精品解析：重庆市凤鸣山中学教育集团2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

重庆市凤鸣山中学教育集团2024—2025学年度下期 2024级数学学科第一次月考试题 命题人：______ 审题人：______ 考试说明: 1.考试时间:120分钟；2.试题总分150分；3.试卷页数4页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直接求解. 【详解】因为，， 所以. 故选:D. 2. 已知向量，且，则的值是（ ） A. －6 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】直接由平面向量共线的坐标表示列方程求解即可. 【详解】， 由，得，解得，故选B. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答. 3. 已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系求解. 【详解】因为，分别为AB，AC的中点，所以. 设，又，所以，即解得 即点的坐标为. 故选：A. 4. 在中，角所对的边分别是，若，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】，解得. 故选：B 5. 若，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助向量模长与数量积的关系以及夹角公式计算即可得. 【详解】由，，， 则， 而，即得， 所以，又， 所以. 故选：A. 6. 如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果. 【详解】由题意可得， ， 当与正六边形的边垂直时，， 当点运动到正六边形的顶点时，， 所以，则，即. 故选：B 7. 在三角形中，点是在边上且边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】将和都用和表示出来，然后利用列式计算即可. 【详解】由题意，， 则， 同理可得：， 因为直线和直线交于点, 所以存在使， 即，两式作商得 解得. 故选：C. 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理的边角变换得到，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为， 两式相减，得， 由正弦定理，得，即， 因为，所以. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的有（ ） A 已知，若与垂直，则 B. 若，，则 C. 若为三个不共线向量，则 D. 若，，若为钝角，则实数的范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量垂直坐标运算判断A选项，根据向量共线的性质判断B选项，根据数量积的定义及运算律判断C选项，再根据向量数量积与夹角的关系可判断D选项. 【详解】A选项：，，若与垂直，则，解得，A选项正确； B选项：当时，，，但不一定成立，B选项错误； C选项：根据向量的数量积的含义可知是一个实数，故是与共线的向量， 同理是与共线的向量，但是，不一定共线， 故不一定成立，C选项错误； D选项：，，若钝角，则， 解得且，D选项错误； 故选：BCD. 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则为直角三角形 B. 若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 C. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 D. 若，则为钝角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】A：由已知确定的角平分线与BC垂直，所以，所以，再利用向量夹角的余弦得出，最后得出是等边三角形，判断A错；由正弦函数值确定角的范围判断B正确；由向量模长关系得到角的大小，再用全等关系得出等边三角形判断C正确；D利用弦切互化，三角恒等变换和两角和与差的正余弦展开式判断D错误. 【详解】对于选项A，因为，，分别为单位向量，所以的角平分线与BC垂直，所以，所以.又因为， 即，因为，所以，所以，所以为等边三角形，故选项A错误； 对于选项B，要使满足条件的三角形有且只有两个，则，因为，，所以，即，所以，故选项B正确； 对于C，因为，故，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，结合，故，可得，故为等边三角形，C正确； 对于D.， 而，所以A，B，C都为锐角，D错误； 故选：BC. 11. 在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（ ） A. B. 向量，夹角的最小值为 C. 内角A的最大值为 D. 面积的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到，根据均值不等式得到，计算，得到AC正确，B错误，利用面积公式得到，得到答案. 【详解】，，故A对； ，，当且仅当时取等，，，即，故B错，C对； ，故D错. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为平面向量，．若在方向上的投影向量为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设的夹角为，由在方向上的投影向量为，求得，进而求得的值，则可求得. 【详解】设的夹角为， 因为在方向上的投影向量为，， 所以，得． 从而. . 故答案为：. 13. 在中，，，则外接圆半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据面积公式和数量积的定义可求，根据同角的三角函数基本关系式和正弦定理可求外接圆的半径. 【详解】因为，故, 故，故为锐角，故， 故外接圆的半径为， 故答案为：. 14. 在和中， 是的中点， ，若，则与的夹角的余弦值等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】由题意有： ,即，而，据此可得： ，即， 设与的夹角为，则. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，求： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示及向量数量积的坐标运算即可直接求出答案； （2）根据向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标表示即可求出答案. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以. 16. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【小问1详解】 解：因，则，由已知可得， 可得，因此，. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理及诱导公式，即可求得，得角即可； （2）由正弦定理，将边全部化为角，利用三角函数来求值域即可． 【小问1详解】 根据题意得，， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，则，则， 则，则． 【小问2详解】 由正弦定理得，，所以． 所以， 因为是锐角，则，即，解得． 则，故． 所以，则的取值范围为． 18. 在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）若，求△ABC的面积； （2）求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式进行求解；（2）由正弦定理和三角恒等变换求解；（3）解法一：设BC中点为D，推导出，在三角形AOD中，利用余弦定理，正弦定理和函数单调性求出AD的取值范围，从而求出的取值范围；解法二：由余弦定理和数量积运算法则求出，换元后利用三角恒等变换得到，求出答案. 【小问1详解】 由余弦定理 结合可知，△ABC的面积 小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理， 所以，① 由于， 带入①式可知： 【小问3详解】 解法1： 设BC中点为D，则 所以 如下图所示， 设△ABC的外接圆为圆O，由于△ABC为锐角三角形，故点A的运动轨迹为劣弧（不含端点），由正弦定理知圆O的半径，故 设，则，由余弦定理： 由于函数在时单调递减，， 所以 解法2： 由余弦定理② 由定义 所以 设， 则 由正弦定理： 其中锐角的终边经过点，由锐角三角形可知 注意到， 所以 所以，②式变形为，故 从而， 此时函数单调递减，而， 所以 【点睛】向量相关的取值范围问题，考查面较广，可以和很多知识相结合，基本不等式，函数值域，解三角形，三角函数等，需要对知识熟练掌握且灵活运用，本题的第三问难度较大，需要用到极化恒等式，三角函数恒等变换等知识，属于难题. 19. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线． （1）求的范围 （2）求的最小值， （3）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解法主要是将所给条件通过数量积运算实数化进而通过实数运算结合基本不等式求解即可；解法将向量问题坐标化，进而通过实数运算结合不等式求解即可. （2）解法将向量通过模的运算及数量积公式实数化，进而转为实数运算，结合不等式解出答案；解法通过坐标法和数量积运算将问题转化为实数运算问题，结合不等式求解即可；解法主要是根据题意设参数，再根据数量积运算结合三角函数、不等式求最值. （3）解法1主要是通过平面向量基本定理选择基底表示向量，再设参数结合不等式求解；解法通过坐标法将问题实数化，进而求出参数最值；解法设参数两个参数，由向量相等得出它们的三角表示，再由三角函数性质结合不等式求解即可. 【小问1详解】 ， ， 为锐角，， 解法一： . 取的中点为，， . 解法二：以为原点，以为轴，建立直角坐标系， ， ， ，， ， . 故小问1答案：. 【小问2详解】 解法一：由题意知： ， ， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 解法二：由题意知： 以为原点，以为轴，建立直角坐标系设点，则， ， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 解法三： 设， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 故小问答案为： 【小问3详解】 解法一：由题意知： 令，则原式 当且仅当即，等号成立，的最小值为 解法二：由题意知： 以为原点，以为轴，建立直角坐标系 三点共线 ， ， ， ， ， . 解法三：由题意知： ， ， ， 下同解法二. 故小问答案为：. 【点睛】方法点睛：建立直角坐标系，将向量问题坐标化进而通过实数运算求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市凤鸣山中学教育集团2024—2025学年度下期 2024级数学学科第一次月考试题 命题人：______ 审题人：______ 考试说明: 1.考试时间:120分钟；2.试题总分150分；3.试卷页数4页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则等于（　　） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则的值是（ ） A －6 B. 6 C. 9 D. 12 3. 已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角所对的边分别是，若，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 若，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 7. 在三角形中，点是在边上且边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的有（ ） A. 已知，若与垂直，则 B. 若，，则 C. 若为三个不共线向量，则 D. 若，，若为钝角，则实数范围是 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则为直角三角形 B. 若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 C. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 D. 若，则为钝角三角形 11. 在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（ ） A. B. 向量，夹角的最小值为 C. 内角A的最大值为 D. 面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为平面向量，．若在方向上的投影向量为，则__________. 13. 在中，，，则外接圆半径______. 14. 在和中， 是中点， ，若，则与的夹角的余弦值等于__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，求： （1）； （2）. 16. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，求的取值范围． 18. 在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）若，求△ABC的面积； （2）求的值； （3）求的取值范围． 19. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线． （1）求的范围 （2）求的最小值， （3）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $