东梅州·期中）为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？ 43.（工程问题3）（2023-2024七年级·吉林长春·期中）伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______； (2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程． 44.（工程问题4）（2023-2024七年级下·福建厦门·期中）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资； (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ (3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 45.（工程问题5）（2022-2023七年级下·河北邯郸·期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成． (1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______． (2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数． 46.（销售利润问题1）（2023-2024七年级·全国·单元测试）为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A、B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元、求种植A、B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ 47．（销售利润问题2）（2023-2024七年级下·湖南长沙·阶段练习）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求A、B两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 48．（销售利润问题3）（2022-2023七年级下·浙江温州·期中）甲流爆发后，某校购买一批消毒液．购买人员到超市后了解到以下信息：信息一  乙种消毒液比甲种消毒液每件进价贵5元，甲种消毒液每件可以消毒2个教室或功能室，乙种消毒液每件可以消毒3个教室或功能室．消毒液不宜久存，启封即要用完． 信息二：货物清单部分信息如下： XX超市货物库存货物清单 购进货物 已出售货物 库存货物 进价（元） 件数 售价（元） 件数 件数 甲种消毒液 100 30 85 15 乙种消毒液 100 40 90 10 …… … … … … … 信息三：超市购进甲、乙两种消毒液共计5500元货物，出售175件后，库存货物打折出售，甲种消毒液9折出售，乙种消毒液8.5折出售． 任务1：求出甲、乙两种消毒液每件进价各多少元？ 任务2：计算该超市将第一次购进的甲、乙两种消毒液全部销售完，可获得多少利润？ 任务3：某中学现有45个教室或功能室需要消毒，请在不浪费消毒液前提下为该校设计一种省钱购买消毒液方案，购买甲种消毒液______件，乙种消毒液______件，共需______元． 49.（销售利润问题4）（2023-2024七年级下·福建厦门·期末）当季是西瓜成熟的季节，西瓜也具有解暑的作用，市场上西瓜的销量也与日俱增，某西瓜种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的西瓜，对总计1000斤的麒麟瓜、黑美人西瓜这两个品种的西瓜进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：麒麟瓜每筐8斤，售价200元；黑美人西瓜每筐18斤，售价360元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜（筐数为整数且两种西瓜至少各有一筐）． (1)若这批西瓜全部售完，共收入21400元，请问麒麟瓜共包装了多少筐，黑美人西瓜共包装了多少筐； (2)当销售总收入为22840元时，若西瓜种植大户留下y（）筐麒麟瓜送人，其余的西瓜全部售出，求y的值． 50.（销售利润问题5）（2023-2024七年级·内蒙古乌兰察布·期末）近期，坐落于乌兰察布市高铁站南侧特莫沁路的“乌兰察布之夜”火爆出圈，景区内某内蒙古特色奶食品超市购进A、B两种奶食品销售，其中两种奶食品的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种奶食品 20 30 B种奶食品 30 45 (1)该超市在5月份购进A、B两种奶食品共90袋，进货款恰好为2200元． ①求这两种奶食品各购进多少袋？ ②据5月份的销售统计，两种奶食品的销售总额为1200元，求该超市5月份已售出奶食品的进货款为多少元？ (2)为刺激销量，超市决定在同时购进A、B两种奶食品且进货款仍为2200元的情况下，6月份增加购进C种奶食品作为赠品，进价为每袋10元，并推出了“买3袋A种奶食品送1袋C种奶食品，买3袋B种奶食品送2袋C种奶食品”的促销方案．若6月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种奶食品各多少袋？ 51.（方案问题1）（2023-2024七年级·江西吉安·期末）春节快到了，学校“慈善小组”计划筹集善款购买面包，到福利院送给老人，已知购买2箱豆沙口味面包和2箱大枣口味面包共需110元；购买3箱豆沙口味面包和1箱大枣口味面包共需105元． (1)求豆沙口味面包和大枣口味面包每箱的单价； (2)若该小组计划用375元经费购买两种蛋糕且每种蛋糕最少1箱，经费恰好用完，共有几种购买方案； 52.（方案问题2）（2023-2024七年级·山东济宁·期末）某品牌推出西游记人偶摆件一上市就深受人们喜爱．已知3个A型摆件和4个B型摆件共需470元；2个A 型摆件和3个B 型摆件共需340元． (1)求一个A型摆件和一个B型摆件的售价各是多少元； (2)小李爱好收藏，他打算用1600元（全部用完）购买A型、B型两种摆件（要求两种型号的摆件均购买），正好赶上商店对摆件价格进行调整，其中A型摆件售价上涨，B型摆件按原价出售，则小李有几种购买方案？ 53.（方案问题3）（2023-2024七年级·四川巴中·期中）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 54.（方案问题4）（2023-2024七年级下·内蒙古赤峰·期末）赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）． 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ (2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ (3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 55.（方案问题5）（2023-2024七年级·辽宁大连·期末）北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 56.（和差倍分问题1）（2023-2024七年级·上海宝山·期末）某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的，问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 57．（和差倍分问题2）（2023-2024七年级下·北京石景山·期末）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元． (1)A，B两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费． 58．（和差倍分问题3）（2024-2025八年级上·河南郑州·期末）杨老师在“双十一”期间买了一件毛衣，通过研究缝在衣服内部标签上的内容，得到了以下结论： ①毛衣的总质量为； ②毛衣的成分：绵羊毛、腈纶、锦纶、聚酯纤维； ③绵羊毛和腈纶的含量占，锦纶的含量是绵羊毛含量的5倍，聚酯纤维的含量比腈纶含量的2倍少． 请你求出绵羊毛和腈纶的质量． 59.（和差倍分问题4）（2023-2024七年级·安徽六安·期中）小明逛，两家网店发现都有他看中的甲，乙两种课外资料在售卖，且每种课外资料在两家店的售价相同，甲，乙两种课外资料的单价之和是 200元，且每本甲种课外资料售价比乙种课外资料售价的2倍少40元． (1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是多少元？ (2)某一天恰好赶上商家促销，网店所有商品打八五折销售，网店全场购买每满50元减8元，小明需要购买两种课外资料各一本，请通过计算判断怎样购买更省钱？ 60.（和差倍分问题5）（2023-2024七年级·陕西汉中·期末）某文具专卖店出售甲、乙两种自动铅笔，已知该店进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元． (1)请分别求出甲、乙两种自动铅笔的进价； (2)已知专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔提价20%出售，小静在该专卖店购买甲种自动铅笔m（m≥0）支、乙种自动铅笔n（n≥0）支，共花费24元，小静有几种购买方案？ 61.（古代问题1）（2023-2024七年级上·陕西西安·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 62.（古代问题2）（2022-2023七年级上·云南昆明·期末）中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算．其中有这样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 63.（古代问题3）（2023-2024八年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题． 64.（古代问题4）（2023-2024七年级下·吉林松原·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 65.（古代问题5）（2023-2024七年级·湖南邵阳·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人． (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 66.（年龄问题）（2023-2024七年级·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 67.（图表信息问题）（2023-2024七年级·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 68.（数字问题）（2023-2024七年级·全国·课后作业）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数． 69.（配套问题）（2023-2024七年级·广东汕头·期末）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件，现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 70.（几何问题）（2023-2024七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 二元一次方程组单元专项提升【3大考点8大题型】 （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 二元一次方程组】 【解题知识必备】 1.二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3.二元一次方程组的定义 方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 如：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ， 4.二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 5.消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． 6.解二元一次方程组的基本方法 （1）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （2）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 7.二元一次方程组的应用 解题步骤 1）审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2）设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3）列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4）解方程组； 5）检验：检验方程的根是否符合题意； 6）作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 二元一次方程（组）的概念 【题型02】 二元一次方程（组）的解 【题型03】 二元一次方程组的解法 【题型04】 二元一次方程组的特殊解法 【题型05】 构造二元一次方程组求解 【题型06】 二元一次方程组的错解问题 【题型07】 三元一次方程组的解法 【题型08】 二元一次方程组的实际应用 【核心考点板块1 二元一次方程（组）的相关概念】 技巧提示： 1.二元一次方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3.二元一次方程组的一般形式为（其中，，，不同时为零）． 4.方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.方程组的解要用大括号联立。 【题型01】 二元一次方程（组）的概念 1.（2023-2024七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列方程中是二元一次方程的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐项分析判断，即可解题． 【解答】解：A、只有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B、，有两个未知数，且未知数次数为，是二元一次方程，符合题意； C、，分母含未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、，只有一个未知数且未知数次数为，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：B． 2.（2022-2023七年级下·吉林长春·期末）下列方程中，是二元一次方程的为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义判断即可，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程是二元一次方程． 【解答】解：A．只有一个未知数，故A选项不符合题意； B．，B选项符合题意； C．不是方程，故C选项不符合题意； D．的次数是2，故D选项不符合题意． 故选：B． 3．（2023-2024七年级下·湖南益阳·期中）观察下列方程：，，，，，其中二元一次方程有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，利用二元一次方程的定义判断即可． 【解答】解： ，未知数次数为2，不是二元一次方程， 是二元一次方程， ，未知数次数为2，不是二元一次方程， ，一个未知数，不是二元一次方程， 是二元一次方程， 其中二元一次方程有2个， 故选：B． 4.（2023-2024七年级下·云南德宏·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是二元一次方程组的判断，掌握二元一次方程组的定义是解决此题的关键． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【解答】解：A．是三元一次方程组，故A不符合题意； B． 是二元二次方程组，故B不符合题意； C．是二元一次方程组，故C符合题意； D．是分式方程组，故D不符合题意． 故选：C． 5.（2023-2024七年级下·河南郑州·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【解答】解：②中含有三个未知数，④未知数的最高次数是2，都不符合二元一次方程组定义， ①③符合二元一次方程组的定义，属于二元一次方程组，共两个； 故选B． 【题型02】 二元一次方程（组）的解 6．（2022-2023七年级下·广西贵港·期中）方程的解不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解（使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．）解题的关键是熟知二元一次方程解的定义． 根据二元一次方程的解逐项判断即可． 【解答】解：A、当，时，，所以不是方程的解； B、当，时，，所以是方程的解； C、当，时，，所以是方程的解； D、当，时，，所以是方程的解； 故选：A． 7.（2023-2024七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【解答】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 8．（2023-2024七年级下·浙江金华·开学考试）二元一次方程的正整数解共有（ ）组． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握求二元一次方程正整数解的方法是解题的关键．由，可得出，结合，均为正整数，即可求出二元一次方程的正整数解共有4组． 【解答】解：， ． 又，均为正整数， 或或或， 二元一次方程的正整数解共有4组． 故选：C 9．（2023-2024七年级下·湖南·期中）按如图所示的运算程序，能使输出结果为的、的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求代数式的值，二元一次方程的解，先根据题意列出方程，再分别代入方程，看看左右两边是否相等即可．根据题意列出方程是解题的关键． 【解答】解：根据题意得：， A．当时，左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； B．当时，左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； C．当时，左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； D．当时，左边，右边，左边右边，故此选项符合题意． 故选：D． 10.（2023-2024七年级下·山东烟台·期末）请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程的解，根据题意，写出满足题意的，的系数，再把代入，验证的值，即可． 【解答】解：由题意得，的系数是大于的整数，的系数是小于的整数， ∴满足题意， ∵，是这个二元一次方程的解， ∴当时，， 解得：， ∴符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 【核心考点板块2 二元一次方程组的解法】 技巧提示： 1.用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法. 2.当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 【题型03】 二元一次方程组的解法 11.（2023-2024七年级下·全国·期末）（1）用代入法解方程组； （2）用加减法解方程组． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1） 由①，可得：， 把③代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解是． （2） 由，可得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解是． 12．（2023-2024七年级下·河北唐山·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组： （1）运用加减消元法解方程组即可； （2）运用代入消元法解方程组即可． 【解答】（1）解：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴原方程组的解为． 13．（2023-2024七年级下·云南昭通·期末）解方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解方程组，根据方程组的特点选择合适的方法解方程组． （1）两式相加得：，然后利用加减消元法解方程组即可； （2）将第一个方程变形为，然后利用代入消元法解方程组即可． 【解答】（1）解：， 两式相加得：， 解得：， 把代入得， 所以方程组的解为． （2）， 由得， 把代入得： ， 解得：． 把代入得， 所以方程组的解为． 14.（2023-2024七年级下·山东济宁·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1） 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2） 整理得：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 15.（2023-2024七年级下·全国·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键： （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减代入消元法求解即可． 【解答】（1）解： ，得，解得 将代入，得，解得 故原方程组的解为 （2）解： 可得， 将整体代入， 可得， 解得， 将代入可得， 解得， 所以原方程组的解为 【题型04】 二元一次方程组的特殊解法 16．（2023-2024七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【答案】 【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可． 【解答】解：， 由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 17．（2022-2023七年级下·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）设，则原方程组变形为，然后解方程组求出A、B的值进而建立方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得出，解关于m、n的方程组即可． 【解答】（1）解：设， ∴原方程组变形得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， ∴， 解得：． （2）解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于m、n的二元一次方程组中， 解方程组得：． 18．（2023-2024七年级下·广东汕头·期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单： 得：，即．③ 得：．④ 得：，代入③得．所以这个方程组的解是． (1)请你运用慧慧的方法解方程组 (2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键． （）根据题意，利用例题方法求解即可； （）根据题意，利用例题方法求解即可得． 【解答】（1）解：， 得：，即，③ 得：，④ 得：，即， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． （2）解：， 得：，即，③ 得：，④ 得：，即， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． 故答案为：． 19．（2023-2024七年级下·贵州遵义·期末）阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次方程、二元一次方程组的求解，注意正确理解题意即可． （1）由题意得：,即可求解； （2）根据定义即可求解； 【解答】（1）解：由题意得：, 解得： （2）解：， ， 则原方程组的解为 20.（2023-2024七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把看成一个整体，设，． 原方程组可化为，解得原方程组的解为． 任务： (1)方程组的解是，则方程组的解是______； (2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． （1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． （2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可． 【解答】（1）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． 【题型05】 构造二元一次方程组求解 21.（2022-2023七年级下·福建泉州·阶段练习）关于x，y的二元一次方程，当a取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果当a取一个确定的值时就得到一个方程，这些方程有一个公共解，说明无论a取何值，都不影响方程，即含a的项的系数相加为0． 【解答】解：方程整理为， 即． 根据题意，即可得 ， 用加减消元法解得． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，应注意思考：由于a可取任何数，要想让当a取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，就需让含a的项的系数相加为0，此时即可得到关于x和y的方程组． 22.（2023-2024七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【解答】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 23.（2023-2024七年级下·湖南·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和二元一次方程组的解，先把化成，再根据方程组的解是，列出关于、的方程组，求解即可．解题关键是掌握二元一次方程组的解的定义：使各个方程左右两边相等的未知数的值． 【解答】解：∵， ∴， ∵方程组的解是， ∴， 解得：， ∴方程组的解是． 故答案为：． 24．（2023-2024七年级下·广西崇左·阶段练习）（1）已知的平方根是，的立方根是2，求的值； （2）已知和是正数的两个平方根， 求的值． 【答案】（1）；（2）9 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义、解二元一次方程组、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义得出，解方程组即可得出答案； （2）根据平方根的定义得出，解方程即可得出的值，代入计算即可得出的值． 【解答】解：（1）依题意得：， 解得； （2）∵和是正数的两个平方根， ∴， 解得， ∴． 25．（2023-2024七年级上·安徽安庆·期末）对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)如果，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解列、解二元一次方程组，弄清题中的新定义运算规则列出方程组是解本题的关键， （1）根据题意得出关于a、b的方程组，求出的值即可； （2）根据得出关于y的方程，求出y的值即可． 【解答】（1）解：由题意得， 解得； （2）由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 【题型06】 二元一次方程组的错解问题 26.（2023-2024七年级下·广西南宁·期末）下面是数学课上小颖同学上黑板解课本第96页练习1（2）方程组的过程，老师为了方便与同学们一起讲评在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①×3得③  第一步 由②×5得④  第二步 ③-④得  第三步   第四步 把代入①得，  第五步 ∴原方程组的解为  第六步 (1)小颖用______消元法解方程组；（填“代入”或“加减”）； (2)小颖的解题从第______步出现了错误； (3)请直接写出该方程组的解． 【答案】(1)加减 (2)二 (3) 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组． （1）根据解方程组的过程即可得出答案． （2）根据解方程组的过程即可得出答案． （3）按照加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】（1）解：由③④得可得出小颖用加减消元法解方程组， 故答案为：加减． （2）解：∵第二步没有做到每一项都乘以5， ∴小颖的解题从第二步出现了错误， 故答案为：二． （3）解： 解：由①×3得③ 由②得④ ③④得 解得： 把代入①得，， 解得：． ∴原方程组的解为 27.（2023-2024七年级下·山西临汾·期末）下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题．解得：得：③……（1） 得：……（2） 将代入②得：……（3） 所以该方程的解是……（4） (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在______步（填序号），第二次出错在______步（填序号）； (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程． 【答案】(1)（1），（2） (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）第（1）步未乘以2，第（2）步，等式右边计算错误； （2）加减消元法解方程组即可． 【解答】（1）解：第（1）步未乘以2，第（2）步，等式右边计算错误； 故答案为：（1），（2）； （2）解：得：③ 得：，解得：； 将代入②得：； 所以该方程组的解是． 28.（2022-2023七年级下·浙江台州·期末）小明解二元一次方程组的过程如下： 解： 第1步：①两边同乘以2，得，③（______ ） 第2步：③－②，得，（______） 第3步：． 第4步：把代入①，得，． 第5步：所以原方程组的解是 (1)请在小明解法的前两步后面的括号内填上方程变形的依据． (2)小明解方程组的结果正确吗？如果你认为正确，请代入原方程组检验；如果你认为不正确，请指出他解题过程中最早在哪一步出现错误，并求出该方程组的正确解． 【答案】(1)等式性质2，等式性质1 (2)不正确，第②步错误，见解析 【分析】（1）根据等式性质即可得出答案； （2）根据加减消元法解方程组的步骤进行判断即可． 【解答】（1）解：①两边同乘以2，得，③，该步骤利用的是等式性质2； ，得，该步骤利用的是等式性质1； 故答案为：等式性质2；等式性质1； （2）错误，他解题过程中最早在第2步出现错误，正确步骤如下： 两边同乘以2，得：③， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 【点评】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 29．（2023-2024七年级下·全国·课时练习）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的问题： 解方程组： 解：①×2，得6x－2y＝8．③…第一步 ②－③，得－y＝2，…第二步 解得y＝－2．…第三步 把y＝－2代入①，得3x－（－2）＝4．…第四步 解得x＝2．…第五步 ∴ (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________法，以上求解步骤中，马小虎同学从第________步开始出现错误； (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)加减消元，五 (2) 【分析】见解析 【解答】（1）加减消元  五 （2）①×2，得6x－2y＝8，③ ②－③，得－y＝2，解得y＝－2． 把y＝－2代入①，得3x－（－2）＝4，解得， 故原方程组的解为 30.（2023-2024八年级上·山西忻州·期末）下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组: 解：由①，得③…..第一步 ③-②，得，……第二步 将代入①，解得，…...第三步 所以，原方程组的解为，……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是__________． (2)第_______步开始出现错误，具体错误是___________． (3)直接写出该方程组的正确解：____________． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)一，等式右边没有乘3 (3) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法与加减消元法是关键． （1）根据加减消元法，解二元一次方程组的步骤进行解答； （2）根据加减消元法判断即可； （3）根据加减消元法，解二元一次方程组求解． 【解答】（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：加减消元；等式的基本性质 （2）第一步开始出现错误，具体错误是等式右边没有乘3， 故答案为：一，等式右边没有乘以3； （3）解方程组: 解：由①，得③ ③②，得， 将代入①， 解得， 所以，原方程组的解为， 故答案为：． 【题型07】 三元一次方程组的解法 31．（2023-2024七年级下·湖南娄底·阶段练习）下列四组数值中，是方程组的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解，解题的关键是利用加减消元法进行求解． 方程组利用加减消元法求解即可． 【解答】 得： 得： 把代入中 ， 把，代入得： ， 方程组的解为， 故选：D． 32．（2023-2024七年级下·山东烟台·期中）三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键，先消去未知数可得，从而可得答案． 【解答】解：， ②③得：即， ③①得：， ∴， 故选A 33．（2023-2024七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【解答】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 34．（2023-2024七年级·上海浦东新·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，采用加减消元法即可作答． 【解答】解：， ①②得：④， ③④得： 解得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． 35．（2024-2025七年级·全国·随堂练习）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键； （1）利用加减消元法即可解答； （2）方程①是用未知数x表示y的式子，将①代入②可得关于x、z二元一次方程组，利用加减消元法解方程组，再将x的值代入①可得y的值． 【解答】（1）解：，得④ ，得 ，得 ，得 原方程组的解为； （2）把①代入②，得．④ 由④和③组成方程组 解得 把代入①，得， 原方程组的解为 【核心考点板块3 二元一次方程组的应用】 技巧提示： 1.解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； 2.“设”、“答”两步，都要写清单位名称； 3.一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【题型08】 二元一次方程组的实际应用 36.（行程问题1）（2023-2024七年级·四川资阳·期中）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离． 【答案】甲、乙两地的距离为9千米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解， 最后把两断路程相加即可． 【解答】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴甲、乙两地的距离为9千米． 37.（行程问题2）（2022-2023七年级·广西来宾·期中）某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为，超过的部分按每另行收费．小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了，付车费元．”小李说：“我从我家乘出租车到汽车站走了，付车费元．” (1)出租车的起步价是多少元？超过公里后每收费多少元？ (2)小明乘出租车从学校到汽车站走了，应付车费多少元？ 【答案】(1)起步价为3元，超过3千米后每千米1.5元 (2)付费11.25元 【分析】（1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后每千米收费y元．根据他们的对话列出方程组并解答； （2）8.5千米分两段收费：3千米、千米．根据（1）中的单价进行计算． 本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 【解答】（1）解：设出租车的起步价是元，超过千米后每千米收费元． 依题意得，， 解得． 答：出租车的起步价是元，超过千米后每千米收费元； （2）解：（元）． 答：小明乘出租车从学校到汽车站走了，应付车费元． 38．（行程问题3）（2022-2023七年级下·全国·课后作业）小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求： (1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？ (2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？ 【答案】(1)2倍 (2)20圈 【分析】见解析 【解答】（1）设哥哥的速度为米/秒，小勇的速度为米/秒，环形跑道的周长为米，依题意，得 ∴． 答：哥哥的速度是小勇速度的2倍． （2）设哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了圈，则哥哥跑了圈，依题意，得 ，解得． 答：哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了20圈． 39.（行程问题4）（2023-2024七年级·河南南阳·期中）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍． (1)求甲、乙每小时各行多少千米？ (2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？ 【答案】(1)甲每小时行4千米，乙每小时行5千米 (2)10分钟或30分钟 【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：20分钟×甲的速度+20分钟×乙的速度=3千米，3千米-30分钟×甲的速度=（3千米-30分钟×乙的速度）×2，依此列出方程求解即可，注意单位换算； （2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解． 【解答】（1）解：设甲每小时行千米． 乙每小时行千米． 依题意： 解方程组得 答：甲每小时行4千米，乙每小时行5千米． （2）相遇前：（3-1.5）÷（+） =1.5÷ =10（分钟）， 相遇后：（3+1.5）÷（+） =4.5÷ =30（分钟）． 故在他们出发后10分钟或30分钟两人相距1.5千米． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型． 40.（行程问题5）（2023-2024七年级·山东泰安·期中）甲、乙两班同时从学校出发去距离学校的军营军训，甲班学生步行速度为，乙班学生步行速度为，学校有一辆汽车，该车空车速度为，载人时的速度为，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？ 【答案】他们至少需要6.75小时才能到达． 【分析】根据题意可让甲班学生从学校4乘汽车 出发至某处下车步行，汽车空车返回至某处，乙班同学此处上车，此处距离学校 ，根据汽车接到乙班同学的时间=乙班同学及步行的时间，甲班步行时间=汽车接乙班返回时间+乙班坐车时间列出两个方程，求方程组的解即可，然后根据时间即可得他们至少需要多少时间才能到达． 【解答】解：设甲班学生从学校乘汽车出发至处下车步行，乘车 ，空车返回至处，乙班同学于处上车，此时已步行了 ． 则 解得，． 则至少需要（小时）． 答：他们至少需要6.75小时才能到达． 【点评】本题考查了二元一次方程组在路程问题中的应用，熟知路程问题的相关公式是解题的关键． 41.（工程问题1）（2024七年级·全国·专题练习）一项工程，甲队独做需12天完成，乙队独做需15天完成，丙队独做需20天完成．按原计划，这项工程要在7天内完成，现在甲、乙两队先合作若干天，以后为加快进度，丙队同时加入这项工作，这样比原计划提前一天完成，求甲、乙两队先合作了多少天． 【答案】甲、乙两队先合作了4天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设甲、乙先合作做了天，丙队加入后又做了天，根据题意列出二元一次方程，解方程，即可求解． 【解答】解：设甲、乙先合作做了天，丙队加入后又做了天．根据题意，得 解得 答：甲、乙两队先合作了4天． 42.（工程问题2）（2023-2024七年级·广东梅州·期中）为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？ 【答案】一班有个同学，领到有棵树苗； 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设一班有x个同学，领到有y棵树苗，根据数量列方程求解即可得到答案； 【解答】解：设一班有x个同学，领到有y棵树苗，由题意得， ， 解得， 答：一班有个同学，领到有棵树苗． 43.（工程问题3）（2023-2024七年级·吉林长春·期中）伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______； (2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次方程的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和方程组． （1）根据题意，可以列出方程，本题得以解决； （2）根据题意，可以列出方程组，然后求解即可． 【解答】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：由题意可得：， 解得， 答：甲、乙两个工程队分别整治河道75米、150米． 44.（工程问题4）（2023-2024七年级下·福建厦门·期中）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资； (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ (3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． (2)有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名；抽调熟练工名，招聘新工人名． (3)为了节省成本，应该招聘新工人名． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组求解即可； （2）设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可； （3）求出方案和方案的成本，然后比较即可解答． 【解答】（1）解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 由题意得：，解得：， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． （2）设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得：， 整理得：， 、为正整数，且， 或， 有种工人的招聘方案： 抽调熟练工名，招聘新工人名； 抽调熟练工名，招聘新工人名． （3）方案中，每月发放工资为：元； 方案中，每月发放工资为：元； ， 为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名． 45.（工程问题5）（2022-2023七年级下·河北邯郸·期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成． (1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______． (2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数． 【答案】(1) (2)甲、乙两工程队分别绿化荒地亩，亩． 【分析】（1）设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，再由工作总量为亩，工作总时间为天列方程组即可； （2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，再由工作总量为亩，工作总时间为天列方程组，再解方程组即可； 【解答】（1）解：设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，则 ， （2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，则 ，整理得：， 解得：， 答：甲、乙两工程队分别绿化荒地亩，亩． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 46.（销售利润问题1）（2023-2024七年级·全国·单元测试）为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A、B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元、求种植A、B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ 【答案】种植种蔬菜每亩收入0.4万元，种蔬菜每亩收入0.6万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元，由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案． 【解答】设种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元， 根据题意得：， 解得：， 答：种植种蔬菜每亩收入0.4万元，种蔬菜每亩收入0.6万元． 47．（销售利润问题2）（2023-2024七年级下·湖南长沙·阶段练习）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求A、B两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元； (2)不能实现利润恰好为1200元的目标，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解决问题的关键． （1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【解答】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元． 依题意，得     解得 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元； （2）不能实现利润恰好为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， 解得 ∵根据题意，m，n都为正整数， ∴不合题意，舍去， 不能实现利润恰好为1200元的目标． 48．（销售利润问题3）（2022-2023七年级下·浙江温州·期中）甲流爆发后，某校购买一批消毒液．购买人员到超市后了解到以下信息：信息一  乙种消毒液比甲种消毒液每件进价贵5元，甲种消毒液每件可以消毒2个教室或功能室，乙种消毒液每件可以消毒3个教室或功能室．消毒液不宜久存，启封即要用完． 信息二：货物清单部分信息如下： XX超市货物库存货物清单 购进货物 已出售货物 库存货物 进价（元） 件数 售价（元） 件数 件数 甲种消毒液 100 30 85 15 乙种消毒液 100 40 90 10 …… … … … … … 信息三：超市购进甲、乙两种消毒液共计5500元货物，出售175件后，库存货物打折出售，甲种消毒液9折出售，乙种消毒液8.5折出售． 任务1：求出甲、乙两种消毒液每件进价各多少元？ 任务2：计算该超市将第一次购进的甲、乙两种消毒液全部销售完，可获得多少利润？ 任务3：某中学现有45个教室或功能室需要消毒，请在不浪费消毒液前提下为该校设计一种省钱购买消毒液方案，购买甲种消毒液______件，乙种消毒液______件，共需______元． 【答案】任务1：甲种消毒液进价25元/件，乙种消毒液进价30元/件；任务2：超市获得1395元利润；任务3：9，9，549 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算的应用，任务一，设甲种消毒液进价x元/件，乙种消毒液进价y元/件，根据题意列出二元一次方程组，求出x，y的值；任务二：根据销售量×每件利润可得结论；任务三：分类讨论求解即可 【解答】任务1：解：设甲种消毒液进价x元/件，乙种消毒液进价y元/件，根据题意得： ， 解得， 答：甲种消毒液进价25元/件，乙种消毒液进价30元/件． 任务2： 元     答：超市获得1395元利润． 任务3：①甲种消毒液进价9件，乙种消毒液9件，需要549元， ②甲种消毒液进价12件，乙种消毒液7件，需要562元． ③甲种消毒液进价15件，乙种消毒液5件，需要575元． 故答案为：9，9，549 49.（销售利润问题4）（2023-2024七年级下·福建厦门·期末）当季是西瓜成熟的季节，西瓜也具有解暑的作用，市场上西瓜的销量也与日俱增，某西瓜种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的西瓜，对总计1000斤的麒麟瓜、黑美人西瓜这两个品种的西瓜进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：麒麟瓜每筐8斤，售价200元；黑美人西瓜每筐18斤，售价360元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜（筐数为整数且两种西瓜至少各有一筐）． (1)若这批西瓜全部售完，共收入21400元，请问麒麟瓜共包装了多少筐，黑美人西瓜共包装了多少筐； (2)当销售总收入为22840元时，若西瓜种植大户留下y（）筐麒麟瓜送人，其余的西瓜全部售出，求y的值． 【答案】(1)麒麟瓜共包装了35筐，黑美人西瓜共包装了40筐 (2)9 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用： （1）设麒麟瓜共包装了m筐，黑美人西瓜共包装了n筐，根据“用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜，且全部售出后共收入21400元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设麒麟瓜共包装了x筐，则黑美人西瓜共包装了筐，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，均为正整数，即可求出结论． 【解答】（1）解：设麒麟瓜共包装了m筐，黑美人西瓜共包装了n筐， 根据题意得：， 解得：． 答：麒麟瓜共包装了35筐，黑美人西瓜共包装了40筐； （2）设麒麟瓜共包装了x筐，则黑美人西瓜共包装了筐， 根据题意得：， ∴． 又∵x，y，均为正整数， ∴． 答：y的值为9． 50.（销售利润问题5）（2023-2024七年级·内蒙古乌兰察布·期末）近期，坐落于乌兰察布市高铁站南侧特莫沁路的“乌兰察布之夜”火爆出圈，景区内某内蒙古特色奶食品超市购进A、B两种奶食品销售，其中两种奶食品的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种奶食品 20 30 B种奶食品 30 45 (1)该超市在5月份购进A、B两种奶食品共90袋，进货款恰好为2200元． ①求这两种奶食品各购进多少袋？ ②据5月份的销售统计，两种奶食品的销售总额为1200元，求该超市5月份已售出奶食品的进货款为多少元？ (2)为刺激销量，超市决定在同时购进A、B两种奶食品且进货款仍为2200元的情况下，6月份增加购进C种奶食品作为赠品，进价为每袋10元，并推出了“买3袋A种奶食品送1袋C种奶食品，买3袋B种奶食品送2袋C种奶食品”的促销方案．若6月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种奶食品各多少袋？ 【答案】(1)①A种奶食品购进50袋，B种奶食品购进40袋；②该超市5月份已售出奶食品的进货款为800元 (2)购进A种奶食品33袋，B种奶食品39袋，C种奶食品37袋或购进A种奶食品66袋，B种奶食品18袋，C种奶食品34袋 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，利用方程中代数式恰好呈倍数和未知数只能取整数巧妙解方程是解题关键． （1）①设A种奶食品购进x袋，B种奶食品购进y袋，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可， ②设5月份售出A种奶食品m袋，B种奶食品n袋．根据题意有，化简得，则． （2）设6月份该超市购进A种奶食品a袋，B种奶食品b袋，则购进C种奶食品袋，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合a，b均为正整数，即可得出各进货方案． 【解答】（1）解：①设A种奶食品购进x袋，B种奶食品购进y袋． 依题意，得 解得 答：A种奶食品购进50袋，B种奶食品购进40袋． ②设5月份售出A种奶食品m袋，B种奶食品n袋． 依题意，得， 化简得， ∴． 答：该超市5月份已售出奶食品的进货款为800元． （2）设6月份该超市购进A种奶食品a袋，B种奶食品b袋，则购进C种奶食品袋． 依题意，得， 化简，得，所以． 又因为a，b，均为正整数， 所以a既是3的整数倍，又是11的整数倍，b是3的整数倍， 所以或 当，时，； 当，时，． 答：购进A种奶食品33袋，B种奶食品39袋，C种奶食品37袋或购进A种奶食品66袋，B种奶食品18袋，C种奶食品34袋． 51.（方案问题1）（2023-2024七年级·江西吉安·期末）春节快到了，学校“慈善小组”计划筹集善款购买面包，到福利院送给老人，已知购买2箱豆沙口味面包和2箱大枣口味面包共需110元；购买3箱豆沙口味面包和1箱大枣口味面包共需105元． (1)求豆沙口味面包和大枣口味面包每箱的单价； (2)若该小组计划用375元经费购买两种蛋糕且每种蛋糕最少1箱，经费恰好用完，共有几种购买方案； 【答案】(1)豆沙粽子、大枣粽子每箱的单价为25元，30元． (2)共有2种购买方案 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解本题要弄懂题意，找出题中的关系式， （1）设豆沙粽子、大枣粽子每箱的价格分别为元，元．根据等量关系列方程即可． （2）根据计划用375元经费购买两种粽子，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【解答】（1）设豆沙粽子、大枣粽子每箱的价格分别为元，元， 得：， 解得：， 答：豆沙粽子、大枣粽子每箱的单价为25元，30元． （2）设购买豆沙粽子箱、大枣粽子箱， 根据题意，有．整理，得， ，均为正整数， 可取5或10． 共有2种购买方案． 52.（方案问题2）（2023-2024七年级·山东济宁·期末）某品牌推出西游记人偶摆件一上市就深受人们喜爱．已知3个A型摆件和4个B型摆件共需470元；2个A 型摆件和3个B 型摆件共需340元． (1)求一个A型摆件和一个B型摆件的售价各是多少元； (2)小李爱好收藏，他打算用1600元（全部用完）购买A型、B型两种摆件（要求两种型号的摆件均购买），正好赶上商店对摆件价格进行调整，其中A型摆件售价上涨，B型摆件按原价出售，则小李有几种购买方案？ 【答案】(1)A型摆件售价50元一个，B型摆件售价80元一个 (2)购买方案为有两种：第一种：购买A型摆件16个，B型摆件6个；第二种：购买A型摆件8个，B型摆件13个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、求解二元一次方程的正整数解的知识，明确题意列出二元一次方程组是解答本题的关键． （1）设A型摆件售价x元一个，B型摆件售价y元一个，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购买A型摆件a个，B型摆件b个，a、b均为正整数，根据题意有等式，即有，根据a、b均为正整数，即可作答． 【解答】（1）解：设A型摆件售价x元一个，B型摆件售价y元一个， 根据题意有：， 解得：， 答：A型摆件售价50元一个，B型摆件售价80元一个； （2）解：设购买A型摆件a个，B型摆件b个，根据题意可知a、b均为正整数， 根据题意有等式：， 整理得：， 即：， ∵a、b均为正整数， ∴一定是7的倍数， ∴b可以为6和13， ∴相应的a可以为16和8， 故购买方案为有两种：第一种：购买A型摆件16个，B型摆件6个；第二种：购买A型摆件8个，B型摆件13个． 53.（方案问题3）（2023-2024七年级·四川巴中·期中）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨 (2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【分析】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，由“用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合a、b均为非负整数，即可得出各租车方案． 【解答】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨， 由题意得： ， 解得：， 答：1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨； （2）由题意得：， ∴， 又∵a、b均为非负整数， ∴或或， ∴该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程． 54.（方案问题4）（2023-2024七年级下·内蒙古赤峰·期末）赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）． 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ (2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ (3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 【答案】(1)8辆 (2)10辆甲型车，7辆丙型车 (3)2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）需甲型车的数量（物资的总质量—每辆乙型车的运载量使用乙型车的数量—每辆丙型车的运载量使用丙型车的数量）每辆甲型车的运载量，即可求出答案； （2）设需要辆甲型车，辆丙型车，根据“全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出答案； （3）设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车，根据公司使用的16辆车的总运载量为120吨，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论． 【解答】（1）解：根据题意得： （辆） 还需要8辆甲型车来运送； （2）解：设需要辆甲型车，辆丙型车， 根据题意得：， 解得：， 需要10辆甲型车，7辆丙型车来运送； （3）解：设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车， 根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， 共有2种运输方案， 方案1：使用6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车，所需运费为 （元）； 方案2：使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车，所需运费为 （元）； ， 使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省， 共有2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省． 55.（方案问题5）（2023-2024七年级·辽宁大连·期末）北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这是一项了不起的成就！某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计120元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用220元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 【答案】(1)A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元； (2)①购进8件A型飞船模型和2 件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型 【分析】（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型， 根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案； 【解答】（1）解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意，得 ， 解得 ， 即A种飞船模型每件进价20元，B种飞船模型每件进价30元； （2）解：设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据题意，得 ， 则， ∵a，b均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，， 故所有购买方案如下：①购进8件A型飞船模型和2 件B型飞船模型；②购进5件A型飞船模型和4件B型飞船模型；③购进2件A型飞船模型和6件B型飞船模型． 【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，有理数四则混合计算的实际应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． 56.（和差倍分问题1）（2023-2024七年级·上海宝山·期末）某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的，问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 【答案】男生人、女生人 【分析】设该兴趣小组有男生人、女生人，根据题意的两个等量关系得出方程组，解出即可得出答案． 【解答】解：设该兴趣小组有男生人、女生人， 根据题意得：解这个方程组得： 经检验符合实际， 答：该兴趣小组有男生人、女生人． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是仔细审题，得出方程组． 57．（和差倍分问题2）（2023-2024七年级下·北京石景山·期末）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元． (1)A，B两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费． 【答案】(1)A种图书每本30元，B种图书每本20元 (2)购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设A种图书每本x元，B种图书每本y元，根据购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；购买5本A种图书和8本B种图书共需310元，列出方程组进行求解即可； （2）设该校购买A种图书m本，根据购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，列出不等式组，进行求解即可． 【解答】（1）解：设A种图书每本x元，B种图书每本y元． 根据题意，得 解得 答：A种图书每本30元，B种图书每本20元． （2）设该校购买A种图书m本，则购买B种图书本． 根据题意，得， 解得，且m为正整数． A种图书单价高， 购买A种图书越少越省钱． m取最小值28时，总费用最少， 最少费用为元． 答：购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元． 58．（和差倍分问题3）（2024-2025八年级上·河南郑州·期末）杨老师在“双十一”期间买了一件毛衣，通过研究缝在衣服内部标签上的内容，得到了以下结论： ①毛衣的总质量为； ②毛衣的成分：绵羊毛、腈纶、锦纶、聚酯纤维； ③绵羊毛和腈纶的含量占，锦纶的含量是绵羊毛含量的5倍，聚酯纤维的含量比腈纶含量的2倍少． 请你求出绵羊毛和腈纶的质量． 【答案】绵羊毛的质量为，腈纶的质量为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设绵羊毛的质量为，腈纶的质量为，根据题意可得，然后求解即可． 【解答】解：设绵羊毛的质量为，腈纶的质量为，根据题意可得： ， 解得：； 答：绵羊毛的质量为，腈纶的质量为． 59.（和差倍分问题4）（2023-2024七年级·安徽六安·期中）小明逛，两家网店发现都有他看中的甲，乙两种课外资料在售卖，且每种课外资料在两家店的售价相同，甲，乙两种课外资料的单价之和是 200元，且每本甲种课外资料售价比乙种课外资料售价的2倍少40元． (1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是多少元？ (2)某一天恰好赶上商家促销，网店所有商品打八五折销售，网店全场购买每满50元减8元，小明需要购买两种课外资料各一本，请通过计算判断怎样购买更省钱？ 【答案】(1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是120元，80元 (2)在网店B购买更省钱 【分析】（1）设乙种课外资料的售价为x元，则甲种课外资料的售价为元，再根据两种资料单价和为200元列出方程求解即可； （2）根据（1）所求结合所给的折扣分别计算出两个网店的花费即可得到答案． 【解答】（1）解：设乙种课外资料的售价为x元，则甲种课外资料的售价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是120元，80元 （2）解：网店A的花费为元， 网店B的花费为元， ∵， ∴在网店B购买更省钱． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求出两种资料的单价是解题的关键． 60.（和差倍分问题5）（2023-2024七年级·陕西汉中·期末）某文具专卖店出售甲、乙两种自动铅笔，已知该店进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元． (1)请分别求出甲、乙两种自动铅笔的进价； (2)已知专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔提价20%出售，小静在该专卖店购买甲种自动铅笔m（m≥0）支、乙种自动铅笔n（n≥0）支，共花费24元，小静有几种购买方案？ 【答案】(1)甲、乙两种自动铅笔的进价分别为3元，5元 (2)小静一共有三种购买方案 【分析】（1）设甲、乙两种自动铅笔的进价分别为x元，y元，然后根据进货甲种自动铅笔4支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4元，列出方程组求解即可； （2）先求出甲、乙两种自动铅笔新的售价分别为4元、6元，即可推出，再由m、n都是自然数，进行求解即可． 【解答】（1）解：设甲、乙两种自动铅笔的进价分别为x元，y元， 由题意得：， 解得， ∴甲、乙两种自动铅笔的进价分别为3元，5元， 答：甲、乙两种自动铅笔的进价分别为3元，5元； （2）解：∵专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔提价20%出售， ∴甲、乙两种自动铅笔新的售价分别为4元、6元， ∴， ∴即， ∵m、n都是自然数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴小静一共有三种购买方案， 答：小静一共有三种购买方案． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程（组）求解． 61.（古代问题1）（2023-2024七年级上·陕西西安·期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】共有48人，13辆车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键；设共有x人，y辆车，根据“每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”即可得到关于x、y二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设共有x人，y辆车，根据题意得： 解得： 共有48人，13辆车． 62.（古代问题2）（2022-2023七年级上·云南昆明·期末）中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算．其中有这样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 【答案】大和尚人，小和尚人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题关键．设大和尚人，小和尚人，根据“有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完”列方程组求解即可． 【解答】解：设大和尚人，小和尚人， 由题意得：，解得：， 答：大和尚人，小和尚人． 63.（古代问题3）（2023-2024八年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题． 【答案】小和尚有75人，大和尚有25人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：设小和尚有x人，大和尚有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：小和尚有75人，大和尚有25人． 64.（古代问题4）（2023-2024七年级下·吉林松原·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 【答案】(1)每头牛3两银子，每只羊2两银子； (2)方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用11两银子买牛和羊，列出二元一次方程，然后求出满足条件的正整数解即可． 【解答】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得： ， 解得：， 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子； （2）解：设购买m头牛，n只羊， 依题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ∴商人有2种购买方法：方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．． 65.（古代问题5）（2023-2024七年级·湖南邵阳·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人． (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】(1)该店有客房间，房客有人； (2)应选择一次性定客房间更合算． 【分析】（）设该店有客房间，房客有人，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）分别求出每间客房住人，定客房间需付的房费与一次性定客房间需付的房费，比较即可判断求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【解答】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要定客房间，需付房费元， 若一次性定客房间，需付房费元， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性定客房间更合算． 66.（年龄问题）（2023-2024七年级·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【解答】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 67.（图表信息问题）（2023-2024七年级·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【解答】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 68.（数字问题）（2023-2024七年级·全国·课后作业）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙这两个数． 【答案】甲数是24，乙数是12 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲数为x，乙数为y，然后根据把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188列出方程组求解即可． 【解答】解：设甲数为x，乙数为y， 根据题意，得 解得 答：甲数是24，乙数是12． 69.（配套问题）（2023-2024七年级·广东汕头·期末）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件，现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 【答案】用钢材制作A部件，制作B部件，恰好配成这种仪器160套 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系、列方程组是解题的关键． 设应用钢材做A部件，钢材做B部件，再根据等量关系“共有钢材”和“一个A部件和三个B部件刚好配成套”列方程组求解即可． 【解答】解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件，由题意得， ， 解得：， 刚好配成：（套）． 答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，刚好配成160套． 70.（几何问题）（2023-2024七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)3，2 (2)横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个 (3)是5的整数倍，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据长方体的六个面的特点求解即可； （2）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合均为正整数．即可得出是5的整数倍． 【解答】（1）解：做一个横式无盖纸盒需要3张长方形纸板和2张正方形纸板， 故答案为：3，2； （2）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个； （3）解：是5的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是5的整数倍． 学科网（北京）股份有限公司 $$